Файл: Оптимизация решений по Парето.pdf

ВВЕДЕНИЕ

Человек ежедневно сталкивается с трудностями и проблемами, перед ним ставятся задачи, которые необходимо выполнить для продолжения нормальной или более успешной жизнедеятельности. Простые задачи обычно не требуют затраты больших усилий для поиска решений: организму нужна жидкость - выпей стакан воды, организму нужна пища – поешь. Однако даже для решения таких задач может быть несколько альтернатив решения, из которых человек будет выбирать наиболее оптимальное для себя. Разберем как пример ту же нужду в жидкости. Если для решения данной проблемы человек пришел в магазин, то число возможных вариантов для решения резко увеличивается на n- возможных. Можно взять обычной воды, сок, газированную воду, сладкую воду, йогурт и т.д. У каждого из напитка есть свои критерии, по которым человек выберет оптимальный для себя способ освежиться: цена, объем, вкус, коэффициент утоления жажды и т.д. сравнивая критерии каждого напитка человек выбирает для себя оптимальный исходя из личных предпочтений, то есть значений параметра, который, по его мнению, является ключевым, и характеристик самого себя. Так скажем если человек очень хочет пить, у него есть деньги и неважен вкус, ключевым критерием будет являться объем тары жидкости, если у него мало денег, то ключевым критерием будет являться стоимость продукта и т.д.

Так же и предприятие, оно так же является единым организмом. У него свои проблемы, свои бизнес – задачи, которые необходимо решить для продолжения нормальной или более успешной жизнедеятельности: закупка оборудования, работа с клиентами, набор работников и т.д. Только у предприятия, в отличии от человека, поиск решений подразумевает анализ огромного количества критериев различных сред. Для успешного поиска оптимальных решений предприятий были разработаны механизмы выбора оптимальных решений, одним из которых является «Оптимизация решений по Парето».

Целью данной работы является исследование метода оптимизации решений по Парето и получения навыков по его применению на примере бизнес – задач предприятия.

Объектом данного исследования являются механизмы выбора оптимальных решений.

Предметом исследования является метод оптимизации решений по Парето.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- провести анализ выбранной сущности;

- получить знания о механизме оптимизации решений по Парето;

- получить навыки по применению исследуемого метода;

- применить полученные навыки на практике.

1. ПОНЯТИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Достаточно часто в реальных ситуациях качество эксплуатации исследуемого объекта или системы оценивается не единственным критерием или показателем качества, а совокупностью таких критериев, причем представляющих одинаково значимыми. Пусть уже выделено N критериев, формализующих издержки или потери применительно к указанным процессам. Такие исходно заданные критерии называют частными критериями (чтобы отличать их от критерия выбора, на основе которого затем будет найдено оптимальное решение в формате задачи многокритериальной оптимизации).

Обозначим указанные частные критерии следующим образом:

^(k)(), k = 1,2,…,N.

Здесь

• – n-мерная векторная переменная, координаты которой представляют управляемые параметры для задачи многокритериальной оптимизации в рамках анализируемого звена/звеньев цепи поставок, т.е. = (x₁, x₂, … , x_n) ;
• считается заданной система ограничений є X , причем X представляет множество допустимых значений для в формате задачи многокритериальной оптимизации;
• ^(k)() - некоторая функция n переменных (при фиксированном значении k), формализуемая в качестве одного из частных критериев ( k=1, 2, …, N);

изменением знака функции ^(k)() всегда можно свести задачу максимизации к задаче минимизации частного критерия (и наоборот).

Поэтому далее достаточно рассматривать ситуации, когда соответствующие частные критерии формулируются именно как задачи минимизации (указанное допущение не ограничивает общности, но при этом позволит стандартизировать изложение последующего материала).

Задача многокритериальной оптимизации рассматривается как задача одновременной оптимизации всех частных критериев. Требуется найти точку X, которая в некотором смысле (будет уточняться) минимизирует все эти критерии. Другими словами, рассматривается следующая оптимизационная задача:

g^(k)()min, k=,

при условии X. При этом критерии ^(k)() называют частными критериями. Их совокупность можно рассматривать как векторный критерий G()=(g⁽¹⁾(), … , g^(N)()). Он и подлежит оптимизации (по каждой отдельной или частной компоненте).

Идеальной ситуацией при решении задач многокритериальной оптимизации является случай, когда пересечение множеств оптимальных решений для всех частных критериев не является пустым. Такое множество обозначают следующим образом: .

Если указанное множество не является пустым, то принадлежащие ему альтернативы называют абсолютными решениями. В реальных ситуациях на наличие элементов в данном множестве рассчитывать не приходиться. В практике не существует решения, минимизирующего (оптимизирующего) одновременно все частные критерии. Более того, одни частные критерии могут противоречить другим. Следовательно, нужно искать компромиссное решение, наилучшее в некотором смысле. Соответствующий подход к его нахождению и понятие наилучшего решения формализуют на основе дополнительно вводимого критерия выбора (чтобы отличать его от исходно заданных при постановке задачи частных критериев). Чем большим количеством таких подходов к формализации указанных критериев выбора владеет менеджер, тем более эффективно он может адаптировать оптимальный выбор применительно к предпочтениям лица принимающего решение.

Подводя итоги можно сказать что главная цель многокритериальной оптимизации системы — предоставить в распоряжение лица, принимающего решения, данные, наиболее полно характеризующие преимущества и недостатки каждого варианта решения.

1.1. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Метод Анализа Иерархий (МАИ) – математический инструмент системного подхода к решению проблем принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским ученым Томасом Л. Саати в 1970 году, с тех пор он активно развивается и широко используется на практике. Метод анализа иерархий можно применять не только для сравнения объектов, но и для решения более сложных проблем управления, прогнозирования и др.

Основным достоинством метода анализа иерархий является высокая универсальность – метод может применяться для решения самых разнообразных задач: анализа возможных сценариев развития ситуации, распределения ресурсов, составления рейтинга клиентов, принятия кадровых решений и др.

Недостатком метода анализа иерархий является необходимость получения большого объема информации от экспертов. Метод в наибольшей мере подходит для тех случаев, когда основная часть данных основана на предпочтениях лица, принимающего решения, в процессе выбора наилучшего варианта решения из множества существующих альтернатив.

В типичной ситуации принятия решения:

• рассматриваются несколько вариантов решения,
• задан критерий, по которому определяется в какой мере то или иное решение является подходящим,
• известны условия, в которых решается проблема, и причины, влияющие на выбор того или иного решения.

Постановка задачи в процессе применения метода анализа иерархий: Пусть имеется множество альтернатив (вариантов решений):  В₁, В₂, … В_k. Каждая из альтернатив оценивается списком критериев: К₁, К₂, … К_n. Требуется определить наилучшее решение.

Этапы применения метода анализа иерархий:

1. Предварительное ранжирование критериев, в результате которого они располагаются в порядке убывания важности (значимости).

2. Попарное сравнение критериев по важности по девятибалльной шкале с составлением соответствующей матрицы (таблицы) размера (n х n). Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, где оценки имеют следующий смысл:

• равная важность – 1;
• умеренное превосходство – 3;
• значительное превосходство – 5;
• сильное превосходство – 7;
• очень сильное превосходство – 9;
• в промежуточных случаях ставятся четные оценки: 2, 4, 6, 8 (например, 4 – между умеренным и значительным превосходством).

При этом при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы при сравнении элементов А и Б:

• какой из них важнее или имеет большее воздействие ?
• какой из них более вероятен?
• какой из них предпочтительнее ?

Затем формируется матрица. В процессе заполнения матрицы если элемент i важнее элемента j, то клетка (i, j), соответствующая строке i и столбцу j , заполняется целым числом, а клетка (j, i),  соответствующая строке j и столбцу i, заполняется обратным числом (дробью).

Заполнение таблицы проводится построчно с наиболее важного критерия. Сначала проставляют целочисленные оценки, тогда соответствующие им дробные оценки получаются из них автоматически (как обратные к целым числам). Чем важнее критерий, тем больше целочисленных оценок будет в соответствующей ему строке матрицы, и сами оценки имеют большие значения. Так как каждый критерий равен себе по важности, то главная диагональ матрицы всегда будет состоять из единиц. Очевидно, что сумма компонентов равна единице. Каждый компонент НВП представляет собой оценку важности соответствующего критерия.

3.Проводиться расчет средней геометрической в каждой строке матрицы. Расчет суммы средних геометрическийх. Расчет компонентов нормализованного вектора приоритетов(НВП).

4.Проверка согласованности локальныз приоритетов путем расчета трех характеристик:

- собственного значения матрицы;

- индекса согласования;

- отношения согласованности.

5. Проводится попарное сравнение вариантов по каждому критерию аналогично тому, как это делалось для критериев, и заполняются соответствующие таблицы. Для каждой таблицы проводится проверка согласованности локальных приоритетов путем расчета трех характеристик.

6. Определяется общий критерий (приоритет) для каждого варианта:

К(В₁) = оценка В₁ по первому критерию х 1^й компонент НВП + оценка В₁ по второму критерию х 2^й компонент НВП + … + оценка В₁ по n^му критерию х n^й компонент НВП.

Аналогично подсчитываются К(В₂), К(В₃) и т.д., при этом в выражении В₁ заменяется на В₂ , В₃ и т.д. соответственно.

7. Определяется наилучшее решение, для которого значение К максимально.

8. Проверяется достоверность решения:

8.1. расчет обобщенного индекса согласования:

ОИС = ИС₁ х 1^й компонент НВП + ИС₂ х 2^й компонент НВП + … + ИС_nх n^й компонент НВП

8.2. расчет обобщенного отношения согласованности

Решение считается достоверным, если ООС≤10-15%, в противном случае нужно корректировать матрицы сравнения вариантов по критериям.

Основные понятия метода анализа иерархий

В соответствии с формулировкой задачи принятия решения структура модели принятия решения в методе анализа иерархий представляет собой схему (граф), которая включает:

• набор альтернативных решений,
• главный критерий рейтингования решений,
• набор групп однотипных факторов, влияющих на рейтинг,
• множество направленных связей, указывающих на влияния решений, критерия и факторов друг на друга.