Файл: Методы принятия управленческих решений. Метод РИПСА в задаче выбора решений.pdf

(2)

Где : l_Аi , l_Аj — оценки альтернатив A_i и A_j по i-му критерию; L_i — длина шкалы i-го критерия.

Укажем очевидные свойства индекса согласия[11,15].

1) 0 £ С_АiAj £ 1;

2) С_АiAj = 1, если подмножество I^- пусто;

3) Са_iAj сохраняет значение при замене одного критерия на несколько с тем же общим весом.

Приведем свойства индекса несогласия:

l) 0 £ d_АiAj £ l:

2) d_АiAj сохраняет значение при введении более детальной шкалы по i-му критерию при той же ее длине.

Введенные индексы применяются при построении матриц индексов согласия и несогласия для заданных альтернатив. Коэффициент несогласия так же, как и коэффициент согласия, меняется в интервале от нуля до единицы. [10]

Отметим, что индекс несогласия может быть назван «вето», так как он как бы накладывает вето на сравнения.

В методе ELECTRE I бинарное отношение превосходства задается уровнями согласия и несогласия. Если С_АiAj £ a₁ и d_AiAj £ g₁, где a₁, g₁ — заданные уровни согласия и несогласия, то альтернатива А объявляется превосходящей альтернативу В.

Если же при этих уровнях сравнить альтернативы не получилось, то они объявляются несравнимыми. Смотря на это с методологической точки, введение понятия несравнимости было важным этапом развития теории принятия решений. Если оценки альтернатив в значительной степени противоречивы (по одним критериям одна намного лучше другой, а по другим — наоборот), то такие противоречия никак не компенсируются и такие альтернативы сравнивать нельзя. Понятие несравнимости исключительно важно и с практической точки зрения. Оно позволяет выявить альтернативы с «контрастными» оценками как заслуживающие специального изучения.

Отметим, что уровни коэффициентов согласия и несогласия, при которых альтернативы сравнимы, представляют собой инструмент анализа в руках ЛПР и консультанта. Задавая эти уровни (постепенно понижая требуемый уровень коэффициента согласия и повышая требуемый уровень коэффициента несогласия), они исследуют имеющееся множество альтернатив.

При заданных уровнях на множестве альтернатив выделяется ядро недоминируемых элементов, которые находятся либо в отношении несравнимости, либо в отношении эквивалентности. При изменении уровней из данного ядра выделяется меньшее ядро и т.д. Аналитик предлагает ЛПР целую серию возможных решений проблемы в виде различных ядер. В конечном итоге можно получить и одну лучшую альтернативу. При этом значения индексов согласия и несогласия характеризуют степень «насилия» над данными, при которых делается окончательный вывод.

---

Следует подчеркнуть, что уровни коэффициентов согласия и несогласия, при которых альтернативы сравнимы, представляют собой инструмент анализа в руках ЛПР и консультанта. Задавая эти уровни, постепенно снижая требуемый уровень коэффициента согласия и несогласия, они исследуют имеющееся множество альтернатив. [16]

Коротко метод ELECTRE I можно описать так:

На основании заданных оценок двух альтернатив подсчитываются значения двух индексов: согласия и несогласия. Эти индексы определяют согласие и несогласие с гипотезой, что альтернатива aj превосходит альтернативу aj.

Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми сравниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтернатив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс несогласия ниже, то одна из альтернатив превосходит другую. В противном случае альтернативы несравнимы.[16] Применение метода ELECTRE I представлены в таблицах 1-5.

Название объекта	Заработная плата	Удаленность	Перспективы
Вариант 3	75	60	5
Вариант 4	60	50	9
Вариант 5	80	80	7
Вариант 7	80	70	4
Вариант 8	65	60	8

Таблица 1. Базовые значения примера

Заработная плата	0,4
Удаленность	0,3
Перспективы	0,3

Таблица 2. Веса критериев

Критерий	Разность
Заработная плата	20
Удаленность	0,3
Перспективы	0,3

Таблица 3. Максимальные разности

Объекты	В3	В4	В5	В7	В8
В3	*	0,40	0,30	0,60	0,70
В4	0,60	*	0,60	0,60	0,60
В5	0,70	0,40	*	0,70	0,40
В7	0,40	0,40	0,70	*	0,40
В8	0,60	0,40	0,60	0,60	*

Таблица 4. Матрица коэффициентов согласия

Объекты	В3	В4	В5	В7	В8
В3	*	0,80	0,40	0,25	0,60
В4	0,75	*	1,00	1,00	0,25
В5	0,67	1,00	*	0,33	0,67
В7	0,33	1,00	0,60	*	0,80
В8	0,50	0,33	0,75	0,60	*

---

Таблица 5. Матрица коэффициентов несогласия

С учетом введенных коэффициентов bi ,l иdi ,l ,формальное отношение предпочтения определяется следующей логической функцией: Bi Bl, если bi,l ϵ B и d i,l ϵ D где B и D – заданные ЛПР пороговые значения. Из этого следует, что объект i предпочтительнее объекта l , когда:

a) совокупность критериев (с учетом их важности), по которым Bi превосходит Bl достаточно представительна. Поэтому обычно задают пороговое значение B, близкое к единице;

b) обратное предпочтение Bl перед Bi по некоторым критериям не дает достаточно оснований (обычно порог D близок к нулю) для отказа от предположения о превосходстве объектаl над объектомi . Величины порогов0.5 B 1,0 D 1 задаются ЛПР исходя из своих суждений о предпочтительности объектов.[16]

Нижняя граница B равна 0.5, потому что при B 0.5 и D 1 мы получим полносвязанный граф предпочтений, т.е. между каждой парой объектов будет обязательно установлено отношение предпочтения. Даже может получиться, что предпочтение будет установлено как при сравнении Bl с Bi так и наоборот, при сравнении Bi с Bl. Это следует из того, что для вычисляемых коэффициентов согласия выполняется следующее неравенство:

bi,lbl,i1.

Для заданных порогов B и D , получим обобщенный граф предпочтений Ci,l , причем этот граф будет не полностью связанным и не обязательно транзитивным, т.е. в нем могут присутствовать циклы.[16]

Матрица отношений при В=0,55 и D=0.8.

В3	*		>	<	>	>
В4	>		*	N	>	<
В5	<		N	*	>	<
В7	<		N	>	*	<
В8	>	<	>	>	*

Таблица 6. Обобщенный график предпочтения объектов

Замкнутый цикл можно рассматривать как равноценность соответствующих объектов.

Поэтому нетранзитивность можно устранить, осуществляя "стягивание" циклов, т.е. заменить замкнутый контур одной вершиной, считая, что все объекты этого контура равнопредпочтительны. Однако информацию о стягиваемых циклах необходимо предоставить ЛПР для содержательного анализа, возможно, что оно не будет согласно с равнопредпочтительностью этих объектов и тогда, по своему усмотрению, может ввести поправку в обобщенный граф и устранить цикл.

---

В результате получим не связанный график , который отражает отношение предпочтения между объектами. Причем множество объектов (групп объектов) будут не сравнимы (объекты 6 и 1 на рис.1). Следует отметить, что чем меньше B и больше D , тем обобщенный граф будет более связным, но вместе с тем следует ожидать в нем большое число циклов. Поэтому рекомендуется строить обобщенный граф предпочтения, начиная с больших значений B и малых D . Дело в том, что чем ближе значения порога B к единице, а D к нулю, тем жестче требования к установлению предпочтения. Если, например, при B 0.9 ,D 0.15 получили несколько Ci,l 1, то в этом случае объекты Bl следует исключить из дальнейшего рассмотрения как бесперспективные с точки зрения поставленной задачи выделения наиболее предпочтительного объекта. Тем самым сократится исходное множество объектов.

Затем можно уменьшить порог B или увеличитьD , анализируя сокращенное множество объектов.

Вышеописанная процедура исключения объектов допустима в случаях, когда величину j для определения коэффициента несогласности ЛПР задаёт само, и тогда j не зависит от исходных значений критериев. В этом случае значения коэффициентов bi ,l и di,l не зависят от исходного множества объектов.

Рисунок 1. Отношение предпочтения между объектами

2.3. Метод ELECTRE II

Как и метод ELECTRE I данный метод использует четкие бинарные отношения между альтернативами. Индекс согласия подсчитывается аналогично подсчету индекса согласия в методе ELECTRE I.

 В методе ELECTRE II задаются два уровня для индекса согласия: a1 > a2 и два уровня индекса несогласия (вето): g1 £ g2. Далее вводятся два отношения предпочтения d1 и d2 между альтернативами так, что для I = 1,2 имеем:

Этап исследования множества альтернатив

На заданном конечном множестве альтернатив А определяются альтернативы, которые находятся в сильном, а затем — в слабом отношении предпочтения. Далее выявляется первое ядро, в которое входят недоминируемые альтернативы. Затем они удаляются из рассмотрения, и процедура повторяется снова уже для оставшихся альтернатив и т.д. [16]

Присваивая ранги альтернативам, входящим в соответствующие ядра, выстраиваем полный порядок на множестве альтернатив. Второй полный порядок строится аналогично первому, но начиная с класса худших альтернатив (недоминирующих другие) и переходя снизу вверх к лучшим альтернативам. Если два построенных порядка не слишком различны по упорядочению альтернатив, то на их основе строится средний порядок, который и предъявляется ЛПР.[1]

---

Такое построение осуществляется на основе следующих правил:
• A_iPA_j строго превосходит, если A_i имеет лучший ранг в одном из порядков, и по крайней мере не худший в другом;

• A_iIA_j (эквивалентны), если они имеют одинаковые ранги в двух полных порядках;

• A_iN A_j (несравнимость), если они имеют одно упорядочение в одном из порядков, противоположное — в другом.[16,1]

2.4. Метод ELECTRE III

 Этап разработки индексов

В методе ELECTRE III применяются псевдокритерии и числовые бинарные отношения. Задано N псевдокритериев и уровень вето gj(хj) > 0.[16]

Индексы согласия и несогласия вычисляются следующим способом:

Для каждой пары альтернатив строится «числовое» бинарное отношение в следующем виде:

здесь I* — множество критериев, для которых dk(Ai, Aj) > C(Ai, Aj).

Величину d(Ai, Aj) можно интерпретировать как меру уверенности в справедливости гипотезы о том, что Ai предпочтительнее Aj.

Этап исследования альтернатив

На данном этапе в очередь устанавливается достаточно близкий к максимуму уровень, при котором принимается гипотеза о превосходстве A_i над A_j. Этот уровень расчитывается по формуле:

Далее для каждой альтернативы Ai подсчитываются два индекса:[1]

• индекс «силы» — число альтернатив, доминируемых Ai;
• индекс «слабости» — число альтернатив, доминирующих Ai.

Альтернативе Ai присваивается характеризующее ее число, равное разности индексов «силы» и «слабости».

После чего выстраивается сверху вниз первый полный порядок альтернатив аналогично тому, как это делается в методе ELECTRE II.

Альтернативы обладающие наибольшим значением l, удаляются, для оставшихся пяти выделяется ядро на основе подсчета тех же чисел, и т.д.

При подходе снизу вверх определяется иной порядок. На основе полных двух порядков выстраивается средний порядок, аналогично тому, как это делается в методе ELECTRE П.

Отметим, что метод ELECTRE IV близок по идеям к методу ELECTRE III. Наиболее существенное отличие состоит в том, что в ELECTRE IV не используются веса критериев [13].

Пример

Допустим, что в задаче выбора места для строительства аэропорта заданы альтернативы: А ($180 млн, 70 мин., 10 тыс.); С ($160 млн, 55 мин., 20 тыс.); В ($170 млн, 40 мин., 15 тыс.); D ($150 млн, 50 мин., 25 тыс.). Пусть веса критериев следующие: w₁ = 3; w₂ = 2; w₃ = 1. Сохраним те же длины шкал: L₁ = 100; L₂ = 50; L₃ = 45.[5]

Альтернатива	A	B	C	D
A	*	1/6	1/6	1/6
B	5/6	*	3/6	3/6
C	5/6	3/6	*	1/6
D	5/6	3/6	5/6	*

---