Файл: Практикум по геометрии занятие 7 Углы в четырехугольниках. Занятие Углы в четырехугольниках.ppt

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
1.Сумма углов выпуклого n-угольника равна (???? − 2) ∙ 1800.
2.Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 3600.

1. В параллелограмме противоположные углы равны.
∠???? = ∠????, ∠???? = ∠????
2. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180º.
∠???? + ∠???? = 180º, ∠???? + ∠???? = 180º

3. В ромбе диагонали делят его углы пополам.
ABCD – ромб, то
∠???????????? = ∠????????????, ∠???????????? = ∠????????????
∠???????????? = ∠????????????, ∠???????????? = ∠????????????
4. В ромбе диагонали перпендикулярны.
???????? ⊥ ????????
5. В квадрате все углы прямые.

6. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
ABCD – равнобедренная трапеция, то
∠???? = ∠????, ∠???? = ∠????

Проверяем себя.

Т19. Выберите верные утверждения:
а) В параллелограмме есть два равных угла.
б) Если в ромбе один из углов 90°, то такой ромб – квадрат.
в) В ромбе все углы равны.
г) Существует выпуклый четырехугольник, все углы которого острые.
д) Существует выпуклый четырехугольник, все углы которого прямые.

Ответ: а), б), д).

Проверяем себя.

Ответ: б), г).

Т20. Выберите неверные утверждения:
а) В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
б) В параллелограмме сумма любых двух углов равна 180°
в) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
г) Существует трапеция, все углы которой равны.

Проверяем себя.

Ответ: 1.

Т21. Выберите верное утверждение:
1) Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.
2) Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом.
3) Существует параллелограмм с углами 30° и 120°.

Решаем задачи. №43

а) Один из углов параллелограмма равен 61°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
б) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 150°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
в) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 240°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 119

Ответ: 105

Ответ: 60

Решаем задачи. №44

Ответ: 65

а) 44. а) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 16:29. Ответ дайте в градусах.
б) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 11:61. Ответ дайте в градусах.
в) Найдите меньший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 13:23. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 116

Ответ: 152,5

Решаем задачи. №45

Ответ: 80

а) Диагональ прямоугольника образует угол 50° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
б) Угол DOB между диагоналями прямоугольника 50°. Найдите угол СDО. Ответ дайте в градусах в) Угол DOB между диагоналями прямоугольника 40°. Найдите угол между диагональю ВС и стороной ВD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 25

Ответ: 70

Решаем задачи. №46

Ответ: 158

а) В ромбе ABCD угол CBD равен 11°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.
б) В ромбе ABCD угол DCA равен 63°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
в) В ромбе ABCD угол ABC равен 82°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 27

Ответ: 49

Решаем задачи. №47

Ответ: 125

а) Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 46° и 1° соответственно. Ответ дайте в градусах.
б) Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 102°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
в) Один из углов равнобедренной трапеции равен 55°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 133

Ответ: 129

Решаем задачи. №48

Ответ: 93

а) Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если разность противолежащих углов равна 60? Ответ дайте в градусах.
б) Чему равен меньший угол равнобедренной трапеции, если разность противолежащих углов равна 250? Ответ дайте в градусах.
в) Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если разность противолежащих углов равна 800? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 93

Ответ: 77,5

Ответ: 130

Решаем задачи. №49

Ответ: 107,5

а) Угол выпуклого четырехугольника равен 40°, второй угол на 65° больше, два других угла одинаковые. Найдите один из этих углов. Ответ дайте в градусах.
б) Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите больший угол четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
в) Сумма трех углов четырехугольника 270°. Найдите четвертый угол.
Ответ дайте в градусах.

Ответ: 144

Ответ: 90

Задачи с развернутым ответом

Ответ: 45

1. Найдите острый угол прямоугольной трапеции, основания которой равны 18 и 9 и меньшая сторона равна 9. Ответ дайте в градусах.

9

C

B

A

Дано: ABCD – трапеция, D=90º, AB II CD, AB=9, CD=18, AD=9.
Найти С.

D

Е

Решение:

Проведем высоту ВЕ,
рассмотрим четырехугольник ABED – это прямоугольник, т.к.
AB II CD и D=90º
а т.к. AB=9 и AD=9, ABED – квадрат, DE=9 и BE=9.
3. Рассмотрим  ВСЕ: он прямоугольный - ВЕС=90º,
СЕ=DC-DE=18-9=9, т.к. и BE=9   ВСЕ – равнобедренный,
4. Значит С=45º.

18

9

Задания ОГЭ

2. Тип 16 № 350586

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC  =  155°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник ABC  — равнобедренный, следовательно,

Угол BAC  — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол BOC  — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы BAC и BOC опираются на одну и ту же дугу, следовательно,

Ответ: 25.

Задания ОГЭ

3. Тип 17 № 350659

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 97. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
Решение.

MN − средняя линия треугольника ABC. Треугольники ABC и NMC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2. Значит,
а

Ответ: 291.

Задания ОГЭ

4. Тип 18 № 340982

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Решение. Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике  — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 4.

Задания ОГЭ

5. Тип 19 № 314869
Укажите номера верных утверждений.
1)  Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают.
2)  Существует параллелограмм, который не является прямоугольником.
3)  Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

Ответ: 23.