Файл: Лекция Аксиомы статики. Связи и их реакции. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 18
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Блок 1 «Статика»
Лекция 1. Аксиомы статики. Связи и их реакции. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1
. Основные понятия статики.
2
. Аксиомы статики.
3
. Связи и их реакции. В древние времена, когда запросы производства сводились главным образом к решению задач связанных со строительной техникой, начинает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равновесии тел (статика. Обоснование начал статики содержится уже в сочинения одного из великих ученых Архимеда
(287 –
212 г. нон. эВ России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя МВ. Ломоносова (1711—1765). Из многочисленных отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие различных областей теоретической механики, прежде всего, должны быть названы МВ. Остроградский (1801—1861), которому принадлежит ряд важных исследований по аналитическим методам решения задач механики ПЛ. Чебышев (1821—1894), создавший новое направление в исследовании движения механизмов СВ. Ковалевская (1850—1891), решившая одну из труднейших задач динамики твердого тела ИВ. Мещерский (1859—1935), заложивший основы механики тел переменной массы К. Э. Циолковский (1857—1935), сделавший ряд фундаментальных открытий в теории реактивного движения АН.
Крылов (1863—1945), разработавший теорию корабля и много внесший в развитие теории гироскопических приборов. Выдающееся значение для развития механики имели труды отца русской авиации НЕ. Жуковского (1847—1921) и его ближайшего ученика С. А.
Чаплыгина (1869—1942). Характерной чертой в творчестве НЕ. Жуковского было приложение методов механики к решению актуальных технических задач. Большое влияние идеи НЕ. Жуковского оказали и на преподавание теоретической механики в высших технических учебных заведениях нашей страны. Теоретическая механика включает в себя следующие разделы статика, кинематика и динамика. Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил. Основные понятия статики Твердое тело В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не деформируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано.
Лекция 1. Аксиомы статики. Связи и их реакции. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1
. Основные понятия статики.
2
. Аксиомы статики.
3
. Связи и их реакции. В древние времена, когда запросы производства сводились главным образом к решению задач связанных со строительной техникой, начинает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равновесии тел (статика. Обоснование начал статики содержится уже в сочинения одного из великих ученых Архимеда
(287 –
212 г. нон. эВ России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя МВ. Ломоносова (1711—1765). Из многочисленных отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие различных областей теоретической механики, прежде всего, должны быть названы МВ. Остроградский (1801—1861), которому принадлежит ряд важных исследований по аналитическим методам решения задач механики ПЛ. Чебышев (1821—1894), создавший новое направление в исследовании движения механизмов СВ. Ковалевская (1850—1891), решившая одну из труднейших задач динамики твердого тела ИВ. Мещерский (1859—1935), заложивший основы механики тел переменной массы К. Э. Циолковский (1857—1935), сделавший ряд фундаментальных открытий в теории реактивного движения АН.
Крылов (1863—1945), разработавший теорию корабля и много внесший в развитие теории гироскопических приборов. Выдающееся значение для развития механики имели труды отца русской авиации НЕ. Жуковского (1847—1921) и его ближайшего ученика С. А.
Чаплыгина (1869—1942). Характерной чертой в творчестве НЕ. Жуковского было приложение методов механики к решению актуальных технических задач. Большое влияние идеи НЕ. Жуковского оказали и на преподавание теоретической механики в высших технических учебных заведениях нашей страны. Теоретическая механика включает в себя следующие разделы статика, кинематика и динамика. Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил. Основные понятия статики Твердое тело В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не деформируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано.
Материальной точкой будет называться абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь. Исследованием движения нетвердых тел – упругих, пластичных, жидких, газообразных, занимаются другие науки (сопротивление материалов, теория упругости, гидродинамика и т.д.). Под равновесием будем понимать состояния покоя тела по отношению к другим материальным телам.
1. Векторная величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия между материальными телами, называется в механике силой В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н, килоньютонах (кН). Вектор определяется модулем, направлением и точкой приложения (рис. Рис. 1. Сила, приложенная к телу. Например, будем прикладывать к твердому телу, лежащему на неподвижной горизонтальной поверхности одну и туже по модулю силу F. При приложении силы сверху вниз тело остается в состоянии покоя при положении силы снизу вверх - тело поднимается изменим направление нагружения, приложим силу горизонтально к телу – тело начнет двигаться. Так как во всех случаях направление и место приложения силы различны, то и результат действия силы на тело разный, несмотря на то, что модуль силы F во всех случаях одинаков.
Силу, как и другие векторные величины, изображают в виде направленного отрезка со стрелкой на конце, указывающей его направление. Прямая В, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы Понятия линия действия и направление близки, ноне тождественны. Очевидно, что по линии действия можно определить направление с точностью до противоположного. Аналогично связаны понятия модуль и величина для вектора. В тексте вектор силы обозначается латинскими буквами и др, с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее численная величина - модуль. Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести по линии действия в любую точку тела (конечно – твердого тела. Поэтому вектор
1. Векторная величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия между материальными телами, называется в механике силой В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н, килоньютонах (кН). Вектор определяется модулем, направлением и точкой приложения (рис. Рис. 1. Сила, приложенная к телу. Например, будем прикладывать к твердому телу, лежащему на неподвижной горизонтальной поверхности одну и туже по модулю силу F. При приложении силы сверху вниз тело остается в состоянии покоя при положении силы снизу вверх - тело поднимается изменим направление нагружения, приложим силу горизонтально к телу – тело начнет двигаться. Так как во всех случаях направление и место приложения силы различны, то и результат действия силы на тело разный, несмотря на то, что модуль силы F во всех случаях одинаков.
Силу, как и другие векторные величины, изображают в виде направленного отрезка со стрелкой на конце, указывающей его направление. Прямая В, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы Понятия линия действия и направление близки, ноне тождественны. Очевидно, что по линии действия можно определить направление с точностью до противоположного. Аналогично связаны понятия модуль и величина для вектора. В тексте вектор силы обозначается латинскими буквами и др, с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее численная величина - модуль. Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести по линии действия в любую точку тела (конечно – твердого тела. Поэтому вектор
силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим.
2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил
3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому изданного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.
4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными Например, если системы сил, изображенных на риса ирис, б уравновешены, то эти две системы сил будут эквивалентны друг другу. Рис. Система сила заданная система сил б – эквивалентная система сил.
5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю
6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело. Так как система сил и эквивалентна одной силе рис. 2, б, то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Силы ив свою очередь могут называться составляющими силы R.
7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой
8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.
9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными
2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил
3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому изданного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.
4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными Например, если системы сил, изображенных на риса ирис, б уравновешены, то эти две системы сил будут эквивалентны друг другу. Рис. Система сила заданная система сил б – эквивалентная система сил.
5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю
6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело. Так как система сил и эквивалентна одной силе рис. 2, б, то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Силы ив свою очередь могут называться составляющими силы R.
7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой
8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.
9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными
Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу водной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил. В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжести его частиц. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела. Аксиомы статики. Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике. Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F
1
= F
2
) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 3). Рис. 3. Равновесие твердого тела под действием двух сил. Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может. Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил. Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу. Следствие из й и й аксиом Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
1
= F
2
) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 3). Рис. 3. Равновесие твердого тела под действием двух сил. Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может. Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил. Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу. Следствие из й и й аксиом Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
Рис. 4. В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила рис. Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы и , такие, что
,
. От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В. Таким образом, вектор, изображающий силу
, можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим. Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил. Две силы, приложенные к телу водной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах ирис, называется геометрической суммой векторов и : Рис. 5. Параллелограмм сил. Величина равнодействующей Конечно, Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной прямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так две силы, приложенные к телу водной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.
,
. От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В. Таким образом, вектор, изображающий силу
, можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим. Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил. Две силы, приложенные к телу водной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах ирис, называется геометрической суммой векторов и : Рис. 5. Параллелограмм сил. Величина равнодействующей Конечно, Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной прямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так две силы, приложенные к телу водной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.
Аксиома 4 (принцип противодействия. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие. Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело Ас такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой рис. 6). Однако силы и не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам. Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме 4 рассматривается случай, когда силы приложены к разным телами в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме 2. Рис. 6. Взаимодейстивие между телами. Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На риса изображена балка, опирающаяся на стены концами Аи В. Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами D
A и приложенными к стенам, а силы противодействия - силами R
A и R
B
, приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями. Рис. 7. Опирание балки на опоры а – схема нагружения балки б – силы взаимодействия балки с опорами. Аксиома 5 (принцип отвердевания. Равновесие изменяемого деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым. Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, ноне достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного сданным. Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д.
A и приложенными к стенам, а силы противодействия - силами R
A и R
B
, приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями. Рис. 7. Опирание балки на опоры а – схема нагружения балки б – силы взаимодействия балки с опорами. Аксиома 5 (принцип отвердевания. Равновесие изменяемого деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым. Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, ноне достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного сданным. Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д.
Аксиома 6 (аксиома связей).Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей. Связи и их реакции. По определению, тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать изданного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным например, воздушный шар в воздухе. Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, будем называть связью Например, тело лежащее на столе – несвободное тело. Связью его является плоскость стола, которая препятствует перемещению тела вниз. Очень важна так называемая аксиома освобождаемости, которую будем пользоваться в дальнейшем. Записывается она так. Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами, такими, чтобы тело оставалось в равновесии. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи Так у тела, лежащего на столе, связь – стол. Тело несвободное. Сделаем его свободным – стол уберем, а чтобы тело осталось в равновесии, заменим стол силой, направленной вверх и равной, конечно, весу тела. Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Когда связь одновременно препятствует перемещениям тела по нескольким направлениям, направление реакции связи также наперед неизвестно и должно определяться в результате решения рассматриваемой задачи. Если в качестве физического тела рассматривать какой-либо элемент инженерного сооружения (балка, ферма, колонна, плита и т. п, который передает давление на опоры, то реакции опор (связей) называют опорными реакциями Реакции связей носят вторичное происхождение, они возникают как противодействие другим силам. Все силы, кроме реакции связей, называют заданными силами Термин заданные силы имеет глубокий смысл. Заданные силы чаще всего являются
активными, те. силами, которые могут вызвать движение тел, например сила тяжести, снеговая или ветровые нагрузки и т.п. Учитывая сказанное выше, будем подразделять силы на активные силы и реакции связей. Одна из главных задач статики твердого тела - нахождение реакции связей. Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит
активными, те. силами, которые могут вызвать движение тел, например сила тяжести, снеговая или ветровые нагрузки и т.п. Учитывая сказанное выше, будем подразделять силы на активные силы и реакции связей. Одна из главных задач статики твердого тела - нахождение реакции связей. Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит
через точку касания тела и связи. Численное значение реакции определяется расчетом, а направление реакции зависит от вида (конструкции) связи. Для определения направления реакции необходимо установить особенности взаимодействия твердого тела со связями различного вида. Следует иметь ввиду, что реакция всегда направлена противоположно направлению возможного перемещения тела при удалении связи. Реакции некоторых основных видов связей.
1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (риса. Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. б, то реакция направлена по нормали к другой поверхности. Если поверхности негладкие, надо добавить еще одну силу – силу трения
, которая направлена перпендикулярно нормальной реакции в сторону, противоположную возможному скольжению тела. Рис. 8. Реакция гладкой опоры. Рис. Гибкая связь.
2. Нить (гибкие связи).
Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис, не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению AM. Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити от тела к точке ее подвеса. Если даже заранее можно догадаться, что реакция направлена к телу, все равно ее надо направить от тела. Таково правило. Оно избавляет от лишних и ненужных предположений и, как убедимся далее, помогает установить сжат стержень или растянут. Рис. 10. Реакции шарниров а – цилиндрический, б – сферический, в – подпятник.
1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (риса. Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. б, то реакция направлена по нормали к другой поверхности. Если поверхности негладкие, надо добавить еще одну силу – силу трения
, которая направлена перпендикулярно нормальной реакции в сторону, противоположную возможному скольжению тела. Рис. 8. Реакция гладкой опоры. Рис. Гибкая связь.
2. Нить (гибкие связи).
Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис, не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению AM. Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити от тела к точке ее подвеса. Если даже заранее можно догадаться, что реакция направлена к телу, все равно ее надо направить от тела. Таково правило. Оно избавляет от лишних и ненужных предположений и, как убедимся далее, помогает установить сжат стержень или растянут. Рис. 10. Реакции шарниров а – цилиндрический, б – сферический, в – подпятник.
3. Цилиндрический шарнир (подшипник Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром осевая линия болта называется осью шарнира. Тело АВ, прикрепленное шарниром к опоре D (риса, может поворачиваться как угодно вокруг оси шарнира (в плоскости чертежа при этом конец А тела не может переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному коси шарнира. Поэтому реакция R цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной коси шарнира, те. в плоскости А
ху
. Для силы R в этом случае наперед неизвестны ни ее модуль
R
, ни направление (угол ).
4. Шаровой шарнир и подпятник Этот вид связи закрепляет какую- нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Примерами таких связей служат шаровая пята, с помощью которой прикрепляется фотоаппарат к штативу (рис.10,б) и подшипник с упором подпятник) (рис. в. Реакция R шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. Для нее наперед неизвестны ни модуль реакции R, ни углы, образуемые ею с осями х, у, z. Рис. 11. Связь невесомый стержень.
5. Стержень Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень
АВ, закрепленный на концах шарнирами (рис. Примем, что весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Тогда на стержень будут действовать только две силы приложенные в шарнирах Аи В. Но если стержень АВ находится в равновесии, то по аксиоме 1 приложенные в точках Аи В силы должны быть направлены вдоль одной прямой, те. вдоль оси стержня. Следовательно, нагруженный на концах стержень, весом которого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция стержня будет направлена вдоль оси стержня.
6. Подвижная шарнирная опора (риса. Это устройство представляет собой опорный элемент (подшипник, внутри которого вращается палец (ось) шарнира. Реакция такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры. На схемах эту связь изображают так, как показано на риса Рис. 12. Шарнирные опоры а – подвижная б – неподвижная. Неподвижная шарнирная опора (рис.12.
1 2 3 4 5 6 7
б). Реакция R шарнирно- неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные составляющие R
x и R
y
, соответствующие направлению выбранных осей (рис. б. При решении задач будем реакцию изображать ее составляющими и по направлениям осей координат. Если мы, решив задачу, найдем и , тотем самым будет определена и реакция ; по модулю
R
8. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка (риса. Это соединение исключает возможность каких-либо перемещений абсолютного твердого тела. Балка, изображенная на риса, жестко заделана в стену в точке А. Перемещению ее в вертикальном направлении, препятствует реакция R
y
, перемещению в горизонтальном направлении препятствует реакция и повороту вокруг точки А - опорный момент МА. Характерным для данной опоры является наличие опорного момента сил, исключающего вращение тела вокруг любой оси. Схематическое изображение такой опоры в теоретической механике показано на рис. б. Если под такую балку где-нибудь в точке В подвести еще одну опору, то балка станет статически неопределимой. С помощью указанных опорных связей сооружения прикрепляются к фундаментам или отдельные элементы соединяются между собой. Рис. 13. Жесткая заделка а – вид жесткой заделки б – расчетная схема жесткой заделки. При определении реакций связи других конструкций надо установить, разрешает ли она двигаться вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и вращаться вокруг этих осей. Если препятствует какому-либо движению – показать соответствующую силу, если препятствует вращению – парус соответствующим моментом. Иногда приходится исследовать равновесие нетвердых тел. При этом будем пользоваться предположением, что если это нетвердое тело находится в
равновесии под действием сил, то его можно рассматривать как твердое тело, используя все правила и методы статики. Связи, как и другие понятия, встречающиеся в аксиомах, являются абстракциями, весьма условно отражающими свойства реальных объектов. Например, рассмотренная выше гибкая невесомая нить может быть моделью подвесных и вантовых систему которых масса погонного метра троса составляет десятки и сотни килограммов. Однако усилия, возникающие в таких тросах, во столько раз больше их собственного веса, что при расчете последним можно пренебречь, считая их невесомыми. Пример 1. На невесомую трехшарнирную арку (рис. 14) 0 действует горизонтальная сила (рис. Определить линию действия реакции (реакции связи в точке А. Решение Рассмотрим правую часть арки отдельно. В точках В и С приложим силы реакции связей
. Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Таким образом, направление силы нам известно (вдоль линии ВС). Рис. 14. Освобождаем систему от связей и вводим эквивалентные реакции. Рассмотрим левую часть арки отдельно. В точках Аи С приложим силы реакции связей
. Сила
, действие равно противодействию. На тело действуют три силы, направления двух сил ( и .) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются водной точке. Следовательно, сила направлена вдоль линии AD. Пример 2. Однородный стержень (рис. 15) закреплен шарнирно в точке Аи опирается на гладкий цилиндр. Определить линию действия реакции (реакции связи в точке А.
. Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Таким образом, направление силы нам известно (вдоль линии ВС). Рис. 14. Освобождаем систему от связей и вводим эквивалентные реакции. Рассмотрим левую часть арки отдельно. В точках Аи С приложим силы реакции связей
. Сила
, действие равно противодействию. На тело действуют три силы, направления двух сил ( и .) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются водной точке. Следовательно, сила направлена вдоль линии AD. Пример 2. Однородный стержень (рис. 15) закреплен шарнирно в точке Аи опирается на гладкий цилиндр. Определить линию действия реакции (реакции связи в точке А.
Рис Решение Так как стержень однородный, то сила тяжести (сила ), в его геометрическом центре (точка С. Так как стержень опирается на гладкую поверхность, то реакция связи (сила ) в точке касания (точка D) направлена по нормали к этой поверхности. На тело действуют три силы, направления двух сил
( и .) известно. Согласно теореме о трех силах (Уравновешенная плоская система трех непараллельных сил является сходящейся – лекция 2) линии действия всех трех сил пресекаются водной точке. Следовательно, сила направлена вдоль линии Е. Лекция 2. Равновесие системы сил. Пара сил. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Проекция силы на ось и на плоскость.
2. Геометрический способ сложения сил.
3. Равновесие системы сходящихся сил.
4. Момент силы относительно центра или точки.
5. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.
6. Пара сил.
7. Момент пары.
8. Свойства пар.
9. Сложение пар.
10. Теорема о параллельном переносе силы.
11. Приведение плоской системы сил к данному центру.
12. Условия равновесия произвольной плоской системы сил.
13. Случай параллельных сил.
14. Равновесие плоской системы параллельных сил.
15. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил.
16. Понятие о распределенной нагрузке.
17. Расчет составных систем. Статически определимые и статически неопределимые задачи.
18. Графическое определение опорных реакций.
19. Решение задач.
( и .) известно. Согласно теореме о трех силах (Уравновешенная плоская система трех непараллельных сил является сходящейся – лекция 2) линии действия всех трех сил пресекаются водной точке. Следовательно, сила направлена вдоль линии Е. Лекция 2. Равновесие системы сил. Пара сил. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Проекция силы на ось и на плоскость.
2. Геометрический способ сложения сил.
3. Равновесие системы сходящихся сил.
4. Момент силы относительно центра или точки.
5. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.
6. Пара сил.
7. Момент пары.
8. Свойства пар.
9. Сложение пар.
10. Теорема о параллельном переносе силы.
11. Приведение плоской системы сил к данному центру.
12. Условия равновесия произвольной плоской системы сил.
13. Случай параллельных сил.
14. Равновесие плоской системы параллельных сил.
15. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил.
16. Понятие о распределенной нагрузке.
17. Расчет составных систем. Статически определимые и статически неопределимые задачи.
18. Графическое определение опорных реакций.
19. Решение задач.
Проекция силы на ось и на плоскость. Перейдем к рассмотрению аналитического (численного) метода решения задач статики. Этот метод основывается на понятии о проекции силы на ось. Как и для всякого другого вектора, проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус - если в отрицательном. Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычислении проекции силы на ось, не лежащую водной плоскости с силой. Рис. 1. Проекции сил на ось. Обозначать проекцию силы на ось Ох будем символом F
x
. Тогда для сил, изображенных на рис, получим Но из чертежа видно, что Следовательно, те. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой если сила перпендикулярна коси, то ее проекция на ось равна нулю.
Рис.2.Проекция силы на плоскость.
x
. Тогда для сил, изображенных на рис, получим Но из чертежа видно, что Следовательно, те. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой если сила перпендикулярна коси, то ее проекция на ось равна нулю.
Рис.2.Проекция силы на плоскость.
Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор
, заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 2). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Оху. По модулю
, где — угол между направлением силы и ее проекции . В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 2, найдем таким способом, что Геометрический способ сложения сил. Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов ив частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил. Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простыми удобным. Для нахождения этим способом суммы сил
(рис. 3, a), откладываем от произвольной точки О (рис. 3, б) вектор Oa, изображающий в выбранном масштабе илу F
1
, от точки a откладываем вектор , изображающий силу F
2
, от точки b откладываем вектор bc, изображающий силу и т. дот конца m предпоследнего вектора откладываем вектор mn, изображающий силуF
n
Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил или От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависят. Легко видеть, что проделанное построение представляет собою результат последовательного применения правила силового треугольника.
, заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 2). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Оху. По модулю
, где — угол между направлением силы и ее проекции . В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 2, найдем таким способом, что Геометрический способ сложения сил. Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов ив частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил. Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простыми удобным. Для нахождения этим способом суммы сил
(рис. 3, a), откладываем от произвольной точки О (рис. 3, б) вектор Oa, изображающий в выбранном масштабе илу F
1
, от точки a откладываем вектор , изображающий силу F
2
, от точки b откладываем вектор bc, изображающий силу и т. дот конца m предпоследнего вектора откладываем вектор mn, изображающий силуF
n
Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил или От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависят. Легко видеть, что проделанное построение представляет собою результат последовательного применения правила силового треугольника.
Рис. 3. Построение силового многоугольника. Фигура, построенная на рис. б, называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником Таким образом, геометрическая сумма или главный вектор нескольких сил изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного из этих сил (правило силового многоугольника. При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника, ау вектора - в сторону противоположную. Равнодействующая сходящихся сил При изучении статики мы будем последовательно переходить от рассмотрения более простых систем сил к более сложным. Начнем с рассмотрения системы сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются водной точке, называемой центром системы (см. риса. Последствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных водной точке (на риса в точке А. Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы сходятся в точке A (риса, то сила, равная главному вектору , найденному построением силового многоугольника, и приложенная в точке А, будет равнодействующей этой системы сил. Примечания.
1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник − отличный от первого.
2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.
3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил. Равновесие системы сходящихся сил
1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник − отличный от первого.
2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.
3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил. Равновесие системы сходящихся сил
Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением по инерции. Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела. Отсюда получаем два важных вывода
1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, таки на тело, движущееся по инерции.
2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, ноне достаточным условием равновесия (покоя) самого тела в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил. Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.
1. Геометрическое условие равновесия Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой,т. е. когда многоугольник замкнется. Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.
2. Аналитические условия равновесия Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно
, те. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат водной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.
1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, таки на тело, движущееся по инерции.
2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, ноне достаточным условием равновесия (покоя) самого тела в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил. Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.
1. Геометрическое условие равновесия Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой,т. е. когда многоугольник замкнется. Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.
2. Аналитические условия равновесия Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно
, те. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю. Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат водной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.
Теорема о трех силах Уравновешенная плоская система трех
непараллельных сил является сходящейся Условие плоская в формулировке теоремы не является необходимым − можно убедиться, что любая уравновешенная система трех сил всегда будет плоской. Это следует из условий равновесия произвольной пространственной системы сил, которые будут рассмотрены далее. Пример 1. На рис показаны три силы. Проекции сил на оси х, у z очевидны Рис. 4. Пространственная система сил. А чтобы найти проекцию силы на ось х нужно использовать правило двойного проектирования Проектируем силу сначала на плоскость хОу, в которой расположена ось рис, получим вектор , величиной а затем его проектируем на ось х
. Аналогично действуя, найдём проекцию на ось у
. Проекция на ось z находится проще Нетрудно убедиться, что проекции сил на ось V равны
; При определении этих проекций удобно воспользоваться рис, видом сверху на расположение сил и осей.
непараллельных сил является сходящейся Условие плоская в формулировке теоремы не является необходимым − можно убедиться, что любая уравновешенная система трех сил всегда будет плоской. Это следует из условий равновесия произвольной пространственной системы сил, которые будут рассмотрены далее. Пример 1. На рис показаны три силы. Проекции сил на оси х, у z очевидны Рис. 4. Пространственная система сил. А чтобы найти проекцию силы на ось х нужно использовать правило двойного проектирования Проектируем силу сначала на плоскость хОу, в которой расположена ось рис, получим вектор , величиной а затем его проектируем на ось х
. Аналогично действуя, найдём проекцию на ось у
. Проекция на ось z находится проще Нетрудно убедиться, что проекции сил на ось V равны
; При определении этих проекций удобно воспользоваться рис, видом сверху на расположение сил и осей.
Рис. 5.
Вернёмся к системе сходящихся сил (рис. 6). Проведём оси координат с началом в точке пересечения линий действия сил, в точке ОМы уже знаем, что равнодействующая сил
. Спроектируем это векторное равенство на оси. Получим проекции равнодействующей на оси x, y,
z: Они равны алгебраическим суммам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействующей, можно определить и величину её как диагональ прямоугольного параллелепипеда или Направление вектора найдём с помощью направляющих косинусов рис Рис. Пример 2. На шар, вес которого Р, лежащий на горизонтальной плоскости и привязанный к ней нитью АВ, действует сила F (рис. Определим реакции связей.
Вернёмся к системе сходящихся сил (рис. 6). Проведём оси координат с началом в точке пересечения линий действия сил, в точке ОМы уже знаем, что равнодействующая сил
. Спроектируем это векторное равенство на оси. Получим проекции равнодействующей на оси x, y,
z: Они равны алгебраическим суммам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействующей, можно определить и величину её как диагональ прямоугольного параллелепипеда или Направление вектора найдём с помощью направляющих косинусов рис Рис. Пример 2. На шар, вес которого Р, лежащий на горизонтальной плоскости и привязанный к ней нитью АВ, действует сила F (рис. Определим реакции связей.
Рис. Следует сразу заметить, что все задачи статики решаются по одной схеме, в определённом порядке. Продемонстрируем ее на примере решения этой задачи.
1. Надо выбрать (назначить) объект равновесия – тело, равновесие которого следует рассмотреть, чтобы найти неизвестные. В этой задаче, конечно, объект равновесия – шар.
2. Построение расчётной схемы. Расчётная схема – это объект равновесия, изображённый отдельно, свободным телом, без связей, со всеми силами, действующими на него реакциями и остальными силами. Показываем реакцию нити и нормальную реакцию плоскости – (рис. Кроме них на шар действуют заданные силы и .
3. Надо установить какая получилась система сил и составить соответствующие уравнения равновесия. Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плоскости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно
4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные. По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость. А мы нашли реакцию плоскости на шар. Но, по определению следует, что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз. Пример 3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис. Определим усилия в стержнях.
1. Надо выбрать (назначить) объект равновесия – тело, равновесие которого следует рассмотреть, чтобы найти неизвестные. В этой задаче, конечно, объект равновесия – шар.
2. Построение расчётной схемы. Расчётная схема – это объект равновесия, изображённый отдельно, свободным телом, без связей, со всеми силами, действующими на него реакциями и остальными силами. Показываем реакцию нити и нормальную реакцию плоскости – (рис. Кроме них на шар действуют заданные силы и .
3. Надо установить какая получилась система сил и составить соответствующие уравнения равновесия. Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плоскости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно
4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные. По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость. А мы нашли реакцию плоскости на шар. Но, по определению следует, что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз. Пример 3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис. Определим усилия в стержнях.
Рис. В этой задаче объект равновесия – узел С вместе с грузом. Он нарисован отдельно с реакциями, усилиями в стержнях и весом . Силы образуют пространственную систему сходящихся сил. Составляем три уравнения равновесия Из первого уравнения следует S
2
= S
3
. Тогда из третьего
, а из второго Когда мы направляли усилие в стержне от узла, от объекта равновесия, предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие в стержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает как работает стержень на растяжение или на сжатие. Пример 4. Определить реакции стержней, соединенных шарниром В, если к нему подвешен груз весом Q риса. Решение В соответствии с предложенным выше планом выбираем тело, равновесие которого мы будем рассматривать. Этот выбор, в основном, определяется условиями задачи. Если в этой задаче рассмотреть равновесие подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения нити, которая равна весу тела T = Q (рис.9,б). Чтобы определить реакции стержней, рассмотрим равновесие точки В. Можно считать, что к ней посредством нити приложена активная сила Q и реакции отброшенных стержней и S
C
(рис.9,в).
2
= S
3
. Тогда из третьего
, а из второго Когда мы направляли усилие в стержне от узла, от объекта равновесия, предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие в стержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает как работает стержень на растяжение или на сжатие. Пример 4. Определить реакции стержней, соединенных шарниром В, если к нему подвешен груз весом Q риса. Решение В соответствии с предложенным выше планом выбираем тело, равновесие которого мы будем рассматривать. Этот выбор, в основном, определяется условиями задачи. Если в этой задаче рассмотреть равновесие подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения нити, которая равна весу тела T = Q (рис.9,б). Чтобы определить реакции стержней, рассмотрим равновесие точки В. Можно считать, что к ней посредством нити приложена активная сила Q и реакции отброшенных стержней и S
C
(рис.9,в).
Решим эту задачу аналитически. Выбирая начало отсчета в точке В, составим уравнения равновесия, которые примут вид
−S
A
cosα + S
C
cosβ = 0;
S
A
sinα + S
C
sinβ = Q. Чтобы найти отсюда сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на sinα, а второе – на cosα:
S
C
(
sinαcosβ + cosα sinβ) = Q cosα. Отсюда следует, что S
C
= Q cosα/sin(α+β), а поскольку α ив эти уравнения входят симметрично, то S
A
= Q cosβ/sin(α+β). Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом. Треугольник, образованный из трех сил Q, S
A и должен быть замкнут, поэтому решение сводится к построению треугольника по известной стороне (Q) и направлению двух других сторон(S
A
и S
C
). Для этого нужно в масштабе построить вектора затем изначала и из конца этого вектора провести прямые, параллельные S
A и до их пересечения (рис.9,г). Измерив длины найденных отрезков и пересчитав в масштабе, можно считать поставленную задачу решенной. Направление полученных векторов определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то есть конец последнего вектора должен совпадать с началом первого. Рис. Можно, впрочем, определить величину и и без масштабной линейки, если просто решить построенный треугольник. С этой целью воспользуемся теоремой синусов
−S
A
cosα + S
C
cosβ = 0;
S
A
sinα + S
C
sinβ = Q. Чтобы найти отсюда сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на sinα, а второе – на cosα:
S
C
(
sinαcosβ + cosα sinβ) = Q cosα. Отсюда следует, что S
C
= Q cosα/sin(α+β), а поскольку α ив эти уравнения входят симметрично, то S
A
= Q cosβ/sin(α+β). Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом. Треугольник, образованный из трех сил Q, S
A и должен быть замкнут, поэтому решение сводится к построению треугольника по известной стороне (Q) и направлению двух других сторон(S
A
и S
C
). Для этого нужно в масштабе построить вектора затем изначала и из конца этого вектора провести прямые, параллельные S
A и до их пересечения (рис.9,г). Измерив длины найденных отрезков и пересчитав в масштабе, можно считать поставленную задачу решенной. Направление полученных векторов определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то есть конец последнего вектора должен совпадать с началом первого. Рис. Можно, впрочем, определить величину и и без масштабной линейки, если просто решить построенный треугольник. С этой целью воспользуемся теоремой синусов
откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим То есть, результат графического решения совпадает с аналитическим, значит задача решена правильно. Пример 5. Центр невесомого идеального блока удерживается при помощи двух стержней, соединенных шарнирно в точке В. Через блок переброшена нить, один конец которой закреплена к другому – подвешен груз весом Q (риса Определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока. Решение Рассмотрим равновесие блока В, к которому приложены силы натяжения нитей Т
1
и Т
2
и реакции отброшенных стержней и С, которые, как ив предыдущем примере мы считаем растянутыми (рис.10,б). Фактически в качестве активной силы выступает вес груза Q, который приложен к блоку с помощью нити, поэтому Т = Q
. По поводу силы Т надо отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм, который меняет направление силы натяжения нити, ноне ее величину, поэтому
Т
1
=
Т
2
=Q. Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему сходящихся сил, приложенных в точке В (рис.10,в). Определим реакции и S
С
аналитически. Отметим, что если в первое из аналитических уравнений равновесия входят оба неизвестных, тов уравнение
ΣY
i
= 0 неизвестная реакция Сне войдет, поэтому имеет смысл начать решение задачи именно с этого уравнения Т Т
= 0. Подставляя сюда значения тригонометрических функций и Т
1
=
Т
2
=Q, получим Откуда Теперь вернемся к уравнению ΣX
i
=0:
− Т cos30°+ С
= 0, или Подставив найденное выше значение S
A
, получим
1
и Т
2
и реакции отброшенных стержней и С, которые, как ив предыдущем примере мы считаем растянутыми (рис.10,б). Фактически в качестве активной силы выступает вес груза Q, который приложен к блоку с помощью нити, поэтому Т = Q
. По поводу силы Т надо отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм, который меняет направление силы натяжения нити, ноне ее величину, поэтому
Т
1
=
Т
2
=Q. Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему сходящихся сил, приложенных в точке В (рис.10,в). Определим реакции и S
С
аналитически. Отметим, что если в первое из аналитических уравнений равновесия входят оба неизвестных, тов уравнение
ΣY
i
= 0 неизвестная реакция Сне войдет, поэтому имеет смысл начать решение задачи именно с этого уравнения Т Т
= 0. Подставляя сюда значения тригонометрических функций и Т
1
=
Т
2
=Q, получим Откуда Теперь вернемся к уравнению ΣX
i
=0:
− Т cos30°+ С
= 0, или Подставив найденное выше значение S
A
, получим
При этом минус в последнем выражении означает, что стержень ВС не растянут, как мы предполагали, а сжат. Для проверки полученного результата решим эту задачу графически. С этой целью от центра О последовательно откладываем в масштабе известные силы Т
1
и Т, затем от начала первого и от конца последнего вектора проводим прямые, параллельные и S
С
до их пересечения (рис.10,г). Рис. Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось симметрии и С. При этом направление вектора Сна силовом многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному на чертеже, то есть стержень ВС не растянута сжат. Примечание.
1
. Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически. Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный метод решения задач является, по- видимому, оптимальным. Момент силы относительно центра (или точки. Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом Рассмотрим силу, приложенную в точке А твердого тела (рис. 11). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О. Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы , называется плечом силы
1
и Т, затем от начала первого и от конца последнего вектора проводим прямые, параллельные и S
С
до их пересечения (рис.10,г). Рис. Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось симметрии и С. При этом направление вектора Сна силовом многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному на чертеже, то есть стержень ВС не растянута сжат. Примечание.
1
. Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически. Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный метод решения задач является, по- видимому, оптимальным. Момент силы относительно центра (или точки. Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом Рассмотрим силу, приложенную в точке А твердого тела (рис. 11). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О. Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы , называется плечом силы
относительно центра О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть
1) от модуля силы F и длины плеча h;
2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу
3) от направления поворота к этой плоскости. Рис. Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих водной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей ив дополнительном задании не нуждается. Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча. Момент силы относительно центра О будем обозначать символом m
0
(F). Следовательно, В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и знак минус, - если походу часовой стрелки. Так, для силы , изображенной на риса, момент относительно центра О имеет знак плюса для силы, показанной на рис.20,б, - знак минус. Отметим следующие свойства момента силы
1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.
2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О плечо равно нулю.
1) от модуля силы F и длины плеча h;
2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу
3) от направления поворота к этой плоскости. Рис. Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих водной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей ив дополнительном задании не нуждается. Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча. Момент силы относительно центра О будем обозначать символом m
0
(F). Следовательно, В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и знак минус, - если походу часовой стрелки. Так, для силы , изображенной на риса, момент относительно центра О имеет знак плюса для силы, показанной на рис.20,б, - знак минус. Отметим следующие свойства момента силы
1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.
2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О плечо равно нулю.
3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью треугольника
ОАВ рис. б) Этот результат следует из того, что Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил.
1 2 3 4 5 6 7
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей Докажем следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра. Рис. Рассмотрим систему сил, сходящихся в точке А (рис. Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох, перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее момента относительно центра О. Для доказательства теоремы найдем соответствующие выражения моментов m
0
( ), m
0
(
), … . По формуле
. Но, как видно из рисунка, где F
1x
- проекция силы на ось Ох следовательно Аналогично вычисляются моменты всех других сил. Обозначим равнодействующую сил
, через, где
. Тогда, по теореме о проекции суммы сил на ось, получим
. Умножая обе части этого равенства на ОА, найдем или,
Пара сил. Момент пары Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис. Очевидно, и Рис. Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары
. Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары Если пара вращает тело против часовой стрелки, моменте считается положительным (как на рис, если почасовой стрелке – отрицательным. Для того, чтобы момент пары указывали плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором. Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 14). Нетрудно доказать, что вектор момента пары
– есть вектор этого векторного произведения (рис. 14). И заметим, что он равен вектору момента силы относительно точки А, точки приложения второй силы О точке приложения вектора будет сказано ниже. Пока приложим его к точке А. Рис.
Свойства пар
1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.
2) Найдём сумму моментов сил оставляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис. Рис. Покажем радиусы-векторы точек Аи Аи вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О Но
. Поэтому Но Значит Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары. Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во- вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары . Поэтому можно сформулировать ещё два свойства.
3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.
4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах
F
1
=F
2
=5 H и плече а см момент пары m=20 см. Можно силы сделать равными 2 На плечо а см. При этом момент останется прежним 20 Нсм и действие пары на тело не изменится. Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вывод, что пары с одинаковым вектором момента и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m (рис. Или, если это пространственная конструкция, показывают
только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит вектор момента пары – свободный вектор. Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости. Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знаки место приложения пары сил. М
F
1 ХМ
2
F
2 Х =
/
1
2
F
F
2 =
/
1
2
h
2
1
= Рис. Эквивалентные пары сил. И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары равен вектору момента одной из силе относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары на эту ось
, где – угол между вектором и осью z. Сложение пар. Пусть даны две пары с моментами и m
2
, расположенные в пересекающихся плоскостях (рис. Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны
, а образующих вторую пару Эти пары показаны на рис, где
. И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на линии пересечения плоскостей. Рис.
Сложив силы, приложенные к точкам Аи В, построением параллелограммов, получим их равнодействующие
. Так как
, то эти силы и будут образовывать пару, момент которой
, где – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ. Так как
, то момент полученной пары Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, получится пара сил. Моменте будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар. При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоскостях, получим парус моментом Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоскости перпендикулярной вектору . Равенство нулю результирующей пары будет означать, что пары, действующие на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие равновесия пар
=0. Это является необходимыми достаточным условием равновесия систем пар. Если пары расположены водной плоскости, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно определить как алгебраическую сумму моментов пар. Рис. Например, пары, показанные на рис, расположены водной плоскости и моменты их
m
1
=2 см , m
2
=5 см, m
3
=3 см. Пары уравновешиваются, потому что алгебраическая сумма их моментов равна нулю Пример 6. Определить опорные реакции рамы, загруженной системой пар рис.
Рис. Решение Заменим систему пар, приложенных к раме, результирующей парой по формуле
M
R
= M
1
− M
2
+ M
3
= 3
−
4 + 7 = 6 кНм. Из условия равновесия систем пар
=0 следует, что активную пару M
R
, приложенную к раме, может уравновесить только пара сил, образованных опорными реакциями, поэтому линия действия должна быть параллельной R
В
и
M
R
+ M (R
A
, В) = 0, откуда R
A
= В = M
R
/d
, где d = 6cos30°= 3 м − плечо пары (R
A
, В. Итак, R
A
= В = 6/(3
) = (2
)/3 м. Теорема о параллельном переносе силы. Одной из основных задач, решаемых статикой, является замена одной системы сил другой – эквивалентной ей. Такая процедура позволяет все многообразие систем сил свести к простейшим каноническим системам, классифицировать их и получить уравнения равновесия, необходимые для решения практических задач. Ключевую роль в проведении таких преобразований систем сил играет следующая теорема, называемая Лемма Пуансо. Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью аксиомы параллелограмма сил. Для двух параллельных сил эта задача была решена путем приведения их к сходящимся силам. Очевидно, что аналогичную задачу легко будет решить и для произвольной системы сил, если найти и для них метод приведения к силам, приложенным водной точке. Ранее мы установили, что вектор силы можно переносить по линии действия в любую точку тела. Попробуем силу (рис. 19) перенести в какую-нибудь точку О, не расположенную на линии действия.
Рис. Приложим к этой точке две уравновешивающиеся силы и , параллельные силе и равные ей по величине В результате получим силу
, приложенную к точке О. То есть мы как бы перенесли заданную силу из точки А в точку Оно при этом появилась пара, образованная силами и . Момент этой пары
, равен моменту заданной силы относительно точки О. Этот процесс замены силы равной ей силой и парой называется приведением силы к точке О. Точка О называется точкой приведения сила , приложенная к точке приведения, – приведённой силой. Появившаяся пара – присоединённой парой. Приведение плоской системы сил к данному центру. Пусть на твердое тело действует какая-нибудь система сил
, лежащих водной плоскости. Возьмем в этой плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, перенесем все силы в центр О (риса. В результате на тело будет действовать система сил приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны Рис.
Силы, приложенные в центре О, можно заменить одной силой приложенной в том же центре при этом или Точно также, по теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары или Величина, равная геометрической сумме всех сил системы, называется, как известно, главным вектором системы величину М
о
, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра О, будем называть главным моментом системы относительно центра О. В результате мы доказали следующую теорему всякая плоская система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М, равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 20, в. Примечания
1. Для плоской системы сил под главным моментом системы часто также понимают величину этого момента.
2. Очевидно, что главный вектор R
0 не зависит, а главный момент M
0 зависит от выбора центра приведения. Частные случаи приведения плоской системы сил. В зависимости от значений главного вектора R
0 и главного момента возможны следующие случаи приведения плоской системы сил.
1) R
0
=0, M
0
=0
− система сил находится в равновесии
2) R
0
=0, M
0
≠0 − система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения
3) R
0
≠0, M
0
=0
− система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R
0
, линия действия которой проходит через центр приведения R = R
0
, R
R
0
;
4) R
0
≠ 0, M
0
≠0 − система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R
0
, ее линия действия проходит на расстоянии d = |M
0
|/ от центра приведения (рис, б. Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия R = 0, M
0
= 0. Здесь О - любая точка плоскости. Из этого условия следуют уравнения равновесия произвольной плоской системы сил которые можно записать в трех различных формах
1) Первая форма
ΣM
A
= 0;
ΣX = 0;
ΣY = 0.
2) Вторая форма
ΣM
A
= 0;
ΣM
B
= 0;
ΣY = 0, где ось Oy неперпендикулярна отрезку АВ.
3) Третья форма
ΣM
A
= 0;
ΣM
B
= 0; С 0, где точки А, В и Сне лежат на одной прямой. Равенства выражают, следующие аналитические условия равновесия для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю. Теорема о трех моментах Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю. Равновесие плоской системы параллельных сил. В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам, а ось Оу параллельно им (рис.
21). Тогда проекция каждой из сил на Ox будет равна нулю и первое из х равенств обратится в тождество вида 0 = 0. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия Где ось Оу параллельна силам. Рис. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил. Пусть даны две параллельные силы и , направленные в одну сторону и приложенные к точками (рис. Рис.
Конечно, величина их равнодействующей
. Векторе параллелен силами направлен в туже сторону. С помощью теоремы Вариньона найдём точку приложения равнодействующей – точку С. По этой теореме Значит Отсюда
. То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками и на части обратно пропорциональные силам. Если параллельные силы направлены в противоположные стороны (рис, то аналогично можно доказать, что равнодействующая по величине будет равна разности сил если
), параллельна им, направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой – в точке С. А расстояния от точки С до точек приложения сил обратно пропорциональны силам Рис. Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей расположена на одной прямой с точками и A
2
, точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, равнодействующая также повернётся вокруг точки приложения Св том же направлении, и останется параллельной им. Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии действия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже переместится по линии действия. Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил. Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-вектор которой определяется формулой
, (1) где - радиусы-векторы точек приложения сил
– величина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным. Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если радиусы-векторы откладывать изначала координат, то проекции радиусов- векторов точек на оси будут равны их координатам. Поэтому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим
где
– координаты точек приложения сил. Понятие о распределенной нагрузке. Наряду с рассмотренными выше сосредоточенными силами строительные конструкции и сооружения могут подвергаться воздействию распределенных нагрузок – по объему, по поверхности или вдоль некоторой линии – и определяемых ее интенсивностью Примером нагрузки, распределенной по площади, является снеговая нагрузка, давление ветра, жидкости или грунта. Интенсивность такой поверхностной нагрузки имеет размерность давления и измеряется в кН/м
2
или килопаскалях (кПа = кН/м
2
). При решении задач очень часто встречается нагрузка, распределенная по длине балки. Интенсивность q такой нагрузки измеряется в кН/м. Рассмотрим балку, загруженную на участке [a, b] распределенной нагрузкой, интенсивность которой изменяется по закону q= q(x). Для определения опорных реакций такой балки нужно заменить распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной. Это можно сделать последующему правилу Рассмотрим частные случаи распределенной нагрузки. а) общий случай распределенной нагрузки (рис.24)
Рис.24. q(x) - интенсивность распределенной силы Нм,
- элементарная сила.
l – длина отрезка Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности q(x) эквивалентна сосредоточенной силе Сосредоточенная сила прикладывается в точке С центре параллельных сил) с координатой б) постоянная интенсивность распределенной нагрузки рис Рис. в) интенсивность распределенной нагрузки, меняющаяся по линейному закону (рис.26)
Рис.26. Расчет составных систем. Под составными системами будем понимать конструкции, состоящие из нескольких тел, соединенных друг с другом. Прежде, чем переходить к рассмотрению особенностей расчета таких систем, введем следующее определение. Статически определимыми называются такие задачи и системы статики, для которых число неизвестных реакций связей не превышает максимально допустимого числа уравнений Если число неизвестных больше числа уравнений, соответствующие задачи и системы называются статически неопределимыми. При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости системы Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных реакций связи. В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных реакций связи. Поясним это наследующих примерах.
1. Пусть центр невесомого идеального блока (пример 4) удерживается при помощи не двух, а трех стержней АВ, ВС и BD и нужно определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.
С учетом условий задачи мы получим систему сходящихся сил, где для определения трех неизвестных S
A
, и можно составить по-прежнему систему только двух уравнений ΣX = 0, ΣY=0. Очевидно, поставленная задача и соответствующая ей система будут статически неопределимыми.
2. Балка, жестко защемленная на левом конце и имеющая на правом конце шарнирно-неподвижную опору, загружена произвольной плоской системой сил рис. Для определения опорных реакций можно составить только три уравнения равновесия, куда войдут 5 неизвестных опорных реакций X
A
, Y
A
, M
A
, X
B и Поставленная задача будет дважды статически неопределимой. Такую задачу нельзя решить в рамках теоретической механики, предполагая рассматриваемое тело абсолютно твердым. Рис. Вернемся к изучению составных систем, типичным представителем которых является трехшарнирная рама (риса. Она состоит из двух тел AC и
BC
, соединенным ключевым шарниром C. На примере этой рамы рассмотрим два способа определения опорных реакций составных систем.
1 2 3 4 5 6 7
. Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары Если пара вращает тело против часовой стрелки, моменте считается положительным (как на рис, если почасовой стрелке – отрицательным. Для того, чтобы момент пары указывали плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором. Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 14). Нетрудно доказать, что вектор момента пары
– есть вектор этого векторного произведения (рис. 14). И заметим, что он равен вектору момента силы относительно точки А, точки приложения второй силы О точке приложения вектора будет сказано ниже. Пока приложим его к точке А. Рис.
1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.
2) Найдём сумму моментов сил оставляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис. Рис. Покажем радиусы-векторы точек Аи Аи вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О Но
. Поэтому Но Значит Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары. Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во- вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары . Поэтому можно сформулировать ещё два свойства.
3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.
4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах
F
1
=F
2
=5 H и плече а см момент пары m=20 см. Можно силы сделать равными 2 На плечо а см. При этом момент останется прежним 20 Нсм и действие пары на тело не изменится. Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вывод, что пары с одинаковым вектором момента и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m (рис. Или, если это пространственная конструкция, показывают
F
1 ХМ
2
F
2 Х =
/
1
2
F
F
2 =
/
1
2
h
2
1
= Рис. Эквивалентные пары сил. И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары равен вектору момента одной из силе относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары на эту ось
, где – угол между вектором и осью z. Сложение пар. Пусть даны две пары с моментами и m
2
, расположенные в пересекающихся плоскостях (рис. Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны
, а образующих вторую пару Эти пары показаны на рис, где
. И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на линии пересечения плоскостей. Рис.
. Так как
, то эти силы и будут образовывать пару, момент которой
, где – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ. Так как
, то момент полученной пары Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, получится пара сил. Моменте будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар. При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоскостях, получим парус моментом Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоскости перпендикулярной вектору . Равенство нулю результирующей пары будет означать, что пары, действующие на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие равновесия пар
=0. Это является необходимыми достаточным условием равновесия систем пар. Если пары расположены водной плоскости, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно определить как алгебраическую сумму моментов пар. Рис. Например, пары, показанные на рис, расположены водной плоскости и моменты их
m
1
=2 см , m
2
=5 см, m
3
=3 см. Пары уравновешиваются, потому что алгебраическая сумма их моментов равна нулю Пример 6. Определить опорные реакции рамы, загруженной системой пар рис.
M
R
= M
1
− M
2
+ M
3
= 3
−
4 + 7 = 6 кНм. Из условия равновесия систем пар
=0 следует, что активную пару M
R
, приложенную к раме, может уравновесить только пара сил, образованных опорными реакциями, поэтому линия действия должна быть параллельной R
В
и
M
R
+ M (R
A
, В) = 0, откуда R
A
= В = M
R
/d
, где d = 6cos30°= 3 м − плечо пары (R
A
, В. Итак, R
A
= В = 6/(3
) = (2
)/3 м. Теорема о параллельном переносе силы. Одной из основных задач, решаемых статикой, является замена одной системы сил другой – эквивалентной ей. Такая процедура позволяет все многообразие систем сил свести к простейшим каноническим системам, классифицировать их и получить уравнения равновесия, необходимые для решения практических задач. Ключевую роль в проведении таких преобразований систем сил играет следующая теорема, называемая Лемма Пуансо. Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью аксиомы параллелограмма сил. Для двух параллельных сил эта задача была решена путем приведения их к сходящимся силам. Очевидно, что аналогичную задачу легко будет решить и для произвольной системы сил, если найти и для них метод приведения к силам, приложенным водной точке. Ранее мы установили, что вектор силы можно переносить по линии действия в любую точку тела. Попробуем силу (рис. 19) перенести в какую-нибудь точку О, не расположенную на линии действия.
, приложенную к точке О. То есть мы как бы перенесли заданную силу из точки А в точку Оно при этом появилась пара, образованная силами и . Момент этой пары
, равен моменту заданной силы относительно точки О. Этот процесс замены силы равной ей силой и парой называется приведением силы к точке О. Точка О называется точкой приведения сила , приложенная к точке приведения, – приведённой силой. Появившаяся пара – присоединённой парой. Приведение плоской системы сил к данному центру. Пусть на твердое тело действует какая-нибудь система сил
, лежащих водной плоскости. Возьмем в этой плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, перенесем все силы в центр О (риса. В результате на тело будет действовать система сил приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны Рис.
о
, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра О, будем называть главным моментом системы относительно центра О. В результате мы доказали следующую теорему всякая плоская система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М, равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 20, в. Примечания
1. Для плоской системы сил под главным моментом системы часто также понимают величину этого момента.
2. Очевидно, что главный вектор R
0 не зависит, а главный момент M
0 зависит от выбора центра приведения. Частные случаи приведения плоской системы сил. В зависимости от значений главного вектора R
0 и главного момента возможны следующие случаи приведения плоской системы сил.
1) R
0
=0, M
0
=0
− система сил находится в равновесии
2) R
0
=0, M
0
≠0 − система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения
3) R
0
≠0, M
0
=0
− система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R
0
, линия действия которой проходит через центр приведения R = R
0
, R
R
0
;
4) R
0
≠ 0, M
0
≠0 − система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R
0
, ее линия действия проходит на расстоянии d = |M
0
|/ от центра приведения (рис, б. Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия R = 0, M
0
= 0. Здесь О - любая точка плоскости. Из этого условия следуют уравнения равновесия произвольной плоской системы сил которые можно записать в трех различных формах
1) Первая форма
ΣM
A
= 0;
ΣX = 0;
ΣY = 0.
2) Вторая форма
ΣM
A
= 0;
ΣM
B
= 0;
ΣY = 0, где ось Oy неперпендикулярна отрезку АВ.
3) Третья форма
ΣM
A
= 0;
ΣM
B
= 0; С 0, где точки А, В и Сне лежат на одной прямой. Равенства выражают, следующие аналитические условия равновесия для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю. Теорема о трех моментах Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю. Равновесие плоской системы параллельных сил. В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам, а ось Оу параллельно им (рис.
21). Тогда проекция каждой из сил на Ox будет равна нулю и первое из х равенств обратится в тождество вида 0 = 0. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия Где ось Оу параллельна силам. Рис. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил. Пусть даны две параллельные силы и , направленные в одну сторону и приложенные к точками (рис. Рис.
. Векторе параллелен силами направлен в туже сторону. С помощью теоремы Вариньона найдём точку приложения равнодействующей – точку С. По этой теореме Значит Отсюда
. То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками и на части обратно пропорциональные силам. Если параллельные силы направлены в противоположные стороны (рис, то аналогично можно доказать, что равнодействующая по величине будет равна разности сил если
), параллельна им, направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой – в точке С. А расстояния от точки С до точек приложения сил обратно пропорциональны силам Рис. Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей расположена на одной прямой с точками и A
2
, точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, равнодействующая также повернётся вокруг точки приложения Св том же направлении, и останется параллельной им. Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии действия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже переместится по линии действия. Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил. Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-вектор которой определяется формулой
, (1) где - радиусы-векторы точек приложения сил
– величина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным. Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если радиусы-векторы откладывать изначала координат, то проекции радиусов- векторов точек на оси будут равны их координатам. Поэтому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим
– координаты точек приложения сил. Понятие о распределенной нагрузке. Наряду с рассмотренными выше сосредоточенными силами строительные конструкции и сооружения могут подвергаться воздействию распределенных нагрузок – по объему, по поверхности или вдоль некоторой линии – и определяемых ее интенсивностью Примером нагрузки, распределенной по площади, является снеговая нагрузка, давление ветра, жидкости или грунта. Интенсивность такой поверхностной нагрузки имеет размерность давления и измеряется в кН/м
2
или килопаскалях (кПа = кН/м
2
). При решении задач очень часто встречается нагрузка, распределенная по длине балки. Интенсивность q такой нагрузки измеряется в кН/м. Рассмотрим балку, загруженную на участке [a, b] распределенной нагрузкой, интенсивность которой изменяется по закону q= q(x). Для определения опорных реакций такой балки нужно заменить распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной. Это можно сделать последующему правилу Рассмотрим частные случаи распределенной нагрузки. а) общий случай распределенной нагрузки (рис.24)
Рис.24. q(x) - интенсивность распределенной силы Нм,
- элементарная сила.
l – длина отрезка Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности q(x) эквивалентна сосредоточенной силе Сосредоточенная сила прикладывается в точке С центре параллельных сил) с координатой б) постоянная интенсивность распределенной нагрузки рис
Рис. в) интенсивность распределенной нагрузки, меняющаяся по линейному закону (рис.26)
Рис.26. Расчет составных систем. Под составными системами будем понимать конструкции, состоящие из нескольких тел, соединенных друг с другом. Прежде, чем переходить к рассмотрению особенностей расчета таких систем, введем следующее определение. Статически определимыми называются такие задачи и системы статики, для которых число неизвестных реакций связей не превышает максимально допустимого числа уравнений Если число неизвестных больше числа уравнений, соответствующие задачи и системы называются статически неопределимыми. При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости системы Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных реакций связи. В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных реакций связи. Поясним это наследующих примерах.
1. Пусть центр невесомого идеального блока (пример 4) удерживается при помощи не двух, а трех стержней АВ, ВС и BD и нужно определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.
Рис.26. Расчет составных систем. Под составными системами будем понимать конструкции, состоящие из нескольких тел, соединенных друг с другом. Прежде, чем переходить к рассмотрению особенностей расчета таких систем, введем следующее определение. Статически определимыми называются такие задачи и системы статики, для которых число неизвестных реакций связей не превышает максимально допустимого числа уравнений Если число неизвестных больше числа уравнений, соответствующие задачи и системы называются статически неопределимыми. При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости системы Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных реакций связи. В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных реакций связи. Поясним это наследующих примерах.
1. Пусть центр невесомого идеального блока (пример 4) удерживается при помощи не двух, а трех стержней АВ, ВС и BD и нужно определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.
С учетом условий задачи мы получим систему сходящихся сил, где для определения трех неизвестных S
A
, и можно составить по-прежнему систему только двух уравнений ΣX = 0, ΣY=0. Очевидно, поставленная задача и соответствующая ей система будут статически неопределимыми.
2. Балка, жестко защемленная на левом конце и имеющая на правом конце шарнирно-неподвижную опору, загружена произвольной плоской системой сил рис. Для определения опорных реакций можно составить только три уравнения равновесия, куда войдут 5 неизвестных опорных реакций X
A
, Y
A
, M
A
, X
B и Поставленная задача будет дважды статически неопределимой. Такую задачу нельзя решить в рамках теоретической механики, предполагая рассматриваемое тело абсолютно твердым. Рис. Вернемся к изучению составных систем, типичным представителем которых является трехшарнирная рама (риса. Она состоит из двух тел AC и
BC
, соединенным ключевым шарниром C. На примере этой рамы рассмотрим два способа определения опорных реакций составных систем.
A
, и можно составить по-прежнему систему только двух уравнений ΣX = 0, ΣY=0. Очевидно, поставленная задача и соответствующая ей система будут статически неопределимыми.
2. Балка, жестко защемленная на левом конце и имеющая на правом конце шарнирно-неподвижную опору, загружена произвольной плоской системой сил рис. Для определения опорных реакций можно составить только три уравнения равновесия, куда войдут 5 неизвестных опорных реакций X
A
, Y
A
, M
A
, X
B и Поставленная задача будет дважды статически неопределимой. Такую задачу нельзя решить в рамках теоретической механики, предполагая рассматриваемое тело абсолютно твердым. Рис. Вернемся к изучению составных систем, типичным представителем которых является трехшарнирная рама (риса. Она состоит из двух тел AC и
BC
, соединенным ключевым шарниром C. На примере этой рамы рассмотрим два способа определения опорных реакций составных систем.
1 2 3 4 5 6 7
1 способ Рассмотрим тело AC, загруженное заданной силой Р, отбросив в соответствии с аксиомой 7 все связи и заменив их соответственно реакциями внешних (X
A
, Y
A
) и внутренних (X
C
, Y
C
) связей (рис. б. Аналогично можно рассмотреть равновесие тела BC под действием реакций опоры В − (X
B
, Y
B
) и реакций в соединительном шарнире C − (X
C
’, Y
C
’) , где в соответствии с аксиомой 5: X
C
= X
C
’, Y
C
= Y
C
’. Для каждого из этих тел можно составить три уравнения равновесия, таким образом, общее число неизвестных X
A
, Y
A
, X
C
=X
C
’, Y
C
=Y
C
’, X
B
, равняется суммарному числу уравнений, и задача является статически определимой. Напомним, что по условию задачи требовалось определить только 4 опорные реакции, нам же пришлось проделать дополнительную работу, определяя реакции в соединительном шарнире. В этом и заключается недостаток данного способа определения опорных реакций.
2 способ Рассмотрим равновесие всей рамы АВС, отбросив только внешние связи и заменив их неизвестными опорными реакциями X
A
, Y
A
, X
B
, Полученная система состоит из двух тел и не является абсолютно твердым телом, поскольку расстояние между точками Аи В может изменяться вследствие взаимного поворота обеих частей относительно шарнира С. Тем не менее можно считать, что совокупность сил, приложенных к раме АВС образует систему, если воспользоваться аксиомой отвердевания (рис.28,в).
Рис. Итак, для тела АВС можно составить три уравнения равновесия. Например
ΣM
A
= 0;
ΣX = 0;
ΣY = 0. В эти три уравнения войдут 4 неизвестных опорных реакции X
A
, Y
A
, X
B и Отметим, что попытка использовать в качестве недостающего уравнения, например такое В 0 к успеху не приведет, поскольку это уравнение будет линейно зависимым с предыдущими. Для получения линейно независимого четвертого уравнения необходимо рассмотреть равновесие другого тела. В качестве него можно взять одну из частей рамы, например − ВС. При этом нужно составить такое уравнение, которое содержало бы старые неизвестные X
A
, Y
A
,
X
B
, и не содержало новых. Например, уравнение ΣX
(
ВС)
= 0 или подробнее С + X
B
= 0 для этих целей не подходит, поскольку содержит новое неизвестное С, а вот уравнение ΣM
С
(
ВС)
= 0 отвечает всем необходимым условиям. Таким образом, искомые опорные реакции можно найти в следующей последовательности
ΣM
A
= 0;
→ Y
B
= РВА Р
ΣM
С
(
ВС)
= 0;
→ X
B
= Р
ΣX = 0; → АР. Для проверки можно использовать уравнение ΣM
С
(
АС)
= 0 или, подробнее А + АР Р Р + Р = Р − Р + Р = 0. Отметим, что в это уравнение входят все 4 найденные опорные реакции Аи А в явной форме, аи в неявной, поскольку они были использованы при определении двух первых реакций.
ΣM
A
= 0;
ΣX = 0;
ΣY = 0. В эти три уравнения войдут 4 неизвестных опорных реакции X
A
, Y
A
, X
B и Отметим, что попытка использовать в качестве недостающего уравнения, например такое В 0 к успеху не приведет, поскольку это уравнение будет линейно зависимым с предыдущими. Для получения линейно независимого четвертого уравнения необходимо рассмотреть равновесие другого тела. В качестве него можно взять одну из частей рамы, например − ВС. При этом нужно составить такое уравнение, которое содержало бы старые неизвестные X
A
, Y
A
,
X
B
, и не содержало новых. Например, уравнение ΣX
(
ВС)
= 0 или подробнее С + X
B
= 0 для этих целей не подходит, поскольку содержит новое неизвестное С, а вот уравнение ΣM
С
(
ВС)
= 0 отвечает всем необходимым условиям. Таким образом, искомые опорные реакции можно найти в следующей последовательности
ΣM
A
= 0;
→ Y
B
= РВА Р
ΣM
С
(
ВС)
= 0;
→ X
B
= Р
ΣX = 0; → АР. Для проверки можно использовать уравнение ΣM
С
(
АС)
= 0 или, подробнее А + АР Р Р + Р = Р − Р + Р = 0. Отметим, что в это уравнение входят все 4 найденные опорные реакции Аи А в явной форме, аи в неявной, поскольку они были использованы при определении двух первых реакций.
Решение задач При решения задач этого раздела следует иметь ввиду все те общие указания, которые были сделаны ранее. Приступая к решению, надо, прежде всего, установить, равновесие какого именно тела следует в данной задаче рассмотреть. Затем, выделив это тело и рассматривая его как свободное, следует изобразить все действующие на тело заданные силы и реакции отброшенных связей. Далее следует составить условия равновесия, применяя ту из форм этих условий, которая приводит к более простой системе уравнений (наиболее простой будет система уравнений, в каждое из которых входит по одному неизвестному. Для получения более простых уравнений следует (если это только не усложняет ход расчета
1) составляя уравнения проекций, проводить координатную ось, перпендикулярно какой-нибудь неизвестной силе
2) при составлении моментного уравнения в качестве моментной целесообразно выбирать точку, где пересекаются линии действия двух неизвестных опорных реакций из трех – в этом случае они не войдут в уравнение, и оно будет содержать только одно неизвестное
3) если две неизвестных опорных реакции из трех параллельны, то при составлении уравнения в проекциях на ось последнюю следует направить так, чтобы она была перпендикулярна к двум первым реакциям – в этом случае уравнение будет содержать только последнее неизвестное
4) при решении задачи систему координат надо выбирать так, чтобы ее оси были ориентированы также, как большинство приложенных к телу сил системы. При вычислении моментов иногда бывает удобно разлагать данную силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона, находить момент силы как сумму моментов этих составляющих. Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки, мостовые фермы и т. п. Пример 7. К кронштейну, изображенному на риса в узле В подвешен груз весом 36 кН. Соединения элементов кронштейна шарнирные. Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и ВС, считая их невесомыми. Решение Рассмотрим равновесие узла В, в котором сходятся стержни АВ и
ВС. Узел В представляет собой точку на чертеже. Так как груз подвешен к узлу В, тов точке В прикладываем силу F, равную весу подвешенного груза. Стержни ВА и ВС, шарнирно соединенные в узле В ограничивают возможность любого его линейного перемещения в вертикальной плоскости, те. являются связями по отношению к узлу В.
1) составляя уравнения проекций, проводить координатную ось, перпендикулярно какой-нибудь неизвестной силе
2) при составлении моментного уравнения в качестве моментной целесообразно выбирать точку, где пересекаются линии действия двух неизвестных опорных реакций из трех – в этом случае они не войдут в уравнение, и оно будет содержать только одно неизвестное
3) если две неизвестных опорных реакции из трех параллельны, то при составлении уравнения в проекциях на ось последнюю следует направить так, чтобы она была перпендикулярна к двум первым реакциям – в этом случае уравнение будет содержать только последнее неизвестное
4) при решении задачи систему координат надо выбирать так, чтобы ее оси были ориентированы также, как большинство приложенных к телу сил системы. При вычислении моментов иногда бывает удобно разлагать данную силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона, находить момент силы как сумму моментов этих составляющих. Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки, мостовые фермы и т. п. Пример 7. К кронштейну, изображенному на риса в узле В подвешен груз весом 36 кН. Соединения элементов кронштейна шарнирные. Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и ВС, считая их невесомыми. Решение Рассмотрим равновесие узла В, в котором сходятся стержни АВ и
ВС. Узел В представляет собой точку на чертеже. Так как груз подвешен к узлу В, тов точке В прикладываем силу F, равную весу подвешенного груза. Стержни ВА и ВС, шарнирно соединенные в узле В ограничивают возможность любого его линейного перемещения в вертикальной плоскости, те. являются связями по отношению к узлу В.
Рис. 29. Расчетная схема кронштейна к примеру а – расчетная схема б – система сил в узле B Мысленно отбрасываем связи и заменяем их действия силами - реакциями связей Аи С. Так как стержни невесомые, то реакции этих стержней (усилия в стержнях) направлены вдоль оси стержней. Предположим, что оба стержня растянуты, те. их реакции направлены от шарнира внутрь стержней. Тогда, если после расчета реакция получится со знаком минус, то это будет означать, что на самом деле реакция направлена в сторону, противоположную указанной на чертеже, те. стержень будет сжат. На рис. 29, б показано, что в точке В приложены активная сила F и реакции связей Аи С Видно, что изображенная система сил представляет плоскую систему сил, сходящихся водной точке. Выбираем произвольно оси координат
OX и OY и составляем уравнения равновесия вида
ΣF
x
= 0; -R
a
- R
c
cos
???????? = 0;
ΣF
y
= 0; -F - R
c
cos (90 -
α) = 0. Учитывая, что cos (90 - α) = sinα, из второго уравнения находим
R
c
= -F/sin
α = -36/0,5 = -72 кН. Подставив значение R
c в первое уравнение, получим
R
a
= -R
c
cos
α= - (-72) ∙0,866 = 62,35 кН. Таким образом, стержень АВ - растянута стержень ВС - сжат. Для проверки правильности найденных усилий в стержнях спроектируем все силы на любую ось, не совпадающую с осями X и Y, например, ось U:
ΣF
u
= 0; -R
c
- R
a
cos
α - F cos (90- α) = 0. После подстановки значений найденных усилий в стержнях (размерность в килоньютонах) получим
- (-72) – 62,35
∙0,866 - 36∙0,5 = 0; 0 = 0. Условие равновесия выполняется, таким образом, найденные усилия в стержнях верны. Пример 8. Балка строительных подмостей, весом которой можно пренебречь удерживается в горизонтальном положении гибкой тягой Си шарнирно опирается на стену в точке А. Найти усилие в тяге С, если на край подмостей встанет рабочий весом 80 кг ≈0,8 кН (риса. Рис. 30. Расчетная схема подмостей к примеру 8: а – расчетная схема б – система сил действующих на подмости Решение Выделяем объект равновесия. В данном примере объектом равновесия является балка подмостей. В точке В на балку действует активная сила F, равная весу человека. Связями в данном случае являются неподвижный опорный шарнир Аи тяга CD. Мысленно отбросим связи, заменив их действие на балку, реакциями связей (рис. 30, б. Реакцию неподвижной шарнирной опоры по
OX и OY и составляем уравнения равновесия вида
ΣF
x
= 0; -R
a
- R
c
cos
???????? = 0;
ΣF
y
= 0; -F - R
c
cos (90 -
α) = 0. Учитывая, что cos (90 - α) = sinα, из второго уравнения находим
R
c
= -F/sin
α = -36/0,5 = -72 кН. Подставив значение R
c в первое уравнение, получим
R
a
= -R
c
cos
α= - (-72) ∙0,866 = 62,35 кН. Таким образом, стержень АВ - растянута стержень ВС - сжат. Для проверки правильности найденных усилий в стержнях спроектируем все силы на любую ось, не совпадающую с осями X и Y, например, ось U:
ΣF
u
= 0; -R
c
- R
a
cos
α - F cos (90- α) = 0. После подстановки значений найденных усилий в стержнях (размерность в килоньютонах) получим
- (-72) – 62,35
∙0,866 - 36∙0,5 = 0; 0 = 0. Условие равновесия выполняется, таким образом, найденные усилия в стержнях верны. Пример 8. Балка строительных подмостей, весом которой можно пренебречь удерживается в горизонтальном положении гибкой тягой Си шарнирно опирается на стену в точке А. Найти усилие в тяге С, если на край подмостей встанет рабочий весом 80 кг ≈0,8 кН (риса. Рис. 30. Расчетная схема подмостей к примеру 8: а – расчетная схема б – система сил действующих на подмости Решение Выделяем объект равновесия. В данном примере объектом равновесия является балка подмостей. В точке В на балку действует активная сила F, равная весу человека. Связями в данном случае являются неподвижный опорный шарнир Аи тяга CD. Мысленно отбросим связи, заменив их действие на балку, реакциями связей (рис. 30, б. Реакцию неподвижной шарнирной опоры по
условию задачи определять ненужно. Реакция в тяге CD направлена вдоль тяги. Предположим, что стержень CD растянут, те. реакция направлена от шарнира С внутрь стержня. Разложим реакцию R
D
, по правилу параллелограмма, на горизонтальную и вертикальную составляющие гор
=R
D
cos
α;
R
Dy
верт
= R
D
cos(90-
α) =R
D
sin
α. В результате получили произвольную плоскую систему сил, необходимым условием равновесия которой является равенство нулю трех независимых условий равновесия. В нашем случае удобно первым записать условие равновесия в виде суммы моментов относительно моментной точки Атак как момент опорной реакции относительно этой точки равен нулю
Σm
A
= 0; F
∙3a - R
dy
∙a = 0 или
F
∙3a - R
D
sin
α= 0. Значение тригонометрических функций определим из треугольника АСА. Решая уравнение равновесия, получим R
D
= 5,38 к. (Тяж С - растянут. Для проверки правильности вычисления усилия в тяже CD необходимо вычислить хотя бы одну из составляющих опорной реакции R
A
. Воспользуемся уравнением равновесия в виде
ΣF
y
= 0; V
A
+ R
Dy
- F = 0 или
V
A
= F - Отсюда V
A
= -
1,6 кН. Знак минус означает, что вертикальная составляющая реакции на опоре направлена вниз. Проверим правильность вычисления усилия в тяже. Используем еще одно условие равновесия в виде уравнений моментов относительно точки В.
Σm
B
= 0; V
A а + R
Dy
∙
2a = а + а = 0; 0 = 0. Условия равновесия соблюдаются, таким образом, усилие в тяже найдено верно. Пример 9. Вертикальный бетонный столб забетонирован нижним концом в горизонтальное основание. Сверху на столб передается нагрузка от стены здания весом 143 кН. Столб изготовлен из бетона плотностью γ= 25 кН/м
3
. Размеры столба показаны на риса. Определить реакции в жесткой заделке.
V
B
z
l
=
400 c
м
R
А
В
М
В
Н
В
l
q =
6.5
кН/м
основание
51 мм
кН
а)
б)
D
, по правилу параллелограмма, на горизонтальную и вертикальную составляющие гор
=R
D
cos
α;
R
Dy
верт
= R
D
cos(90-
α) =R
D
sin
α. В результате получили произвольную плоскую систему сил, необходимым условием равновесия которой является равенство нулю трех независимых условий равновесия. В нашем случае удобно первым записать условие равновесия в виде суммы моментов относительно моментной точки Атак как момент опорной реакции относительно этой точки равен нулю
Σm
A
= 0; F
∙3a - R
dy
∙a = 0 или
F
∙3a - R
D
sin
α= 0. Значение тригонометрических функций определим из треугольника АСА. Решая уравнение равновесия, получим R
D
= 5,38 к. (Тяж С - растянут. Для проверки правильности вычисления усилия в тяже CD необходимо вычислить хотя бы одну из составляющих опорной реакции R
A
. Воспользуемся уравнением равновесия в виде
ΣF
y
= 0; V
A
+ R
Dy
- F = 0 или
V
A
= F - Отсюда V
A
= -
1,6 кН. Знак минус означает, что вертикальная составляющая реакции на опоре направлена вниз. Проверим правильность вычисления усилия в тяже. Используем еще одно условие равновесия в виде уравнений моментов относительно точки В.
Σm
B
= 0; V
A а + R
Dy
∙
2a = а + а = 0; 0 = 0. Условия равновесия соблюдаются, таким образом, усилие в тяже найдено верно. Пример 9. Вертикальный бетонный столб забетонирован нижним концом в горизонтальное основание. Сверху на столб передается нагрузка от стены здания весом 143 кН. Столб изготовлен из бетона плотностью γ= 25 кН/м
3
. Размеры столба показаны на риса. Определить реакции в жесткой заделке.
V
B
z
l
=
400 c
м
R
А
В
М
В
Н
В
l
q =
6.5
кН/м
основание
51 мм
кН
а)
б)
Рис. 31. Расчетная схема столба к примеру 9: а – схема загрузки и размеры столба б – расчетная схема. Решение В данном примере объектом равновесия является столб. Столб загружен следующими типами активных нагрузок в точке А сосредоточенной силой F, равной весу стены здания, и собственным весом столба в виде равномерно распределенной по длине бруса нагрузки интенсивностью q на каждый метр длины столба q = А, где А - площадь поперечного сечения столба.
q = 25
∙0,51∙0.51 = 6,5 кН/м. Связями в данном примере является жесткая заделка в основании столба. Мысленно отбросим заделку и заменим ее действие реакциями связей (рис. 31, б. В нашем примере рассматривается частный случай действия системы сил, перпендикулярных заделке и проходящих по одной оси через точку приложения опорных реакций. Тогда две опорные реакции горизонтальная составляющая и реактивный момент будут равны нулю. Для определения вертикальной составляющей опорной реакции спроектируем все силы на ось элемента. Совместим эту ось с осью Z, тогда условие равновесия запишется в следующем виде
ΣF
Z
= 0; V
B
- F - ql = 0, где ql - равнодействующая распределенной нагрузки. Отсюда
V
B
= F +ql=143 + 6,5
∙4 = 169 кН. Знак плюс указывает, что реакция V
B направлена вверх. Для проверки правильности вычисления опорной реакции остается еще одно условие равновесия - в виде алгебраической суммы моментов всех сил относительно любой точки, не проходящей через ось элемента. Предлагаем выполнить эту проверку самостоятельно. Пример 10. Для балки, изображенной на риса, требуется определить опорные реакции. Дано F = 60 кН, q = 24 кН/м, М = 28 кН∙м. Рис. 32. Расчетная схема и размеры балки к примеру 10: а – расчетная схема б – объект равновесия. Решение Рассмотрим равновесие балки. Балка загружена активной нагрузкой в виде плоской системы параллельных вертикальных сил, состоящих из сосредоточенной силы F, равномерно распределенной нагрузки интенсивностью
q с равнодействующей Q, приложенной в центре тяжести грузовой площади (рис.
32, б, и сосредоточенного момента М, который можно представить в виде пары сил.
q = 25
∙0,51∙0.51 = 6,5 кН/м. Связями в данном примере является жесткая заделка в основании столба. Мысленно отбросим заделку и заменим ее действие реакциями связей (рис. 31, б. В нашем примере рассматривается частный случай действия системы сил, перпендикулярных заделке и проходящих по одной оси через точку приложения опорных реакций. Тогда две опорные реакции горизонтальная составляющая и реактивный момент будут равны нулю. Для определения вертикальной составляющей опорной реакции спроектируем все силы на ось элемента. Совместим эту ось с осью Z, тогда условие равновесия запишется в следующем виде
ΣF
Z
= 0; V
B
- F - ql = 0, где ql - равнодействующая распределенной нагрузки. Отсюда
V
B
= F +ql=143 + 6,5
∙4 = 169 кН. Знак плюс указывает, что реакция V
B направлена вверх. Для проверки правильности вычисления опорной реакции остается еще одно условие равновесия - в виде алгебраической суммы моментов всех сил относительно любой точки, не проходящей через ось элемента. Предлагаем выполнить эту проверку самостоятельно. Пример 10. Для балки, изображенной на риса, требуется определить опорные реакции. Дано F = 60 кН, q = 24 кН/м, М = 28 кН∙м. Рис. 32. Расчетная схема и размеры балки к примеру 10: а – расчетная схема б – объект равновесия. Решение Рассмотрим равновесие балки. Балка загружена активной нагрузкой в виде плоской системы параллельных вертикальных сил, состоящих из сосредоточенной силы F, равномерно распределенной нагрузки интенсивностью
q с равнодействующей Q, приложенной в центре тяжести грузовой площади (рис.
32, б, и сосредоточенного момента М, который можно представить в виде пары сил.
Связями в данной балке являются шарнирно-неподвижная опора Аи шарнирно-подвижная опора В. Выделим объект равновесия, для этого отбросим опорные связи и заменим их действия реакциями в этих связях (рис. 32, б. Реакция подвижной опоры направлена вертикально, а реакция шарнирно- неподвижной опоры будет параллельна активной системе действующих сил и направлена также вертикально. Предположим, что они направлены вверх. Равнодействующая распределенной нагрузки Q = 4,8∙q приложена в центре симметрии грузовой площади. При определении опорных реакций в балках необходимо стремиться так составлять уравнения равновесия, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное. Этого можно добиться, составляя два уравнения моментов относительно опорных точек. Проверку опорных реакций обычно проводят, составляя уравнение в виде суммы проекций всех сил на ось, перпендикулярную оси элемента. Примем условно направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек за положительное, тогда противоположное направление вращения сил будем считать отрицательным. Необходимыми достаточным условием равновесия в данном случае является равенство нулю независимых условий равновесия в виде
Σm
A
= 0; V
B
∙6 - q∙4,8∙4,8 + M + F∙2,4 = 0;
Σm
B
= 0; V
A
∙6 - q∙4,8∙1,2 - M - F∙8,4 = 0. Подставляя численные значения величин, находим
V
B
= 14,4 кН, V
A
= 15,6 кН. Для проверки правильности найденных реакций используем условие равновесия в виде
ΣF
y
= 0; V
A
+ V
B
- F -q
∙4,8 =0. После подстановки численных значений в это уравнение получаем тождество типа 0=0. Отсюда делаем выводы, что расчет выполнен верно и реакции на обеих опорах направлены вверх. Пример 11. Определить опорные реакции для балки, изображенной на риса. Дано F = 2,4 кН, M = 12 кН∙м, q = 0,6 кН/м, α = 60°.
2м
1м
1м
2м
2м
1,5м
R
A
Q 3q
=
F
Y
F
X
F
М
М
R
BY
R
BX
q
F
А
В
а)
б)
Рис. 33. Расчетная схема и размеры балки к примеру 11: а – расчетная схема б – объект равновесия. Решение Рассмотрим равновесие балки. Мысленно освобождаем балку от связей на опорах и выделяем объект равновесия (рис. 33, б. Балка загружена активной нагрузкой в виде произвольной плоской системы сил. Равнодействующая распределенной нагрузки Q = q∙3 приложена в центре
Σm
A
= 0; V
B
∙6 - q∙4,8∙4,8 + M + F∙2,4 = 0;
Σm
B
= 0; V
A
∙6 - q∙4,8∙1,2 - M - F∙8,4 = 0. Подставляя численные значения величин, находим
V
B
= 14,4 кН, V
A
= 15,6 кН. Для проверки правильности найденных реакций используем условие равновесия в виде
ΣF
y
= 0; V
A
+ V
B
- F -q
∙4,8 =0. После подстановки численных значений в это уравнение получаем тождество типа 0=0. Отсюда делаем выводы, что расчет выполнен верно и реакции на обеих опорах направлены вверх. Пример 11. Определить опорные реакции для балки, изображенной на риса. Дано F = 2,4 кН, M = 12 кН∙м, q = 0,6 кН/м, α = 60°.
2м
1м
1м
2м
2м
1,5м
R
A
Q 3q
=
F
Y
F
X
F
М
М
R
BY
R
BX
q
F
А
В
а)
б)
Рис. 33. Расчетная схема и размеры балки к примеру 11: а – расчетная схема б – объект равновесия. Решение Рассмотрим равновесие балки. Мысленно освобождаем балку от связей на опорах и выделяем объект равновесия (рис. 33, б. Балка загружена активной нагрузкой в виде произвольной плоской системы сил. Равнодействующая распределенной нагрузки Q = q∙3 приложена в центре
симметрии грузовой площади. Силу F разложим по правилу параллелограмма на составляющие – горизонтальную и вертикальную
F
z
= Fcos
α= 2,4 cos60
°
= 1,2 кН;
F
y
=Fcos(90-
α) = F sin60
°
= 2,08 кН. Прикладываем к объекту равновесия вместо отброшенных связей реакции. Предположим, вертикальная реакция шарнирно подвижной опоры А направлена вверх, вертикальная реакция шарнирно неподвижной опоры B направлена также вверх, а горизонтальная реакция В
- вправо. Таким образом, на рис. 33, б изображена произвольная плоская система сил, необходимым условием равновесия которой является равенство нулю трех независимых условий равновесия для плоской системы сил. Напомним, что, согласно теореме Вариньона, момент силы F относительно любой точки равен сумме моментов составляющих и относительно этой же точки. Примем условно, направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек за положительное, тогда противоположное направление вращение сил будем считать отрицательным. Тогда условия равновесия удобно составить в следующем виде
ΣFz = 0; - F
z
+ H
B
= 0; отсюда H
B
= 1,2 кН;
Σm
A
= 0; V
B
∙6 + M - F
y
∙2 + 3q∙0.5 = 0; отсюда V
B
= -
1,456 кН;
Σm
B
= 0; V
A
∙6 - 3q∙6,5 - F
y
∙4 - M = 0; отсюда V
A
= 5,336 кН. Для проверки правильности вычисленных реакций используем еще одно условие равновесия, которое не использовали, например
ΣF
y
= 0; V
A
+ V
B
- 3q - F
y
= 0. После подстановки численных значений получаем тождество 0=0. Вертикальная опорной реакции получилась со знаком минус, это показывает, что в данной балке она направлена не вверх, а вниз. Пример Определить опорные реакции для балки, жестко заделанной с одной стороны и изображенной на риса. Дано q =20 кН/м.
F
z
= Fcos
α= 2,4 cos60
°
= 1,2 кН;
F
y
=Fcos(90-
α) = F sin60
°
= 2,08 кН. Прикладываем к объекту равновесия вместо отброшенных связей реакции. Предположим, вертикальная реакция шарнирно подвижной опоры А направлена вверх, вертикальная реакция шарнирно неподвижной опоры B направлена также вверх, а горизонтальная реакция В
- вправо. Таким образом, на рис. 33, б изображена произвольная плоская система сил, необходимым условием равновесия которой является равенство нулю трех независимых условий равновесия для плоской системы сил. Напомним, что, согласно теореме Вариньона, момент силы F относительно любой точки равен сумме моментов составляющих и относительно этой же точки. Примем условно, направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных точек за положительное, тогда противоположное направление вращение сил будем считать отрицательным. Тогда условия равновесия удобно составить в следующем виде
ΣFz = 0; - F
z
+ H
B
= 0; отсюда H
B
= 1,2 кН;
Σm
A
= 0; V
B
∙6 + M - F
y
∙2 + 3q∙0.5 = 0; отсюда V
B
= -
1,456 кН;
Σm
B
= 0; V
A
∙6 - 3q∙6,5 - F
y
∙4 - M = 0; отсюда V
A
= 5,336 кН. Для проверки правильности вычисленных реакций используем еще одно условие равновесия, которое не использовали, например
ΣF
y
= 0; V
A
+ V
B
- 3q - F
y
= 0. После подстановки численных значений получаем тождество 0=0. Вертикальная опорной реакции получилась со знаком минус, это показывает, что в данной балке она направлена не вверх, а вниз. Пример Определить опорные реакции для балки, жестко заделанной с одной стороны и изображенной на риса. Дано q =20 кН/м.
1 2 3 4 5 6 7
1,6 мм = 20
кН/м
А
а)
B
А
б)
B
Q
q
=1 6
,
0,8 м
Н
В
Рис. 34. Расчетная схема и размеры балки к примеру 12: а – расчетная схема б – объект равновесия Решение Выделим объект равновесия. Балка загружена активной нагрузкой в виде плоской системы параллельных сил, расположенных вертикально. Мысленно освобождаем балку от связей в заделке и заменяем их реакциями в виде сосредоточенной силы и пары сил с искомым реактивным моментом М
B
(см. рис, б. Так как активные силы действуют только в вертикальном направлении, то горизонтальная реакция Н
B
равна нулю. Примем условно направление вращения момента опорных реакций вокруг моментных
точек почасовой стрелке за положительное, тогда противоположное направление вращения сил будем считать отрицательным. Составляем условия равновесия в виде
ΣF
y
= 0; V
B
- q
∙1,6 = 0;
Σm
B
= 0; M
B
- q
∙1,6∙1,2 = 0. Здесь q∙1,6 – равнодействующая распределенной нагрузки. Подставив численные значения распределенной нагрузки q, находим В 32 кН, М 38,4 кН∙м. Для проверки правильности найденных реакций составим еще одно условие равновесия. Теперь возьмем за моментную точку какую-нибудь другую точку, например правый конец балки, тогда
Σm
A
= 0; M
B
– V
B
∙2 + q∙1,6∙0,8 = 0 . После подстановки численных значений получаем тождество 0=0. Окончательно делаем выводы, что опорные реакции найдены верно. Вертикальная реакция направлена вверх, а реактивный момент МВ - почасовой стрелке. Пример 13. Определить опорные реакции балки (риса. Решение В качестве активной нагрузки выступает равнодействующая распределенной нагрузки Q=(1/2)∙aq=(1/2)∙3∙2=3кН, линия действия которой проходит на расстоянии 1 мот левой опоры, сила натяжения нити Т = Р = 2 кН, приложенная на правом конце балки и сосредоточенный момент. Поскольку последний можно заменить парой вертикальных сил, то действующая на балку нагрузка вместе с реакцией подвижной опоры В образует систему параллельных сил, поэтому реакция будет также направлена вертикально (рис, б. Для определения этих реакций воспользуемся уравнениями равновесия.
ΣM
A
= 0;
−Q∙1 + ВТ, откуда В = (1/3) (Q + M Р) = (1/3) (3 + 4 − 2∙5) = −1 кН.
ΣM
B
= 0;
− R
A
∙3 + Q∙2 − M + Т = 0,
R
A
= (1/3) (Q
∙2 − M + Р) = (1/3) (3∙2 − 4 + 2∙2) = 2 кН. Рис.
ΣF
y
= 0; V
B
- q
∙1,6 = 0;
Σm
B
= 0; M
B
- q
∙1,6∙1,2 = 0. Здесь q∙1,6 – равнодействующая распределенной нагрузки. Подставив численные значения распределенной нагрузки q, находим В 32 кН, М 38,4 кН∙м. Для проверки правильности найденных реакций составим еще одно условие равновесия. Теперь возьмем за моментную точку какую-нибудь другую точку, например правый конец балки, тогда
Σm
A
= 0; M
B
– V
B
∙2 + q∙1,6∙0,8 = 0 . После подстановки численных значений получаем тождество 0=0. Окончательно делаем выводы, что опорные реакции найдены верно. Вертикальная реакция направлена вверх, а реактивный момент МВ - почасовой стрелке. Пример 13. Определить опорные реакции балки (риса. Решение В качестве активной нагрузки выступает равнодействующая распределенной нагрузки Q=(1/2)∙aq=(1/2)∙3∙2=3кН, линия действия которой проходит на расстоянии 1 мот левой опоры, сила натяжения нити Т = Р = 2 кН, приложенная на правом конце балки и сосредоточенный момент. Поскольку последний можно заменить парой вертикальных сил, то действующая на балку нагрузка вместе с реакцией подвижной опоры В образует систему параллельных сил, поэтому реакция будет также направлена вертикально (рис, б. Для определения этих реакций воспользуемся уравнениями равновесия.
ΣM
A
= 0;
−Q∙1 + ВТ, откуда В = (1/3) (Q + M Р) = (1/3) (3 + 4 − 2∙5) = −1 кН.
ΣM
B
= 0;
− R
A
∙3 + Q∙2 − M + Т = 0,
R
A
= (1/3) (Q
∙2 − M + Р) = (1/3) (3∙2 − 4 + 2∙2) = 2 кН. Рис.
Чтобы проверить правильность полученного решения, воспользуемся дополнительным уравнением равновесия
ΣY
i
= R
A
− Q + ВТ, то есть, задача решена правильно. Пример 14. Найти опорные реакции консольной балки, загруженной распределенной нагрузкой (риса. Решение Равнодействующая распределенной нагрузки приложена в центре тяжести грузовой эпюры. Чтобы не искать положение центра тяжести трапеции, представим ее в виде суммы двух треугольников. Тогда заданная нагрузка будет эквивалентна двум силам Q
1
= (1/2)
∙3∙2 = 3 кН и Q
2
= (1/2)
∙3∙4 = 6 кН, которые приложены в центре тяжести каждого из треугольников (рис.36,б). Рис. Опорные реакции жесткого защемления представлены силой R
A и моментом, для определения которых удобнее использовать уравнения равновесия системы параллельных сил, то есть
ΣM
A
= 0; M
A
= 15 кН∙м;
ΣY = 0, R
A
= 9 кН. Для проверки воспользуемся дополнительным уравнением В 0, где точка В находится на правом конце балки В = M
A
− R
A
∙3 + Q
1
∙2 + Q
2
∙1 = 15 − 27 + 6 +6 = 0. Пример 15. Однородная балка весом Q = 600 Ни длиной l = 4 м опирается одним концом на гладкий пола промежуточной точкой Вна столб высотой h = 3 м, образуя с вертикалью угол 30°. В таком положении балка удерживается веревкой, протянутой по полу. Определить натяжение веревки T и реакции столба
− и пола − R
A риса.
Решение.Под балкой или стержнем в теоретической механике понимают тело, у которого поперечными размерами в сравнении сего длиной можно пренебречь. Таким образом, вес Q однородной балки приложен в точке С, где АС
= 2 м.
ΣY
i
= R
A
− Q + ВТ, то есть, задача решена правильно. Пример 14. Найти опорные реакции консольной балки, загруженной распределенной нагрузкой (риса. Решение Равнодействующая распределенной нагрузки приложена в центре тяжести грузовой эпюры. Чтобы не искать положение центра тяжести трапеции, представим ее в виде суммы двух треугольников. Тогда заданная нагрузка будет эквивалентна двум силам Q
1
= (1/2)
∙3∙2 = 3 кН и Q
2
= (1/2)
∙3∙4 = 6 кН, которые приложены в центре тяжести каждого из треугольников (рис.36,б). Рис. Опорные реакции жесткого защемления представлены силой R
A и моментом, для определения которых удобнее использовать уравнения равновесия системы параллельных сил, то есть
ΣM
A
= 0; M
A
= 15 кН∙м;
ΣY = 0, R
A
= 9 кН. Для проверки воспользуемся дополнительным уравнением В 0, где точка В находится на правом конце балки В = M
A
− R
A
∙3 + Q
1
∙2 + Q
2
∙1 = 15 − 27 + 6 +6 = 0. Пример 15. Однородная балка весом Q = 600 Ни длиной l = 4 м опирается одним концом на гладкий пола промежуточной точкой Вна столб высотой h = 3 м, образуя с вертикалью угол 30°. В таком положении балка удерживается веревкой, протянутой по полу. Определить натяжение веревки T и реакции столба
− и пола − R
A риса.
Решение.Под балкой или стержнем в теоретической механике понимают тело, у которого поперечными размерами в сравнении сего длиной можно пренебречь. Таким образом, вес Q однородной балки приложен в точке С, где АС
= 2 м.
Рис.
1) Поскольку две неизвестных реакции из трех приложены в точке А, первым следует составить уравнение ΣM
A
= 0, так как туда войдет только реакция
R
B
:
−R
B
∙АВ+ Q∙(l/2)∙sin30° = 0, где АВ = h/cos30°= 2 м. Подставляя в уравнение, получим
R
B
∙2 = 600∙2∙(1/2) = 600, откуда
R
B
= 600/ (2
) = 100
≅ 173 Н. Аналогично из моментного уравнения можно было бы найти и реакцию R
A
, выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия и Т. Однако это потребует дополнительных построений, поэтому проще воспользоваться другими уравнениями равновесия
2)
ΣX = 0; R
B
∙cos30° − Т = 0; → Т = R
B
∙cos30°= 100 ∙( /2) = 150 Н
3)
ΣY = 0, R
B
∙sin30°− Q + R
A
= 0;
→ R
A
= Q
− R
B
∙sin30°= 600 − 50 ≅ 513 Н. Таким образом, мы нашли Т и через R
B
, поэтому проверить правильность полученного решения можно с помощью уравнения ΣM
B
= 0, куда в явном или неявном виде войдут все найденные реакции
R
A
∙АВ sin30°− Т∙АВ cos30° − Q∙(АВ − l/2)∙sin30°= 513∙2 ∙(1/2) − 150∙2 ∙(
/2)
− 600∙ (2 − 2)∙(1/2) = 513∙ − 150∙3 − 600∙( −1) ≅ 513∙1,73 − 450 − 600∙0,73
= 887,5
− 888 = −0,5. Полученная в результате округления невязка ∆= −0,5 называется абсолютной погрешностью вычисления. Для того чтобы ответить на вопрос насколько точным является полученный результат, вычисляют относительную погрешность, которая определяется по формуле
ε=[|∆| / min(|Σ
+
|, |
Σ
−
|)]
∙100% =[|−0,5| / min(|887,5|, |−888|)]∙100% =
(0,5/887,5)
∙100% = 0,06%. Пример 16. Определить опорные реакции рамы (рис. Здесь ив дальнейшем, если не оговорено специально, все размеры на рисунках будем считать указанными в метрах, а силы − в килоньютонах.
1) Поскольку две неизвестных реакции из трех приложены в точке А, первым следует составить уравнение ΣM
A
= 0, так как туда войдет только реакция
R
B
:
−R
B
∙АВ+ Q∙(l/2)∙sin30° = 0, где АВ = h/cos30°= 2 м. Подставляя в уравнение, получим
R
B
∙2 = 600∙2∙(1/2) = 600, откуда
R
B
= 600/ (2
) = 100
≅ 173 Н. Аналогично из моментного уравнения можно было бы найти и реакцию R
A
, выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия и Т. Однако это потребует дополнительных построений, поэтому проще воспользоваться другими уравнениями равновесия
2)
ΣX = 0; R
B
∙cos30° − Т = 0; → Т = R
B
∙cos30°= 100 ∙( /2) = 150 Н
3)
ΣY = 0, R
B
∙sin30°− Q + R
A
= 0;
→ R
A
= Q
− R
B
∙sin30°= 600 − 50 ≅ 513 Н. Таким образом, мы нашли Т и через R
B
, поэтому проверить правильность полученного решения можно с помощью уравнения ΣM
B
= 0, куда в явном или неявном виде войдут все найденные реакции
R
A
∙АВ sin30°− Т∙АВ cos30° − Q∙(АВ − l/2)∙sin30°= 513∙2 ∙(1/2) − 150∙2 ∙(
/2)
− 600∙ (2 − 2)∙(1/2) = 513∙ − 150∙3 − 600∙( −1) ≅ 513∙1,73 − 450 − 600∙0,73
= 887,5
− 888 = −0,5. Полученная в результате округления невязка ∆= −0,5 называется абсолютной погрешностью вычисления. Для того чтобы ответить на вопрос насколько точным является полученный результат, вычисляют относительную погрешность, которая определяется по формуле
ε=[|∆| / min(|Σ
+
|, |
Σ
−
|)]
∙100% =[|−0,5| / min(|887,5|, |−888|)]∙100% =
(0,5/887,5)
∙100% = 0,06%. Пример 16. Определить опорные реакции рамы (рис. Здесь ив дальнейшем, если не оговорено специально, все размеры на рисунках будем считать указанными в метрах, а силы − в килоньютонах.
Рис. Решение Рассмотрим равновесие рамы, к которой в качестве активной приложена сила натяжения нити Травная весу груза Q.
1) Реакцию подвижной опоры найдем из уравнения ΣM
A
= 0. Чтобы при этом не вычислять плечо силы Т, воспользуемся теоремой Вариньона, разложив эту силу на горизонтальную и вертикальную составляющие
R
B
∙2 + Т sin30°∙3 − Т cos30°∙4 = 0; → R
B
= (1/2)
∙ Q(cos30°∙4 − sin30°∙3) =
(5/4)
∙ (4 − 3) кН.
2) Для вычисления составим уравнение С 0, где точка С лежит на пересечении линий действия реакций R
B и Х
− Y
A
∙2 + Т sin30°∙3 − Т cos30°∙2 = 0; → Y
A
= (1/2)
∙ Q(sin30°∙3 −cos30°∙2) =
(5/4)
∙ (3 −2 ) кН.
3) Наконец, находим реакцию Х
ΣX = 0; Х Т sin30° = 0; → Х = Q sin30
° = 5/2 кН. Поскольку все три реакции были найдены независимо друг от друга, для проверки нужно взять уравнение, в которое входит каждая из них
ΣM
D
= Х − Y
A
∙4 − R
B
∙2 = 15/2 − 5∙(3 −2 ) − (5/2)∙ (4 − 3) = 15/2 − 15 +
10
−10 +15/2 = 0. Пример 17. Определить опорные реакции стержня, имеющего ломаное очертание (риса. Решение Заменяем распределенную нагрузку на каждом участке стержня сосредоточенными силами Q
1
= 5 кН и Q
2
= 3 кН, а действие отброшенного жесткого защемления − реакциями Хи M
А
(рис.39,б).
1) Реакцию подвижной опоры найдем из уравнения ΣM
A
= 0. Чтобы при этом не вычислять плечо силы Т, воспользуемся теоремой Вариньона, разложив эту силу на горизонтальную и вертикальную составляющие
R
B
∙2 + Т sin30°∙3 − Т cos30°∙4 = 0; → R
B
= (1/2)
∙ Q(cos30°∙4 − sin30°∙3) =
(5/4)
∙ (4 − 3) кН.
2) Для вычисления составим уравнение С 0, где точка С лежит на пересечении линий действия реакций R
B и Х
− Y
A
∙2 + Т sin30°∙3 − Т cos30°∙2 = 0; → Y
A
= (1/2)
∙ Q(sin30°∙3 −cos30°∙2) =
(5/4)
∙ (3 −2 ) кН.
3) Наконец, находим реакцию Х
ΣX = 0; Х Т sin30° = 0; → Х = Q sin30
° = 5/2 кН. Поскольку все три реакции были найдены независимо друг от друга, для проверки нужно взять уравнение, в которое входит каждая из них
ΣM
D
= Х − Y
A
∙4 − R
B
∙2 = 15/2 − 5∙(3 −2 ) − (5/2)∙ (4 − 3) = 15/2 − 15 +
10
−10 +15/2 = 0. Пример 17. Определить опорные реакции стержня, имеющего ломаное очертание (риса. Решение Заменяем распределенную нагрузку на каждом участке стержня сосредоточенными силами Q
1
= 5 кН и Q
2
= 3 кН, а действие отброшенного жесткого защемления − реакциями Хи M
А
(рис.39,б).
Рис.
1) А = 0; А − Q
2
∙5,5 = 0; → А = 5
∙2,5 + 3∙5,5 = 12,5 + 16,5 = 29 кНм.
2)
ΣX = 0; Х + Q
1
∙sinα = 0;
→ Х =
−5∙(3/5) = −3 кН.
3)
ΣY = 0; Y
A
− Q
1
cos
α − Q
2
= 0;
→ Y
A
= 5
∙(4/5) + 3 = 4 + 3 = 7 кН, так как sinα = 3/5, cosα = 4/5. Проверка В = 0; АХ − 9 − 49 + 20 + 4,5 + 4,5 = 58 − 58 = 0. Пример 18. Для рамы изображенной на риса требуется определить опорные реакции. Дано F = 50 кН , М = 60 кН∙м , q = 20 кН/м. Решение Рассмотрим равновесие рамы. Мысленно освобождаем раму от связей на опорах (рис, б) и выделяем объект равновесия. Рама загружена активной нагрузкой в виде произвольной плоской системы сил. Вместо отброшенных связей прикладываем к объекту равновесия реакции на шарнирно- неподвижной опоре А - вертикальную и горизонтальную H
A
, а на шарнирно- подвижной опоре В - вертикальную реакцию Предполагаемое направление реакций показано на рис, б.
1) А = 0; А − Q
2
∙5,5 = 0; → А = 5
∙2,5 + 3∙5,5 = 12,5 + 16,5 = 29 кНм.
2)
ΣX = 0; Х + Q
1
∙sinα = 0;
→ Х =
−5∙(3/5) = −3 кН.
3)
ΣY = 0; Y
A
− Q
1
cos
α − Q
2
= 0;
→ Y
A
= 5
∙(4/5) + 3 = 4 + 3 = 7 кН, так как sinα = 3/5, cosα = 4/5. Проверка В = 0; АХ − 9 − 49 + 20 + 4,5 + 4,5 = 58 − 58 = 0. Пример 18. Для рамы изображенной на риса требуется определить опорные реакции. Дано F = 50 кН , М = 60 кН∙м , q = 20 кН/м. Решение Рассмотрим равновесие рамы. Мысленно освобождаем раму от связей на опорах (рис, б) и выделяем объект равновесия. Рама загружена активной нагрузкой в виде произвольной плоской системы сил. Вместо отброшенных связей прикладываем к объекту равновесия реакции на шарнирно- неподвижной опоре А - вертикальную и горизонтальную H
A
, а на шарнирно- подвижной опоре В - вертикальную реакцию Предполагаемое направление реакций показано на рис, б.
Рис. Расчетная схема рамы и объект равновесия к примеру 18: а – расчетная схема б – объект равновесия Составляем следующие условия равновесия
ΣF
x
= 0; -H
A
+ F = 0; H
A
= 50 кН.
Σm
A
= 0; V
B
∙6 + M - q∙6∙3 - F∙6 = 0; V
B
= 100 кН.
ΣF
y
= 0; V
A
+ V
B
- q
∙6 = 0; V
A
= 20 кН. Здесь условно принято направление вращения вокруг моментных точек против движения часовой стрелки за положительное. Для проверки правильности вычисления реакций используем условие равновесия, в которое входили бы все опорные реакции, например
Σm
C
= 0; V
B
∙3 + M – H
A
∙6 – V
A
∙3 = 0. После подстановки численных значений получаем тождество 0=0. Таким образом, направления и величины опорных реакций определены верно. Пример 19. Определить опорные реакции рамы (риса. Рис. Решение Как ив предыдущем примере, рама состоит из двух частей, соединенных ключевым шарниром С. Распределенную нагрузку, приложенную клевой части рамы, заменяем равнодействующей Q
1
, а к правой − равнодействующей Q
2
, где Q
1
= Q
2
= 2кН.
1) Находим реакцию из уравнения ΣM
С
(
ВС)
= 0;
→ R
B
= 1кН; Рассмотрим равновесие всей рамы как абсолютно твердого тела. Поскольку
Q
1
, и образуют систему параллельных сил, реакции в точке А будут представлены вертикально направленной силой Аи реактивным моментом МА
(
рис.37,б), поэтому можно составить следующие уравнения равновесия
2) А = 0;
→ А 4 кН∙м;
3)
ΣY = 0; → А 3 кН. Проверка
ΣM
С
(
АС)
= А А + Q
1
∙1 = 4 − 3∙2 + 2∙1 = 6 − 6 = 0. Пример 20. Определить опорные реакции рамы (риса.
ΣF
x
= 0; -H
A
+ F = 0; H
A
= 50 кН.
Σm
A
= 0; V
B
∙6 + M - q∙6∙3 - F∙6 = 0; V
B
= 100 кН.
ΣF
y
= 0; V
A
+ V
B
- q
∙6 = 0; V
A
= 20 кН. Здесь условно принято направление вращения вокруг моментных точек против движения часовой стрелки за положительное. Для проверки правильности вычисления реакций используем условие равновесия, в которое входили бы все опорные реакции, например
Σm
C
= 0; V
B
∙3 + M – H
A
∙6 – V
A
∙3 = 0. После подстановки численных значений получаем тождество 0=0. Таким образом, направления и величины опорных реакций определены верно. Пример 19. Определить опорные реакции рамы (риса. Рис. Решение Как ив предыдущем примере, рама состоит из двух частей, соединенных ключевым шарниром С. Распределенную нагрузку, приложенную клевой части рамы, заменяем равнодействующей Q
1
, а к правой − равнодействующей Q
2
, где Q
1
= Q
2
= 2кН.
1) Находим реакцию из уравнения ΣM
С
(
ВС)
= 0;
→ R
B
= 1кН; Рассмотрим равновесие всей рамы как абсолютно твердого тела. Поскольку
Q
1
, и образуют систему параллельных сил, реакции в точке А будут представлены вертикально направленной силой Аи реактивным моментом МА
(
рис.37,б), поэтому можно составить следующие уравнения равновесия
2) А = 0;
→ А 4 кН∙м;
3)
ΣY = 0; → А 3 кН. Проверка
ΣM
С
(
АС)
= А А + Q
1
∙1 = 4 − 3∙2 + 2∙1 = 6 − 6 = 0. Пример 20. Определить опорные реакции рамы (риса.
Рис. Решение В отличие от двух предыдущих примеров формальное определение опорных реакции в этой задаче требует совместного рассмотрения системы уравнений А =0; M + В − X
B
∙1 = 0;
ΣM
С
(
СВ)
=0; M + В + X
B
∙1 = 0. Ее решением будет X
B
=
−M/2; В =
−M/2. Рассматривая затем равновесие всей рамы в целом, получим ХА А = M/2;
ΣY = 0; А + В = 0;
→ А M/2. Проверка. ΣM
С
(
АС)
= А − А + M =M/2 − M/2 + M = 0. Пример 21. Определить реакции в опорах ив соединительном шарнире трехшарнирной арки (риса. Рис. Решение Находим опорные реакции
1) А = 0;
→ В Р
2)
ΣM
С
(
СВ)
= 0;
→ Х
В
РВА Р
4) ХА Р. Для определения реакций в соединительном шарнире нужно рассмотреть равновесие одной из частей рамы. При этом результат будет зависеть оттого, к какой части считать приложенной силу Р. Например, считая эту силу приложенной к телу АС, получим из условий равновесия левой части (рис.43,б):
ΣХ
(
АС)
= 0;
→ X
C
= РАС Р. А если считать силу Р поделенной поровну между левой и правой частями рамы, то Y
C будет равняться нулю. В общем случае эту силу можно поделить в любом соотношении между частями рамы, нов сумме с реакцией она всегда будет равняться − Р.
B
∙1 = 0;
ΣM
С
(
СВ)
=0; M + В + X
B
∙1 = 0. Ее решением будет X
B
=
−M/2; В =
−M/2. Рассматривая затем равновесие всей рамы в целом, получим ХА А = M/2;
ΣY = 0; А + В = 0;
→ А M/2. Проверка. ΣM
С
(
АС)
= А − А + M =M/2 − M/2 + M = 0. Пример 21. Определить реакции в опорах ив соединительном шарнире трехшарнирной арки (риса. Рис. Решение Находим опорные реакции
1) А = 0;
→ В Р
2)
ΣM
С
(
СВ)
= 0;
→ Х
В
РВА Р
4) ХА Р. Для определения реакций в соединительном шарнире нужно рассмотреть равновесие одной из частей рамы. При этом результат будет зависеть оттого, к какой части считать приложенной силу Р. Например, считая эту силу приложенной к телу АС, получим из условий равновесия левой части (рис.43,б):
ΣХ
(
АС)
= 0;
→ X
C
= РАС Р. А если считать силу Р поделенной поровну между левой и правой частями рамы, то Y
C будет равняться нулю. В общем случае эту силу можно поделить в любом соотношении между частями рамы, нов сумме с реакцией она всегда будет равняться − Р.
Пример 22. Определить графически опорные реакции рамы, изображенной на рис. Рис. Решение. Система состоит из двух тел, имеющих равное число алгебраических неизвестных 4 − для АС (X
A
, Y
A
, X
C
, Y
C
) и 4 − для ВС (X
B
, Y
B
, X
C
’,
Y
C
’), нона тело АС действуют три силы (P, R
A
, R
C
), а на ВС − только две (В, R
C
’), поэтому начинаем решение с рассмотрения тела ВС. Согласно второй аксиоме R
В
и действуют вдоль прямой, соединяющей точки их приложения, то есть по прямой ВС. Рассмотрим равновесие всей рамы АВС как твердого тела. На нее действует уравновешенная система трех непараллельных сил, которая в силу теоремы о трех силах должна быть сходящейся, поэтому реакция должна проходить через точку К, где пересекаются линии действия R
В
и R
C
’ риса. Строим силовой треугольник, проводя через начало и конец вектора Р прямые, параллельные направлениями R
В
до их пересечения (рис.44,б). Из подобия силового треугольника Oab и треугольника ВАК на чертеже находим искомые реакции В
/P = (
)/4;
→ В = (
)/4; В =
− (В =
−P/4; В = P/4. А = 3/4; А =
−(3/4)P; А = Пример 23. Определить графически опорные реакции рамы, показанной на рис. Рис. Решение Начинаем рассмотрение с части, на которую действуют только две силы, и по аксиоме 2 определяем линию действия рис. Рассматривая равновесие рамы в целом, приходим к заключению, что опорные реакции и R
В
должны составить пару, которая уравновесит приложенный к раме момент. Отсюда следует, что R
A
= В = М , при этом А = А = R
A
(
/2) МВ В = М.
A
, Y
A
, X
C
, Y
C
) и 4 − для ВС (X
B
, Y
B
, X
C
’,
Y
C
’), нона тело АС действуют три силы (P, R
A
, R
C
), а на ВС − только две (В, R
C
’), поэтому начинаем решение с рассмотрения тела ВС. Согласно второй аксиоме R
В
и действуют вдоль прямой, соединяющей точки их приложения, то есть по прямой ВС. Рассмотрим равновесие всей рамы АВС как твердого тела. На нее действует уравновешенная система трех непараллельных сил, которая в силу теоремы о трех силах должна быть сходящейся, поэтому реакция должна проходить через точку К, где пересекаются линии действия R
В
и R
C
’ риса. Строим силовой треугольник, проводя через начало и конец вектора Р прямые, параллельные направлениями R
В
до их пересечения (рис.44,б). Из подобия силового треугольника Oab и треугольника ВАК на чертеже находим искомые реакции В
/P = (
)/4;
→ В = (
)/4; В =
− (В =
−P/4; В = P/4. А = 3/4; А =
−(3/4)P; А = Пример 23. Определить графически опорные реакции рамы, показанной на рис. Рис. Решение Начинаем рассмотрение с части, на которую действуют только две силы, и по аксиоме 2 определяем линию действия рис. Рассматривая равновесие рамы в целом, приходим к заключению, что опорные реакции и R
В
должны составить пару, которая уравновесит приложенный к раме момент. Отсюда следует, что R
A
= В = М , при этом А = А = R
A
(
/2) МВ В = М.
Примечания к решению задач
1. При решении задач с большим числом нагрузок – например, при выполнении расчетно-проектировочных работ все вычисления удобнее делать в десятичных дробях. В этом случае все результаты и проверка будут получаться с некоторым приближением, но относительная погрешность независимо от величин определяемых реакций и даже при использовании самых скромных вычислительных средств не должна выходить за пределы 1%.
2. Если проверка не выполняется и не удается найти ошибку, то нужно, во- первых, постараться ее локализовать, то есть выяснить, какие из вычисленных реакций найдены неверно, и воспользоваться для их определения альтернативными уравнениями. Во-вторых, можно воспользоваться следующим приемом, который вытекает из свойств систем линейных алгебраических уравнений опорные реакции от заданной нагрузки равны сумме опорных реакций от каждой нагрузки в отдельности. Лекция 3. Трение скольжения и качения. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1
. Законы трения скольжения.
2
. Реакции шероховатых связей.
3
. Угол трения.
4
. Равновесие при наличии трения.
5
. Трение качения и верчения.
6
. Момент силы относительно центра как вектор.
7
. Момент пары сил как вектор.
8
. Момент силы относительно оси.
9
. Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.
10
. Приведение пространственной системы сил к данному центру.
11
. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.
12
. Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил. Трение покоя, скольжения. Прежде думали, что механизм трения несложен поверхность покрыта неровностями и трение есть результат подъёма скользящих частей на эти неровности но это неправильно, ведь тогда не было бы потерь энергии, а на самом деле энергия на трение тратится. Механизм потерь иной. И здесь крайне неожиданным оказывается, что эмпирически это трение можно приближенно описать простым законом. Сила нужная для того, чтобы преодолевать трение и тащить один предмет по поверхности другого, зависит от силы, направленной по нормали к поверхностям соприкосновения. Поверхность твёрдого тела обычно обладает неровностями. Например, даже у очень хорошо отшлифованных металлов в электронный микроскоп видны горы и впадины размером в 100-1000A. При сжатии тел соприкосновение происходит только в самых высоких местах и площадь реального контакта значительно меньше общей площади соприкасающихся поверхностей. Давление в местах соприкосновения может быть очень большими там возникает пластическая деформация. При этом площадь контакта увеличивается, а давление
1. При решении задач с большим числом нагрузок – например, при выполнении расчетно-проектировочных работ все вычисления удобнее делать в десятичных дробях. В этом случае все результаты и проверка будут получаться с некоторым приближением, но относительная погрешность независимо от величин определяемых реакций и даже при использовании самых скромных вычислительных средств не должна выходить за пределы 1%.
2. Если проверка не выполняется и не удается найти ошибку, то нужно, во- первых, постараться ее локализовать, то есть выяснить, какие из вычисленных реакций найдены неверно, и воспользоваться для их определения альтернативными уравнениями. Во-вторых, можно воспользоваться следующим приемом, который вытекает из свойств систем линейных алгебраических уравнений опорные реакции от заданной нагрузки равны сумме опорных реакций от каждой нагрузки в отдельности. Лекция 3. Трение скольжения и качения. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1
. Законы трения скольжения.
2
. Реакции шероховатых связей.
3
. Угол трения.
4
. Равновесие при наличии трения.
5
. Трение качения и верчения.
6
. Момент силы относительно центра как вектор.
7
. Момент пары сил как вектор.
8
. Момент силы относительно оси.
9
. Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.
10
. Приведение пространственной системы сил к данному центру.
11
. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.
12
. Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил. Трение покоя, скольжения. Прежде думали, что механизм трения несложен поверхность покрыта неровностями и трение есть результат подъёма скользящих частей на эти неровности но это неправильно, ведь тогда не было бы потерь энергии, а на самом деле энергия на трение тратится. Механизм потерь иной. И здесь крайне неожиданным оказывается, что эмпирически это трение можно приближенно описать простым законом. Сила нужная для того, чтобы преодолевать трение и тащить один предмет по поверхности другого, зависит от силы, направленной по нормали к поверхностям соприкосновения. Поверхность твёрдого тела обычно обладает неровностями. Например, даже у очень хорошо отшлифованных металлов в электронный микроскоп видны горы и впадины размером в 100-1000A. При сжатии тел соприкосновение происходит только в самых высоких местах и площадь реального контакта значительно меньше общей площади соприкасающихся поверхностей. Давление в местах соприкосновения может быть очень большими там возникает пластическая деформация. При этом площадь контакта увеличивается, а давление
падает. Так продолжается до тех пор, пока давление не достигнет определённого значения, при котором деформация прекращается. Поэтому площадь фактического контакта оказывается пропорциональной сжимающей силе. Вместе контакта действуют силы молекулярного сцепления (известно, например, что очень чистые и гладкие металлические поверхности прилипают друг к другу. Эта модель сил сухого трения (так называют трение между твёрдыми телами, по-видимому, близка к реальной ситуации в металлах. Если тело, например, просто лежит на горизонтальной поверхности, то сила трения на него не действует. Трение возникает, если попытаться сдвинуть тело, приложить к нему силу. Пока величина этой силы не превышает определённого значения, тело остаётся в покое и сила трения равна по величине и обратна по направлению приложенной силе. Затем начинается движение. Может показаться удивительным, но именно сила трения покоя разгоняет автомобиль. Ведь при движении автомобиля колеса не проскальзывают относительно дороги, и между шинами и поверхностью дороги возникает сила трения покоя. Как легко видеть, она направлена в сторону движения автомобиля. Величина этой силы не может превосходить максимального значения трения покоя. Поэтому если на скользкой дороге резко нажать на газ, то автомобиль начнет буксовать. А вот если нажать на тормоза, то вращение колёс прекратится, и автомобиль будет скользить по дороге. Сила трения изменит своё направление и начнёт тормозить автомобиль (рис. Рис. Сила трения при скольжении твёрдых тел зависит не только от свойств поверхностей и силы давления (это зависимость качественно такая же, как для трения покоя, но и от скорости движения. Часто с увеличением скорости сила трения сначала резко падает, а затем снова начинает возрастать. Эта важная особенность силы трения скольжения как рази объясняет, почему звучит скрипичная струна. Вначале между смычком и струной нет проскальзывания, и струна захватывается смычком. Когда сила трения покоя достигнет максимального значения, струна сорвется, и дальше она колеблется почти как свободная, затем снова захватывается смычком и т.д. Подобные, но уже вредные колебания могут возникнуть при обработке металла на токарном станке вследствие трения между снимаемой стружкой и резцом. И если смычок натирают канифолью, чтобы сделать зависимость силы трения от скорости более резкой, то при обработке металла приходится действовать наоборот (выбирать специальную форму резца, смазку и т.п.). Так что важно знать законы трения и уметь ими пользоваться. Кроме сухого трения существует ещё так называемое жидкое трение, возникающее при движении твёрдых тел в жидкостях и газах и связанное сих вязкостью. Силы жидкого трения пропорциональны скорости движения и обращаются в нуль, когда тело останавливается. Поэтому в жидкости можно
заставить тело двигаться, прикладывая даже очень маленькую силу. Например, тяжелую баржу на воде человек может привести в движение, отталкиваясь то дна шестом, а на земле такой груз ему, конечно, не сдвинуть. Эта важная особенность сил жидкого трения объясняет, например, тот факт, почему автомобиль заносит на мокрой дороге. Трение становится жидкими даже небольшие неровности дороги, создающие боковые силы, приводят к заносу автомобиля. Резюмируя вышесказанное можно заключить, что возникновение трения обусловлено, прежде всего, шероховатостью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и наличием сцепления у прижатых друг к другу тел. Изучение всех особенностей явления трения представляет собою довольно сложную физико-механическую проблему, рассмотрение которой выходит за рамки курса теоретической механики. В инженерных расчетах обычно исходят из ряда установленных опытным путем общих закономерностей, которые с достаточной для практики точностью отражают основные особенности явления трения. Эти закономерности, называемые законами трения скольжения при покое (законами Кулона, можно сформулировать следующим образом
1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения(или сила сцепления, величина которой может принимать любые значения от нуля до значения пр, называемого предельной силой трения. Силой трения скольжения
1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения(или сила сцепления, величина которой может принимать любые значения от нуля до значения пр, называемого предельной силой трения. Силой трения скольжения
1 2 3 4 5 6 7