Файл: Оптимизация решений по Парето.pdf

Если ЛПР считает, что самым важным из всех показателей является показатель частного критерия (причем, остальными частными критериями можно пренебречь), то наилучшей будет альтернатива X₃, т.к. этому решению соответствуют наименьшие потери (они равны 10) по критерию (например, это критерий минимизации расходов на поставку товара). Можно также предпочесть и решение X₅, в частности, если ЛПР считает, что в качестве наилучшего решения необходимо выбрать альтернативу с наименьшей суммой показателей частных критериев и (например, по сумме показателей критериев минимизации расходов на поставку товара и его хранение) и т.д.

Как видим, можно реализовать много различных подходов при сравнении этих альтернатив. А какой подход к оптимизации при этих критериях предпочли бы вы в формате задач вашего бизнеса? Попробуйте ответить на этот вопрос именно сейчас, пока вы не познакомились с рекомендациями теории (чтобы затем сделать соответствующие сравнения).

Интерпретация процедур сравнения альтернатив (N=2).

Для более глубокого понимания и иллюстрации особенностей принятия решений при нескольких критериях удобно выделить случай N=2. Это случай, когда в рамках рассматриваемой оптимизационной модели формализуются два частных критерия. Для такой ситуации таблица с оценками частных критериев имеет всего два столбца. Элементы первого из них (относящегося к частному критерию ) будем обозначать через , где i – индекс соответствующего решения . Элементы второго столбца (относящегося к оценкам частного критерия ) обозначаем через . Тогда каждое альтернативное решение характеризуется вектором соответствующих потерь по критериям и соответственно.

В декартовом пространстве значений частных критериев отдельное решение представляется точкой . При этом, представляя соответствующими точками все анализируемые решения , можно говорить о так называемом поле издержек/потерь в пространстве значений частных критериев. Оно представляет собой минимальный прямоугольник, включающий все допустимые альтернативные решения (см. рис. 1.7).

Поле издержек/потерь содержит все точки, представляющие анализируемые альтернативы . Дополнительно выделяют утопическую точку (УТ), которая соответствует условному (утопическому) решению , представленному вектором потерь с наилучшими (наименьшими) координатами: и . Название УТ обусловливается тем, что среди анализируемых решений указанного решения = УТ (как правило) не будет: иначе, не было бы проблемы выбора в формате задачи оптимизации при многих критериях. Любой участник рынка (любой менеджер или ЛПР) всегда предпочел бы указанное решение = УТ. Аналогично, говорят также и об антиутопической точке как точке с наихудшими координатами в формате поля потерь (ее обозначаем через АУТ), - см. рис. 1.7.

Выбор оптимального для ЛПР решения (из представленных в поле потерь) подразумевает, как минимум, необходимость сравнения имеющихся альтернатив. Рассмотрим особенности соответствующих процедур сравнения в пространстве значений частных критериев. Сравнивая какое-либо конкретное решение, например, решение с некоторыми другими альтернативами , возможны ситуации, которые представлены на рис. 1.8. Отметим эти ситуации.

1. Все другие альтернативные решения в поле потерь, которые отличаются от , причем такие, для которых ни одна из координат (U либо V) не является большей, чем соответственно U₀ либо V₀, образуют множество, которое называют конусом предпочтений по отношению к .
2. Кроме того, все другие отличные от альтернативные решения, для которых ни одна из координат (U либо V) не является меньшей, чем соответственно U₀ либо V₀, образуют множество альтернатив, которое называют антиконусом по отношению к .

На рис. 1.8 указанные множества заштрихованы с разным наклоном. Остальные области в соответствующем декартовом пространстве значений частных критериев называют конусами неопределенности (на рис 1.8 они отмечены как I и II). При сравнении решения с любым решением из конуса предпочтений и антиконуса никаких проблем не возникает.

Здесь:

• - альтернативное решение из антиконуса (по отношению к );
• - альтернативное решение из конуса неопределенности (по отношению к ).

Применительно к рисунку 1.8 отметим, что решение из антиконуса (относительно ) будет для любого ЛПР худшим, чем решение , т.к. по любому из частных критериев соответствующий показатель потерь будет большим. Все решения, для которых каждая компонента соответствующего вектора потерь превосходит (или равна) аналогичную компоненту альтернативного решения , причем хотя бы по одному из частных критериев имеет место строгое неравенство, будут худшими, чем для всех ЛПР. Такие альтернативы называют доминируемыми по отношению к альтернативе и их можно заведомо отбросить при нахождении наилучшего решения.

Аналогично, для всех ЛПР любая альтернатива из конуса предпочтений будет лучше, чем , т.к. по каждому из частных критериев на рис. 1.8 потери для альтернативы из конуса предпочтений будут меньшими, чем для. Такие альтернативы из конуса предпочтений называют доминирующими по отношению к . Все решения, для которых каждая компонента вектора потерь меньше (или равна) аналогичной компоненте решения X₀, причём хотя бы для одного из частных критериев имеет место строгое неравенство, будут заведомо лучшими, чем для всех ЛПР.

Наконец, для решений из конусов неопределённости (I и II – на рис. 1.8) выбор по отношению к уже не является очевидным и не будет одинаковым / общим для всех ЛПР. Например, для решения на рис. 1.8 соответствующие потери по частному критерию будут большими, чем для решения по этому же критерию (), но зато соответствующие потери по критерию будут меньшими, чем аналогичные потери для решения . Поэтому нет однозначного ответа на вопрос о том, какая из этих альтернатив (или ) лучше. Надо учитывать предпочтения ЛПР: каждое ЛПР может ответить по-своему. Таким образом, при сравнении альтернатив по многим критериям может иметь место неопределённость (чаще всего именно так и бывает), характеризующая те особенности и затруднения, которые свойственны задачам интересующего нас типа. Каждое ЛПР реализует свои предпочтения в формате специфики соответствующей задачи многокритериальной оптимизации. Поэтому для различных ЛПР результат сравнения решения с альтернативой из конусов неопределённости (например, с альтернативой ) может оказаться различным. Менеджер должен уметь находить наилучшее решение для задач многокритериальной оптимизации систем логистики с учетом имеющихся предпочтений ЛПР. Каким образом это можно осуществить? Формальное задание соответствующих предпочтений для конкретного ЛПР можно реализовать на основе так называемого аппарата линий уровней. Далее представлены необходимые определения и пояснения, формализующие указанное понятие.

Формализация предпочтений ЛПР. Линии уровня критерия выбора.

Один из подходов для «раскрытия» неопределённостей указанного выше типа состоит в привлечении специального аппарата: линий уровня критерия выбора. С помощью указанного аппарата можно характеризовать специфику предпочтений конкретного ЛПР к показателям частных критериев в соответствующем поле издержек/потерь. Проиллюстрируем особенность такого аппарата применительно к ситуации, представленной на рис. 1.9. А именно, пусть требуется сравнить альтернативное решение с некоторой другой альтернативой (например, из области конуса неопределённости II), которая по частному критерию дает показатель , лучший, чем показатель решения (см. рис. 1.9). Другими словами, альтернатива сравнивается с некоторой альтернативой из области конуса неопределённости II, которая на рис. 1.9 будет представлена некоторой точкой, расположенной где-то на линии, параллельной оси “OU” и проходящей через точку с координатами .

Возможные ситуации, связанные с таким сравнением, охарактеризуем следующим образом.

1) С одной стороны, очевидно, следующее. В одном «крайнем» случае, когда такая альтернатива, сравниваемая с , будет представлена именно точкой (принадлежащей в этом крайнем случае конусу предпочтений по отношению к ), решение будет худшим, чем альтернатива . Подчеркнем, что такое сравнение будет иметь место для всех ЛПР (из-за дополнительных потерь величины по частному критерию при одинаковом показателе по критерию ).

2) С другой стороны, для любого ЛПР всегда найдется такая «своя» точка (см. рис. 1.9), лежащая на указанной выше линии, которая будет обладать следующим свойством. Соответствующая ей альтернатива будет для конкретного ЛПР худшей, чем альтернативное решение (за счет увеличения потерь по частному критерию ).

Если предпочтения ЛПР будут заданы корректно (отношение предпочтений будет транзитивным), то между точками и найдется единственная точка (на рис. 1.9 она выделена белым кружком), лежащая на указанной линии, для которой будет иметь место следующее. Любая другая альтернатива, представленная точкой на указанной линии, расположенной левее, чем , будет для ЛПР лучшей, чем решение . Любая другая альтернатива, представленная точкой на указанной линии, расположенной правее, чем , будет для ЛПР худшей, чем решение .

Таким образом, для любого альтернативного решения при его сравнении с альтернативой из конуса неопределённости на любой линии, параллельной оси “OU”, всегда найдётся эквивалентная альтернатива в конусе неопределённости, обладающая следующим свойством. Для данного ЛПР реализуется приемлемый “баланс” между потерей по частному критерию величины и требуемой этим ЛПР соответствующей минимально допустимой компенсации в виде выигрыша по частному критерию . Поскольку здесь в наших рассуждениях величина была произвольной, то эквивалентные по отношению к альтернативы для данного ЛПР, аналогичные , имеются при любом значении . Соединяя все такие эквивалентные между собой (и по отношению к альтернативе ) точки, получаем линию, представляющую одну из линий уровней для данного ЛПР в пространстве значений частных критериев: все точки на этой линии эквивалентны в рамках системы предпочтений этого ЛПР.

В приведённых выше рассуждениях, точка также была взята произвольно. Поэтому можно говорить о семействе линий уровня ЛПР, не привязываясь к отдельному решению (см. рис. 1.10). Все решения, лежащие на одной и той же линии (линии конкретного уровня) являются эквивалентными между собой (для ЛПР). Чем дальше от начала координат проходит линия, тем менее предпочтительные значения частных критериев она представляет: для иллюстрации сравните точки пересечения указанных линий уровня с биссектрисой первого координатного угла и дайте соответствующую интерпретацию.