2 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

2.1 Выбор дифференциального уравнения, описывающего распределение

нагрузки на лопасть гидротурбины

Распределение нагрузки по лопатке гидротурбины зависит от пространственных переменных x,y,z и времени, вследствие чего будем использовать теорию систем с распределенными параметрами.

Система с распределенными параметрами (СРП) – это система, в которой практически все сигналы (особенно входной и выходной) зависят от пространственных координат и времени.

Для того чтобы записать уравнение с распределенными параметрами рассмотрим принцип работы лопатки гидротурбины.

В

z

гидротурбине поток воды через направляющий аппарат попадает на поверхность лопатки с некоторой высоты h, то есть поток оказывает некоторое давление на поверхность лопатки. Под действием напора рабочее колесо турбины начинает вращаться вокруг своей оси с некоторой скоростью. Под действием внешних сил лопасть может изменить свою форму и размер, то есть деформироваться. В результате деформации возникают внутренние силы, сопротивляющиеся стремлению внешних сил изменить форму конструкции лопасти. Величина напряжений является мерой внутренних сил.

y

x

Рисунок 2.1 – Перо лопасти гидротурбины

Так как мы рассматриваем лопатку в пространстве, то расчет ведется по трем координатам (x, y, z) (рисунок 2.1).

Считаем, что выходная величина – это напряжение изгиба, которое возникает из-за давления воды на лопасть гидротурбины. Она совершается в течение некоторого времени поэтому – это мощность изгиба.

Также для того необходимо разложить усилие по координатам.

Зная принцип работы гидротурбины, и рассмотрев в справочной литературе /7/ виды уравнений с распределенными параметрами, выбираем уравнение вида:

_(2.1)

Согласно уравнению гидромеханики закон изменения внешнего воздействия имеет вид:

, (2.2)

где – скорость движения жидкости, м/с;

ρ – плотность жидкости, кг/м³;

– давление на поверхность лопатки, Па

Принимаем давление, оказываемое на поверхность лопатки, в качестве внешнего силового воздействия.

Учитывая, что начальные условия, это условия нахождения системы в начальный момент времени, можем принять равными нулю, так как в начальный момент времени вода не оказывает давление на лопасть. Так же принимаем равными нулю граничные условия вида q(x,y,t), так как работа по оси z не совершается. Определим стальные граничные условия.

Граничные условия по оси y имеют вид:

0<y<y_max , (2.3)

где y_max – высота лопатки, м.

Граничные условия по координате x для лопасти гидротурбины имеют вид:

(2.4)

где x₁(y), x₂(y) – уравнения окружности.

Уравнения окружностей имеют вид:

, (2.5)

, (2.6)

где – отклонение центра окружности от начала координат, м;

---

R₁, R₂ – радиусы окружностей, м.

Рисунок 2.2 – Проекция лопасти на плоскость xy

По рисунку 2.2 определим отклонение центра окружностей от начала координат:

, (2.7)

где - угол кривизны передней стороны лопатки

Выразив из (2.5), (2.6) x₁, x₂ и подставив в (2.4), получим:

(2.8)

Проекция лопасти гидротурбины на плоскость yz представляет собой трапецию (рисунок 2.3). В пространстве xyz высота зависит не только от y, но и от x, поэтому предел изменения z описывается уравнением конуса.

Уравнение конуса:

(2.9)

, (2.10)

где x₀, y₀, z₀ – смещение вершины конуса от начала координат по оси x, y, z, м;

a₁, b₁, c₁ – полуоси конуса, м.

По рисунку 2.3 определим неизвестные величины.

, (2.11)

где h₂ – ширина нижнего основания конуса, м.

, (2.12)

г

z

де h₁ – ширина верхнего основания конуса, м.

Рисунок 2.3 – Проекция лопасти на координатную плоскость yz

По определению тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему, следовательно:

, (2.13)

где L – высота усеченного конуса, м.

Высота неусеченного конуса:

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

В соответствии с уравнениями (2.8), (2.9) и (2.17), получим условия по координате z.

(2.19)

z₁(x,y)<z<z₂(x,y) (2.20)

Выражения (2.3), (2.8), (2.20) являются граничными условиями для лопасти гидротурбины.

Учтем размерности всех коэффициентов и величин, входящих в уравнение

(2.1), получим:

f(x,y,z,t) – давление на поверхность лопатки турбины, Н/м²;

Q(x,y,z,t) – напряженность лопасти гидротурбины, Н/м²;

b – внешнее возмущении, появившееся в следствии турбулентности потока.

a² – коэффициент кинематической вязкости жидкости (м²/с)

Коэффициент кинематической вязкости является мерой сопротивления жидкости под влиянием силы тяжести. Для воды коэффициент в среднем равен 0,81·10^-6 м²/с. /10/

2.2 Формулы распределения напряженности на лопатке гидротурбины

Для получения выходной функции системы с распределенными параметрами необходимо провести интегрирование:

, (2.21)

где – функция Грина;

– нормирующая функция;

D – область определения пространственных переменных.

Нормирующая функция, определяется, как входное воздействие при нулевых граничных и начальных условиях.

По справочнику /7/ определим вид нормирующей функции:

, (2.22)

где f(x,y,z,t) – внешнее силовое воздействие;

δ(t) – импульсная функция или дельта-функция Дирака;

Q₀(x,y,z) – начальные условия;

q(x,y,t) – граничные условия.

Учитывая нулевые начальные и однородные граничные условия получим:

(2.23)

Из анализа литературы /10/:

, (2.24)

(2.25)

Из уравнения физики знаем, что давление жидкости зависит от ее плотности и высоты столба. /10/

, (2.26)

где F_т – сила тяжести жидкости, Н;

S – площадь поверхности, на которую действует сила, м²;

m – масса жидкости, кг;

V – объем жидкости, м³;

h – высота слоя жидкости, м;

ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды;

g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения.

---

Из уравнения (2.26) видно, что давление от координат x и y не зависит, поэтому можем записать:

, (2.27)

Высота столба жидкости над лопастью зависит от напора гидротурбины и толщины лопасти. Рабочая лопатка изменяет свою толщину по длине и ширине. Следовательно, высота столба зависит от верхней поверхности лопасти, которая согласно граничным условиям (2.20):

(2.28)

Пусть напор воды в гидротурбине равен h₀. Высота столба жидкости определиться как разность между напором гидротурбины и верхней поверхности лопасти:

(2.29)

Согласно (2.27) формула (2.29) примет вид:

(2.30)

Для того чтобы определить градиент скорости рассчитаем скорость по координатам.

, (2.31)

где – радиус движения лопатки по координатным осям Ox, Оу и Oz, м;

ν – частота вращения рабочего колеса, об/с

Радиус движения лопатки при рассмотрении осей Oу и Oz равен диаметру вала рабочего колеса d_в.

(2.32)

Радиус движения лопатки при рассмотрении оси Oх меняется от d_в до (d_в+L). /17/ Скорость на краю лопатки:

(2.33)

Следовательно получим градиент скорости:

(2.34)

Функцией Грина называется функция источника, которая равна выходному сигналу:

G(x,y,z,t) = Q(x,y,z t), (2.35)

при f(x,y,z,t) = δ(x – ξ)·δ(y – η)·δ(z – ζ)·δ(t – τ),

где δ(x – ξ) – пространственная -функция по координатам x;

δ(y – η) – пространственная -функция по координатам y;

δ(z – ζ) – пространственная -функция по координатам z;

δ(t – τ) – -функция по времени;

, η, ζ – координаты входного возмущения;

x, y, z – координаты точки отклика от удара.

Из справочника /7/ берем функцию Грина:

(2.36)

где ,

– вспомогательные коэффициенты,

с/кг – коэффициент пропорциональности. /17/

Подставим числовые коэффициенты в уравнение, получим:

(2.37)

Подставив выражения (2.23) и (2.37) в выражение (2.21), получим формулу для определения функции распределения нагрузки по лопасти гидротурбины:

(2.38)

2.3 Дифференциальные уравнения, описывающие распределения энергетики нагрузок по механизму разворота лопаток гидротурбины

Изменение мощности поворотно-лопастной гидротурбины осуществляется

одновременным поворотом лопаток направляющего аппарата и лопастей рабочего

колеса. Управление разворотом лопаток осуществляется регулятором турбины. При изменении нагрузки регулятор автоматически меняет открытие направляющего аппарата и одновременно угол разворота лопаток рабочего колеса. Для того чтобы записать уравнение с распределенными параметрами рассмотрим принцип работы механизма разворота лопаток гидротурбины.

В кулисном механизме разворота лопаток усилие сервомотора Р_ср передается штоком на кулису 5, которая перемещаясь вдоль оси, заставляет камень 3, связанный с рычагом а посредством пальца 4, перемещаться вдоль паза и поворачивать рычаг и цапфу в вокруг ее оси.

---

1 – цапфа; 2 – рычаг; 3 – камень; 4 – палец; 5 – кулиса

Рисунок 2.4 – Скелетная схема кулисного механизма

Так как мы рассматриваем механизм разворота лопастей в пространстве, то расчет ведется по трем координатам (x, y, z).

Считаем, что выходная величина – это нагрузка на камне кулисы механизма разворота лопаток гидротурбины. Она совершается в течение некоторого времени поэтому .

Также для того, чтобы заставить лопатки рабочего колеса гидротурбины перемещаться, необходимо разложить усилие по координатам.

Рисунок 2.5 – Камень кулисы в координатных осях (x, y, z)

Уравнение, описывающие распределение нагрузки на камне кулисы механизма разворота лопаток гидротурбины описано уравнением (2.1)

Согласно уравнению механики закон изменения внешнего воздействия имеет вид:

, (2.39)

где – скорость движения кулисы, м/с;

m – масса кулисы, кг;

g = 9,8 – ускорение свободного падения, м/с²;

Р_ср – усилие сервомотора, Н;

F_тр – сила трения, Н;

R – сила реакции опоры, Н.

Определим граничные условия. Поскольку камень кулисы механизма разворота лопаток гидротурбины имеет форму параллелепипеда, то граничные условия по осям имеют вид:

(2.40)

Учитывая, что начальные условия – это условия нахождения системы в начальный момент времени – можем принять равными нулю, так как в начальный момент времени никакой работы по перемещению лопаток рабочего колеса не совершалось. Так же принимаем равными нулю граничные условия вида q(x,y,t), так как работа по оси z не совершается.

Усилие сервомотора Р_ср изменяется только по оси z. /17/

(2.41)

где z_л – число лопастей гидротурбины, шт;

М_г – гидравлический момент, Н·м;

М_тр – момент трения, Н·м;

l_p – длина рычага, м;

α – угол наклона кулисного паза относительно оси турбины, град;

 – угол расположения рычага, град;

– относительные потери в шарнире камень-рычаг;

– относительная потеря между пазом и камнем;

– относительная потеря в направляющих крестовины; /17/

f – коэффициент трения;

г_кр – радиус, на котором расположен паз крестовины, м;

г_ш – радиус направляющих на половине его высоты, м.

Сила трения также не зависит от координат x и y, следовательно можно записать:

, (2.42)

где Р_кр – сила в шарнире серьга-крестовина, Н.

Сила реакции опоры также не зависит от координат x и y и тогда получаем:

(2.43)

Массу камня можно рассчитать, исходя из формулы:

(2.44)

где - объемная плотность материала камня, кг/м³.

Для того, чтобы определить градиент скорости рассчитаем скорость по координатам.

, (2.45)

где S – перемещение кулисы по координатным осям Ox, Оу и Oz.

Скорость движения кулисы за время t=6 с по оси Ox равна:

(м/с)

Скоростью движения кулисы по оси Oу и Оz можно пренебречь.

Тогда получим градиент скорости:

---

(м/с) (2.46)

Функция Грина аналогична выражению (2.36).

Определим функцию распределения нагрузки по механизму разворота лопастей гидротурбины.

(2.47)

---

Смотрите также файлы

• Типовой расчет надежности.doc

• Методика определения экономической эффективности.doc

• Ведомость проекта.doc

• Ведомости проекта.doc

• Содержание 1.doc