50.97 z^2 + 0.1756 z

-------------------------------------

z^3 - z^2 + 6.928 z - 1.719

Sampling time: 1

Таким образом, получим передаточную функцию дискретной системы:

(16)

Устойчивость дискретной системы определим по методу Шур-Кона. Согласно этому методу замкнутая система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса. Корни характеристического уравнения будут лежать внутри единичной окружности, если коэффициенты уравнения удовлетворяют определителям Шур-Кона, имеющим значения: ∆К<0, для нечетных K и ∆К>0, для четных K.

Характеристическое уравнение дискретной функции имеет вид:

(17) Коэффициенты характеристического уравнения:

,

,

,

.

Составим и вычислим определители Шур-Кона:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Получили, что корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности, так как коэффициенты уравнения удовлетворяют определителям Шур-Кона, имеющим значения: ∆К<0, для нечетных К и ∆К>0, для четных K. Значит, дискретная система устойчивая.

Качество дискретной системы определяется по кривой переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым воздействием. В качестве единичного дискретного воздействия в дискретных системах принимается воздействие следующего вида:

(23)

Таким образом, дискретная переходная функция будет иметь вид:

(24)

Переходный процесс дискретной системы построим в программе Matlab, используя команду Step(z). График переходного процесса дискретной системы представлен на рисунке 19.

t, c→

↑

h(t)

Рисунок 19 - График переходного процесса дискретной системы

По полученному графику определим прямые оценки качества системы:

• время переходного процесса t_p =0,3 с;

• перерегулирование

;

• колебательность M=1,2;

• время нарастания регулируемой величины t_H=0,22 с;

• время первого согласования t_C=0,15 c.

Построим АЧХ дискретной системы. Для этого произведем замену в передаточной функции дискретной системы Z→jw, и выделим действительную и мнимую части. АЧХ строится по следующей формуле:

, (25)

где U(w) – действительная часть передаточной функции;

V(w) – мнимая часть передаточной функции.

График АЧХ дискретной системы показан на рисунке 20.

w, с^-1

А(w)

Рисунок 20 – АЧХ дискретной системы

Для определения полосы пропускания частот определим величину:

, (26)

где А_max(w) – максимальная амплитуда на графике АЧХ.

Определим косвенные показатели качества системы:

• колебательность ;

• резонансная частота w_P=33 c^-1;

• полоса пропускания частот w₁=57 c^-1;

• частота среза w_CP=200 c^-1.

Сравнивая полученные оценки качества дискретной системы с параметрами, заданными в техническом задании, приходим к выводу, что система удовлетворяет параметрам и оценки находятся в пределах 2% от требуемых. Синтезированная система соответствует техническому заданию и не требует корректировки.

---

2.4.2. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ системы и их анализ. Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнем систему. Структурная схема разомкнутой САР представлена на рисунке 21.

Рисунок 21 - Структурная схема разомкнутой системы

Найдем передаточную функцию разомкнутой линейной системы:

Wr(p)=W1(p)W2(p)W3(p)W4(p)W5(p)W6(p), (27)

Передаточная функция разомкнутой системы:

(28)

Создадим LTI-объект в среде Matlab:

w=tf([0 6240],[81 900 2500 0])

Transfer function:

6240

-------------------------

81 s^3 + 900 s^2 + 2500 s

Проведем z-преобразование полученной передаточной функции:

z=c2d(w,0.01)

Transfer function:

1.611 z^2 + 0.8599 z + 0.006226

-----------------------------------------

z^3 - 1.008 z^2 + 0.007747 z - 1.495

Sampling time: 0.01

Таким образом, получили передаточную функцию разомкнутой системы в форме z-преобразования:

(29)

Перейдем к псевдочастоте, сделав следующую подстановку:

, (30)

где

Тогда, получим передаточную функцию дискретной разомкнутой системы:

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ воспользуемся программой Matlab:

w=tf([-3.06*10^7 -6.60*10^6 1.02*10^6 -2.97*10^4 -0.510],[-1.78 1.01*10^6 1.35*10^5 -7.50*10^3 149])

Transfer function:

3.06e007 s^4 + 6.6e006 s^3 - 1.02e006 s^2 + 2.97e004 s + 0.51

-------------------------------------------------------------

1.78 s^4 - 1.01e006 s^3 - 135000 s^2 + 7500 s – 149

Применим команду margin(w), grid. Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ представлены на рисунке 22.

λ, рад/с →

φ, °

↓

↑

20lg(A),

дБ/дек

Рисунок 22 – ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Из графика запас устойчивости по фазе равен 90.6⁰=39.7 рад/сек. Так как ФЧХ не пересекает прямую –π, то запас устойчивости по амплитуде неограничен.

Построим ЖЛАЧХ методом запретной зоны. Для построения ЖЛАЧХ необходимо найти запретную зону, ниже которой ЖЛАЧХ не может опускаться.

Исходными данными для построения служат параметры из технического задания. Перерегулирование системы составляет 30%. Время регулирования равно 0,27 с. Колебательность принимает значение 1,27. Максимально допустимая ошибка составляет 0,05.

Зададим скорость изменения входной величины:

g'=0,2 (м/с);

Зададим ускорение изменения входной величины:

g''=0,04 (м/с²).

Численное значение частоты рабочей точки определяется по формуле:

(с^-1)

Вычисляем амплитуду рабочей точки:

Получили точку А=(0,2; 26).

Через полученную точку проводим прямую с наклоном –20 дБ/дек таким образом, чтобы она пересекала обе оси. Все, что лежит ниже получившейся прямой будет запретной зоной.

По номограмме Солодовникова определяем требуемое значение вещественной частотной функции Р_max, а по этому значению и кривой t_р находим время регулирования:

Рисунок 23 - Номограмма Солодовникова для определения σ и t_р

Так как σ=30%, то по номограмме Солодовникова определяем Р_max(ω)=1,27, а время регулирования определяется по формуле:

(31)

По графику определяем, что время регулирования равно:

(32)

Время регулирования равно 0,27 с. Находим частоту среза:

Найденное значение λ _ср наносим на шкалу частот.

Через полученную точку проводим асимптоту желаемой ЛАЧХ с наклоном –20дБ/дек. Проведем две параллельные прямые, которые будут ограничивать асимптоту с наклоном –20 дБ/дек. Величина этих прямых определяется по формуле:

---

(33)

где М=1,27 – колебательность.

Тогда рассчитаем эти величины:

(34)

(35)

Желаемая ЛАЧХ системы изображена на рисунке 24.

Рисунок 24 - Желаемая ЛАЧХ системы

Из графика видно, что желаемая ЛАЧХ совпала с реальной ЛАЧХ системы, таким образом, можно сделать вывод, что система не нуждается в коррекции, все элементы и их характеристики подобраны верно. Система устойчивая и полностью отвечает техническому заданию.

---

Смотрите также файлы

• ВВЕДЕНИЕ.docx

• СОДЕРЖАНИЕ.docx

• 4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛАБОРАТОРНОГО СТЕНДА.docx

• ТЕХНИКО- эконом.docx

• РАСЧЕТ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХпл.docx