Файл: Matlab Пособие.docx

Тема 1.2. Векторы, матрицы и
построение графиков в системе Matlab

1.2.1. Вектора и матрицы

1.2.2. Построение графиков и визуализация вычислений в системе MatLab

1.2.3. Лабораторная работа по теме

1.2.4. Контрольные вопросы по теме

1.2.1. Векторы и матрицы

Matlab построена как система, ориентированная на работу с матрицами, то есть все численные вычисления производятся в матричной форме. Даже обычные числа и переменные в Matlab рассматриваются как матрицы размера 1 x 1. К особенностям работы с массивами в Matlab относится то, что одномерный массив может быть вектором-строкой или вектором-столбцом
(рис. 1.2.1-1).

Рис. 1.2.1-1. Представление данных в Matlab: переменные,
вектора (одномерные массивы) и матрицы (двумерные массивы)

Для определения вектора используется операция квадратные скобки (операция объединения), а элементы вектора (рис. 1.2.1-2) отделяются друг от друга:

• точкой с запятой, если нужно получить вектор-столбец;

• пробелом или запятой, если нужно разместить элементы в векторе-строке.

Рис. 1.2.1-2. Создание вектора-строки a=[ ] и вектора-столбца b=[ ]

Для определения длины вектора используется функция length(а), где а – имя вектора, а для операции транспонирования используется символ апостроф (') (рис. 1.2.1-3).

Рис. 1.2.1-3. Определение длины вектора и его транспонирование

В следующем примере (рис. 1.2.1-4) при описании вектора х символ двоеточие, поставленный между двумя числами, указывает, что его элементы последовательно принимают значения, начиная от первого числа (0) до последнего числа (5) с шагом 1 (по молчанию шаг равен 1). При описании вектора y использован шаг 0.1, и выведены значения элементов вектора.

Рис. 1.2.1-4. Способы описания векторов с постоянным шагом

Для описания матрицы необходимо ввести ее имя и знак присваивания, а затем в квадратных скобках значения ее элементов. При этом значения элементов строк вводятся через пробел, а строки матрицы разделяет символ точка с запятой (;) (рис. 1.2.1-5):

А=[v1;v2;v3], где v1, v2, v3 - векторы одинаковой размерности.

Рис. 1.2.1-5. Создание матрицы A(3,4) и доступ к ее элементам

Следует помнить, что нумерация элементов матрицы (в строках и столбцах) начинается с 1.

Matlab обладает большим набором встроенных функций для обработки векторных данных. Полный список имеющихся функций выводится в командное окно при помощи команды help datafun. Некоторые из них приведены в таблице 1.2.1-1.

Таблица 1.2.1-1

Примеры использования некоторых функций над векторами приведены на рис. 1.2.1-6.

Рис. 1.2.1-6. Примеры функции над векторами

Рис. 1.2.1-7. Примеры определения матриц

На рис. 1.2.1-7 приведены примеры вычисления определителя квадратной матрицы и заполнения матриц случайными числами, сгенерированных по равномерному и нормальному законам.

В следующем примере (рис. 1.2.1-8) показано использование функции Matlab sum().

Рис. 1.2.1-8. Варианты использования функции Matlab sum()

Пример, приведенный на рис. 1.2.1-9, демонстрирует функции, определяющие минимальные и максимальные значения матриц.

Рис. 1.2.1-9. Определение минимальных и максимальных значений

В примере, приведенном на рис. 1.2.1-10, показаны функции, позволяющие определять средние значения элементов в столбцах (или в строках) и проводить упорядочение (сортировку) элементов в строках (или столбцах).

Рис. 1.2.1-10. Определение средних значений и упорядочение элементов

Известно, что если детерминант матрицы отличен от нуля, то это невырожденная матрица. Для такой матрицы может быть вычислена обратная матрица (А^-1), которая при умножении на исходную матрицу А дает единичную (по диагонали расположены единицы, а прочие элементы равны нулю). Для получения обратной матрицы используется функция inv(). Умножение матриц в Matlab производится только с использованием их имен. Описанные действия приведены на рис. 1.2.1-11.

Рис. 1.2.1-11. Получение обратной и единичной матриц

Рассмотрим еще один пример, в котором матрица умножается на скаляр, матрица делится на скаляр и матрица умножается на вектор (рис. 1.2.1-12).

Рис. 1.2.1-12. Действия над матрицами

Вектора и матрицы кроме традиционного их применения для хранения и обработки данных необходимы и для построения графиков функций. При этом вектора используются для построения плоских графиков (графиков функций от одной переменной), а матрицы – для построения трехмерных изображений (графиков функций от двух переменных).

Обратите внимание, что после ввода или формирования элементов векторов и матриц могут возникнуть ошибки. Для контроля и исправления отдельных элементов векторов и матриц можно воспользоваться окном редактора данных (рис. 1.2.1-13).

Окно редактора массива данных (Variables – ИмяПеременной) состоит из панели инструментов и области просмотра значений переменных. В окне редактора данных (рис. 1.2.1-13) можно отображать не­сколько переменных. Переключение между переменными реализуется с помощью вкладок.

Рис. 1.2.1-13. Окно Рабочей среды с активной инструментальной панелью VARIABLE и открытым Редактором данных

1.2.2. Построение графиков и визуализация вычислений в системе MatLab

Самый простой способ для построения графика функции одной переменной y=f(x) - это предварительное формирование двух векторов одинаковой длины: век­тора значений аргументов x и вектора соответствующих им значений функции у, а затем выполнение команды plot(x, y). Выполнение команды plot(x, y) открывает графическое окно и отображает в нем график функции y(x).

Рассмотрим пример построения графика функции на отрезке [-1.5;1.5] (рис. 1.2.2-1).

Рис. 1.2.2-1. Команды построения графика функции

В результате выполнения команды plot(x,y) появляется графическое окно с именем Figure 1 (рис. 1.2.2-2).

Рис. 1.2.2-2. Графическое окно с изображением графика функции

Переход между окнами (от командного окна к графическому окну и обратно) осуществляется с помощью комбинации клавиш <Alt+Tab> или с помощью мыши.

В общем случае, число аргументов у функции plot() не ограничивается двумя. Эта функция имеет следующий формат:

plot(x1,y1,x2,y2,...).

Таким образом, в одном графическом окне можно построить не один, а несколько графиков. Рассмотрим два способа построения в одном графическом окне трех графиков (рис. 1.2.2-3 и рис. 1.2.2-4).

Рис. 1.2.2-3. Использование векторов значений функций

для построения графиков трех функций

Рис. 1.2.2-4. Использование матрицы значений функций

для построения графиков трех функций

Приведенные в первом и втором примерах наборы команд позволяют получить один и тот же результат (рис. 1.2.2-5.) Разница в том, что в первом примере формируются три вектора значений функций (y1, y2, y3), а во втором – матрица y, содержащая значения функций в виде столбцов.

График, выведенный в графическое окно Matlab, может быть снабжен заголовком, именами осей, дополнительным текстом, сеткой и другой поясняющей информацией. Аргументами команд, управляющими пояснениями, являются текстовые строки. Например, команда title() добавит к графику заголовок. Команда grid on позволяет отобразить координатную сетку. Для вывода подписи осей используются команды Xlabel(), Ylabel().

Рис. 1.2.2-5. Графики функций y 1=sin(x); y2=sin(2*x); y3=sin(4*x)

Если в одном графическом окне создаются несколько графиков, полезно с использованием функции legend() отобразить легенду графиков. Ее текстовые аргументы соответствуют подписям соответствующих созданию кривых, а числовой параметр определяет место расположения в графическом окне (табл. 1.2.2-1).

Таблица 1.2.2-1

При выводе в одно графическое окно нескольких графиков удобнее каждый график выводить с использованием своей команды plot(), однако в этом случае происходит создание нового графического окна. Для того чтобы этого избежать, используется команда holdon. Эта команда позволяет расположить все в дальнейшем выводимые графики в одном окне.

При выводе графика можно сменить принятый по умолчанию Matlab цвет и тип точек, с помощью которых рисуется данный график (табл.1.2.2-2). Символы, указывающие на цвет и тип точки, заключаются в апострофы и указываются в команде plot() после имени функции.

Таблица 1.2.2-2

Рассмотрим пример (рис. 1.2.2-6), в котором используются перечисленные выше опции, инструкции и функции. Результат выполнения инструкций, комментирующих графики, приведен на рис. 1.2.2-7.

Рис. 1.2.2-6. Использование инструкций при построении графиков

Рис. 1.2.2-7. Результат выполнения инструкций,

комментирующих графики

Большую часть вышеописанных действий можно реализовать также с помощью команд инструментальной панели графических окон (рис. 1.2.1-8).

Рис. 1.2.2-8. Компоненты меню графического окна

Команды основного меню графического окна представляют большой набор средств, предназначенных для отображения и оформления графиков, позволяющих в интерактивном режиме и без использования команд придать графику желаемый вид, а кнопки панели дублируют наиболее часто используемые пункты меню, ускоряя тем самым доступ к ним.

Трехмерные поверхности обычно описываются функцией двух переменных z(x,у). Для построения трехмерных графиков необходимо сформировать два двумерных массива, например, X и Y с использованием функции meshgrid() (рис. 1.2.2-9).

Рис. 1.2.2-9. Формирование двумерных массивов функцией meshgrid()

Рис. 1.2.2-10. Построение различных видов графиков

функций двух переменных

Сформированные в виде двумерных массивов данные используются функциями:

• mesh(X,Y,Z) – построение сетчатого графика;

• contour(X,Y,Z) – построение графика контурных линий;

• surf(X,Y,Z) – построения графика сплошной поверхности;

• surfс(X,Y,Z) – построения графика сплошной поверхности и контурных линий;

• plot3(X,Y,Z) – построение точек, соединенных отрезками прямых и др.

Рассмотрим примеры использования перечисленных выше функций, для чего сформируем матрицу z(x,y) с использованием функции f(x,y)
(рис. 1.2.2-10).

Результатом выполнения команды mesh(x,y,z) является построение графика поверхности в виде сетки (рис. 1.2.2-11).

Рис. 1.2.2-11. Результат выполнения команды mesh(x,y,z)

В результате выполнения команды plot3(x,y,z) происходит построение графика поверхности, где точка соединены отрезками прямой
(рис. 1.2.2-12).

Рис. 1.2.2-12. Результат выполнения команды plot3(x,y,z)

Команда surf(x,y,z) выполняет построение графика сплошной поверхности (рис. 1.2.2-13).

Рис. 1.2.2-13. Результат выполнения команды surf(x,y,z)

Команда contour(x,y,z) позволяет получить график контурных линий (рис. 1.2.2-14).

Рис. 1.2.2-14. Результат выполнения команды contour(x,y,z)

Рис. 1.2.2-15

Добавление команд, представленных на рис. 1.2.2-15, позволяет нанести на контурные линии значения функции в отдельных точках
(рис. 1.2.2-16).

Рис. 1.2.2-16. График контурных линий с

нанесенными значениями функции

Команда surfс(x,y,z) предназначена для построения графика сплошной поверхности, дополненного контурными линиями (рис. 1.2.2-17).

Рис. 1.2.2-17. Результат выполнения команды surfс(x,y,z)