Файл: Лекция Аксиомы статики. Связи и их реакции. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 19
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
(или просто силой трения называется составляющая силы реакции связи, которая лежит в касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел (рис. Рис. Сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие силы стремятся сдвинуть тело. В теоретической механике предполагается, что между поверхностями соприкасающихся тел нет смазывающего вещества. Сухим трением называется трение, когда между поверхностями соприкасающихся тел нет смазывающего вещества. Будем рассматривать два случая трения при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.
При покое сила трения зависит только от активных сил. При выбранном направлении касательной в точке соприкосновения поверхностей тел сила трения вычисляется по формуле Аналогично при выбранном направлении нормали нормальная реакция выражается через заданные силы При движении одного тела по поверхности другого сила трения является постоянной величиной.
2. Величина предельной силы трения равна произведению статического коэффициента трения на нормальное давление или нормальную реакцию Статический коэффициент трения — число отвлеченное 0< <1; он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния поверхностей (характер обработки, температура, влажность, смазка и т. п. Считается, что коэффициент трения не зависит от скорости движения.
3. Предельная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того чтобы сдвинуть, например кирпич, надо приложить одну и туже, силу, независимо, оттого, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой. Объединяя вместе первый и второй законы, получаем, что при равновесии сила трения покоя (сила сцепления) Реакции шероховатых связей. Угол трения. До сих пор при решении задач статики мы пренебрегали трением и считали поверхности связей гладкими, а их реакции направленными по нормалям к этим поверхностям. Реакция реальной (шероховатой) связи будет слагаться из двух составляющих из нормальной реакции и перпендикулярной к ней силы трения
. Следовательно, полная реакция будет отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от нуля до пр сила R будет меняться от N до пр, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некоторого предельного значения (рис. 3). Рис. Наибольший угол , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения. Из чертежа видно, что
Так как
, отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения При равновесии полная реакция, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равновесие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол . Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи вокруг направления нормальной реакции. Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силуР, образующую угол с нормалью (рис. 4), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Psin будет больше мы считаем N=Pcos , пренебрегая весом тела. Но неравенство
, в котором
, выполняется только прите. при
. Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол , меньший угла трения , тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или самоторможения тел. Рис. Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину. Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения. Равновесие при наличии трения. Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения пр При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющими N и пр, где Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо F
пр
величину и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины. Пример 1. Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии рис. Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a. К телу в точке С, лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила ив точке А, лежащей на расстоянии h от основания, горизонтальная сила . Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакции и силе трения . Линия действия силы неизвестна. Расстояние от точки С до линии действия силы обозначим x (
).
Рис. Составим три уравнения равновесия Согласно закону Кулона
, те.
. (1) Так как
, то
(2) Проанализируем полученные результаты Будем увеличивать силу . Если f, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, условие (1) превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к скольжению тела по поверхности. Если f>a/h, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины
/h
, условие (2) превратится в равенство. Величина x будет равна h. Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет. Пример 2. На какое максимальное расстояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис Если вес человека – Р, коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной – , между лестницей и полом – . Рис.
Рассматриваем равновесие лестницы с человеком. Показываем силу , нормальные реакции и и добавляем силы трения и Полагаем, что человек находится на расстоянии
, при большем значении которого начнётся движение лестницы. Составляем уравнения равновесия. Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получим Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая a=l, получим, после преобразований, и Рис. Заметим, что если равнодействующая всех активных сил (всех кроме реакций) направлена под углом (рис, то нормальная реакция
, а сила трения Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие
. или
. Итак как
, то. Значит угол должен быть больше угла . Следовательно, если сила действует внутри угла или конуса трения (
), то как бы не была велика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения. Мы рассмотрели скольжение твёрдых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской поверхности. Например, нежелательное проскальзывание временной передаче ремня по шкиву, или троса, каната, намотанного на неподвижный цилиндр. Пример 3. Пусть имеется нить, перекинутая через неподвижную цилиндрическую поверхность (рис. За счёт сил трения натяжение левого и правого концов этой нити будут различными. Рис. Рис.
Предположим, что нормальная реакция и сила трения распределяются равномерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесие участка нити длиной
. (рис. На левом конце этого участка натяжение , на правом. Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси Так как угол - малая величина, то полагаем С учётом этого из уравнений находим итак как
, имеем или
. Интегрируя, получим
. Или Этот результат называется формулой Эйлера. Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и
, а коэффициент трения f=0,2, то отношение натяжений
. А, обернув цилиндр один раз (
), то есть можно удержать грузна другом конце нити силой почтив три раза меньшей веса тела. Момент силы относительно центра как вектор. Чтобы перейти к решению задач статики для системы сил, как угодно расположенных в пространстве, оказывается необходимым несколько уточнить и расширить ряд введенных ранее понятий. Начнем с понятия о моменте силы. Рис.
1. Изображение момента вектором. Момент силы относительно центра О см. рис. 10) как характеристика ее вращательного эффекта определяется следующими тремя элементами
1) модулем момента, равным произведению модуля силы на плечо, те) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы и центр О
3) направлением поворота в этой плоскости. Когда все силы и центр О лежат водной плоскости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скалярную алгебраическую величину, равную
, где знак указывает направление поворота. Нов случае сил, произвольно расположенных в пространстве, плоскости поворота у разных сил будут разными и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости в пространстве можно задать, задав отрезок (вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Если одновременно модуль этого вектора выбрать равным модулю момента силы и условиться направлять этот вектор так,
чтобы его направление определяло направление поворота силы, то такой вектор полностью определит все три элемента, характеризующие момент данной силы относительно центра О. Поэтому в общем случае момент силы относительно центра О (рис.
10
) будем изображать приложенным в центре О вектором , равным по модулю в выбранном масштабе) произведению модуля силы на плечо h и перпендикулярным к плоскости ОАВ, проходящей через центр О и силу . Направлять вектор будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор будет одновременно характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление поворота в этой плоскости. Точка приложения вектора определяет положение центра момента.
2. Выражение момента силы с помощью векторного произведения. Рассмотрим векторное произведение векторов рис. 10). По определению,
, так как модуль вектора тоже равен 2 пл. Направлен вектор (
) перпендикулярно к плоскости ОАВ, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение если их отложить от одной точки) видно против хода часовой стрелки, те, также, как вектор . Следовательно, векторы
(
) и совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, те. оба эти вектора изображают одну и туже величину. Отсюда или
, где вектор называется радиусом-вектором точки А относительно центра О. Таким образом, момент силы относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора
, соединяющего центр Ос точкой приложения силы А, на саму силу. Этим выражением момента силы бывает удобно пользоваться при доказательстве некоторых теорем. Момент пары сил как вектор. Действие пары сил на тело характеризуется 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмотрении парне лежащих водной плоскости, для характеристики каждой из пар необходимо будет задать все эти три элемента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствующим образом, построенным вектором, а именно будем изображать момент пары вектором т или М, модуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, те. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 11). Рис. 11.
Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, те по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно Момент силы относительно оси Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси. Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z рис.
12). Рис. Пусть на это тело действует сила приложенная в точке А. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу на составляющие , параллельную оси, и
, лежащую в плоскости ху ( является одновременно проекцией силы на плоскости ху). Сила , направленная параллельно оси z, очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стремится сдвинуть тело вдоль оси z). Весь вращательный эффект, создаваемый силой , будет совпадать с вращательным эффектом ее составляющей
. Отсюда заключаем, что
, где символ обозначает момент силы относительно оси z. Для силы же
, лежащей в плоскости, перпендикулярной коси, вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки О, в которой ось z пересекается с плоскостью у. Следовательно, или, согласно предыдущему равенству, В результате приходим к следующему определению моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью. Рис.
Момент будем считать положительным, если с положительного конца оси z поворот, который сила , стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если походу часовой стрелки. Из чертежа (рис.13)
видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z. Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 13) надо
1) провести плоскость ху, перпендикулярную коси в любом месте
2) спроектировать силу на эту плоскость и вычислить величину ;
3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикулярна направление и найти его длину h;
4) вычислить произведение
;
5) определить знак момента. При вычислении моментов надо иметь ввиду следующие частные случаи
1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как
F
xy
=0).
2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как h = 0). Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат водной плоскости) Если сила перпендикулярна коси, то ее момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью. Пример 4. Определим моменты сил и относительно осей (рис. Рис. Моменты силы находятся просто
M
x
( )=
;
M
y
( )=0;
M
z
( Моменты сил и - посложнее. В тех случаях, когда вектор силы направлен под углом к осям, полезно разложить вектор силы на составляющие параллельные осями, затем, находить сумму моментов этих составляющих. Так моменты силы :
;
; И силы :
;
; линия действия силы пересекает ось z). Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси. Пусть на тело действует приложенная в точке А сила (рис. 15). Проведем какую-нибудь ось z и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы относительно центра О будет изображаться вектором перпендикулярным плоскости ОАВ, причем по модулю Рис. Проведем теперь через любую точку на оси z плоскость ху, перпендикулярную коси проектируя силу на эту плоскость, найдем Но треугольник О
1
А
1
В
1
представляет собою проекцию треугольника ОАВ на плоскость ху. Угол между плоскостями этих треугольников равен углу между перпендикулярами к плоскостям, те. равен . Тогда, по известной геометрической формуле, Умножая обе части этого равенства на 2 и замечая, что удвоенные пощади треугольников
О
1
А
1
В
1
и ОАВ равны соответственно и
, найдем окончательно
. Так как произведение дает проекцию вектора на ось z, то равенство можно еще представить в виде или В результате мы доказали, что между моментом силы относительно оси и ее моментом относительно какого-нибудь центра, лежащего на этой оси, существует следующая зависимость момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси. Приведение пространственной системы сил к данному центру Полученные выше результаты позволяют решить задачу о приведении любой системы сил к данному центру. Эта задача, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы из точки А (риса) в точку О прикладываем в точке О силы и
. Тогда сила окажется приложенной в точке О и к ней будет присоединена пара (
) с моментом , что можно показать еще так, как на рис. 43, б. При этом Рис. Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил , ,…, (риса. Выберем произвольную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны
, Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в той же точке. При этом или,
. Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или, Как ив случае плоской системы, величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы величина
, равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы относительно этого центра. Рис. Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 17, б. Векторы и обычно определяют аналитически, те. по их проекциям на оси координат. Выражения для R
x
, R
y
, R
z нам известны. Проекции вектора на оси координат будем обозначать M
x
, M
y
, M
z
. По теореме о проекциях суммы векторов на ось будет или,
. Аналогично находятся величины M
y и M
z
Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы При этом главный вектор пространственной системы сил R
0
= отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен Главный момент пространственной системы сил M
0
=
ΣM
0
(P
i
)
− это вектор, модуль которого находится аналогично где M
x
, M
y
, M
z
− суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей. В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил
1) R
0
= 0, M
0
= 0
− система сил находится в равновесии
2) R
0
= 0, M
0
≠0 − система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения
3) R
0
≠0, M
0
= 0
− система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R
0
, линия действия которой проходит через центр приведения R = R
0
, R
R
0
;
4) R
0
≠0, M
0
≠0 и R
0
⊥ M
0
− система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R
0
, ее линия действия проходит на расстоянии d =
|M
0
|/ от центра приведения.
5) R
0
≠ 0, M
0
≠0 и главный вектор R
0
неперпендикулярен главному моменту M
0
− система эквивалентна скрещивающимся силам или
1 2 3 4 5 6 7
2. Величина предельной силы трения равна произведению статического коэффициента трения на нормальное давление или нормальную реакцию Статический коэффициент трения — число отвлеченное 0< <1; он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния поверхностей (характер обработки, температура, влажность, смазка и т. п. Считается, что коэффициент трения не зависит от скорости движения.
3. Предельная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того чтобы сдвинуть, например кирпич, надо приложить одну и туже, силу, независимо, оттого, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой. Объединяя вместе первый и второй законы, получаем, что при равновесии сила трения покоя (сила сцепления) Реакции шероховатых связей. Угол трения. До сих пор при решении задач статики мы пренебрегали трением и считали поверхности связей гладкими, а их реакции направленными по нормалям к этим поверхностям. Реакция реальной (шероховатой) связи будет слагаться из двух составляющих из нормальной реакции и перпендикулярной к ней силы трения
. Следовательно, полная реакция будет отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от нуля до пр сила R будет меняться от N до пр, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некоторого предельного значения (рис. 3). Рис. Наибольший угол , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения. Из чертежа видно, что
, отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения При равновесии полная реакция, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равновесие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол . Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи вокруг направления нормальной реакции. Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силуР, образующую угол с нормалью (рис. 4), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Psin будет больше мы считаем N=Pcos , пренебрегая весом тела. Но неравенство
, в котором
, выполняется только прите. при
. Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол , меньший угла трения , тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или самоторможения тел. Рис. Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину. Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения. Равновесие при наличии трения. Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения пр При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющими N и пр, где Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо F
пр
величину и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины. Пример 1. Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии рис. Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a. К телу в точке С, лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила ив точке А, лежащей на расстоянии h от основания, горизонтальная сила . Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакции и силе трения . Линия действия силы неизвестна. Расстояние от точки С до линии действия силы обозначим x (
).
, те.
. (1) Так как
, то
(2) Проанализируем полученные результаты Будем увеличивать силу . Если f, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, условие (1) превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к скольжению тела по поверхности. Если f>a/h, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины
/h
, условие (2) превратится в равенство. Величина x будет равна h. Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет. Пример 2. На какое максимальное расстояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис Если вес человека – Р, коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной – , между лестницей и полом – . Рис.
, при большем значении которого начнётся движение лестницы. Составляем уравнения равновесия. Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получим Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая a=l, получим, после преобразований, и Рис. Заметим, что если равнодействующая всех активных сил (всех кроме реакций) направлена под углом (рис, то нормальная реакция
, а сила трения Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие
. или
. Итак как
, то. Значит угол должен быть больше угла . Следовательно, если сила действует внутри угла или конуса трения (
), то как бы не была велика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения. Мы рассмотрели скольжение твёрдых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской поверхности. Например, нежелательное проскальзывание временной передаче ремня по шкиву, или троса, каната, намотанного на неподвижный цилиндр. Пример 3. Пусть имеется нить, перекинутая через неподвижную цилиндрическую поверхность (рис. За счёт сил трения натяжение левого и правого концов этой нити будут различными. Рис. Рис.
. (рис. На левом конце этого участка натяжение , на правом. Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси Так как угол - малая величина, то полагаем С учётом этого из уравнений находим итак как
, имеем или
. Интегрируя, получим
. Или Этот результат называется формулой Эйлера. Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и
, а коэффициент трения f=0,2, то отношение натяжений
. А, обернув цилиндр один раз (
), то есть можно удержать грузна другом конце нити силой почтив три раза меньшей веса тела. Момент силы относительно центра как вектор. Чтобы перейти к решению задач статики для системы сил, как угодно расположенных в пространстве, оказывается необходимым несколько уточнить и расширить ряд введенных ранее понятий. Начнем с понятия о моменте силы. Рис.
1. Изображение момента вектором. Момент силы относительно центра О см. рис. 10) как характеристика ее вращательного эффекта определяется следующими тремя элементами
1) модулем момента, равным произведению модуля силы на плечо, те) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы и центр О
3) направлением поворота в этой плоскости. Когда все силы и центр О лежат водной плоскости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скалярную алгебраическую величину, равную
, где знак указывает направление поворота. Нов случае сил, произвольно расположенных в пространстве, плоскости поворота у разных сил будут разными и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости в пространстве можно задать, задав отрезок (вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Если одновременно модуль этого вектора выбрать равным модулю момента силы и условиться направлять этот вектор так,
10
) будем изображать приложенным в центре О вектором , равным по модулю в выбранном масштабе) произведению модуля силы на плечо h и перпендикулярным к плоскости ОАВ, проходящей через центр О и силу . Направлять вектор будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор будет одновременно характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление поворота в этой плоскости. Точка приложения вектора определяет положение центра момента.
2. Выражение момента силы с помощью векторного произведения. Рассмотрим векторное произведение векторов рис. 10). По определению,
, так как модуль вектора тоже равен 2 пл. Направлен вектор (
) перпендикулярно к плоскости ОАВ, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение если их отложить от одной точки) видно против хода часовой стрелки, те, также, как вектор . Следовательно, векторы
(
) и совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, те. оба эти вектора изображают одну и туже величину. Отсюда или
, где вектор называется радиусом-вектором точки А относительно центра О. Таким образом, момент силы относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора
, соединяющего центр Ос точкой приложения силы А, на саму силу. Этим выражением момента силы бывает удобно пользоваться при доказательстве некоторых теорем. Момент пары сил как вектор. Действие пары сил на тело характеризуется 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмотрении парне лежащих водной плоскости, для характеристики каждой из пар необходимо будет задать все эти три элемента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствующим образом, построенным вектором, а именно будем изображать момент пары вектором т или М, модуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, те. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 11). Рис. 11.
12). Рис. Пусть на это тело действует сила приложенная в точке А. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу на составляющие , параллельную оси, и
, лежащую в плоскости ху ( является одновременно проекцией силы на плоскости ху). Сила , направленная параллельно оси z, очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стремится сдвинуть тело вдоль оси z). Весь вращательный эффект, создаваемый силой , будет совпадать с вращательным эффектом ее составляющей
. Отсюда заключаем, что
, где символ обозначает момент силы относительно оси z. Для силы же
, лежащей в плоскости, перпендикулярной коси, вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки О, в которой ось z пересекается с плоскостью у. Следовательно, или, согласно предыдущему равенству, В результате приходим к следующему определению моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью. Рис.
видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z. Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 13) надо
1) провести плоскость ху, перпендикулярную коси в любом месте
2) спроектировать силу на эту плоскость и вычислить величину ;
3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикулярна направление и найти его длину h;
4) вычислить произведение
;
5) определить знак момента. При вычислении моментов надо иметь ввиду следующие частные случаи
1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как
F
xy
=0).
2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как h = 0). Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат водной плоскости) Если сила перпендикулярна коси, то ее момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью. Пример 4. Определим моменты сил и относительно осей (рис. Рис. Моменты силы находятся просто
M
x
( )=
;
M
y
( )=0;
M
z
( Моменты сил и - посложнее. В тех случаях, когда вектор силы направлен под углом к осям, полезно разложить вектор силы на составляющие параллельные осями, затем, находить сумму моментов этих составляющих. Так моменты силы :
;
; И силы :
;
; линия действия силы пересекает ось z). Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси. Пусть на тело действует приложенная в точке А сила (рис. 15). Проведем какую-нибудь ось z и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы относительно центра О будет изображаться вектором перпендикулярным плоскости ОАВ, причем по модулю Рис. Проведем теперь через любую точку на оси z плоскость ху, перпендикулярную коси проектируя силу на эту плоскость, найдем Но треугольник О
1
А
1
В
1
представляет собою проекцию треугольника ОАВ на плоскость ху. Угол между плоскостями этих треугольников равен углу между перпендикулярами к плоскостям, те. равен . Тогда, по известной геометрической формуле, Умножая обе части этого равенства на 2 и замечая, что удвоенные пощади треугольников
О
1
А
1
В
1
и ОАВ равны соответственно и
, найдем окончательно
. Так как произведение дает проекцию вектора на ось z, то равенство можно еще представить в виде или В результате мы доказали, что между моментом силы относительно оси и ее моментом относительно какого-нибудь центра, лежащего на этой оси, существует следующая зависимость момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси. Приведение пространственной системы сил к данному центру Полученные выше результаты позволяют решить задачу о приведении любой системы сил к данному центру. Эта задача, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы из точки А (риса) в точку О прикладываем в точке О силы и
. Тогда сила окажется приложенной в точке О и к ней будет присоединена пара (
) с моментом , что можно показать еще так, как на рис. 43, б. При этом Рис. Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил , ,…, (риса. Выберем произвольную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны
, Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в той же точке. При этом или,
. Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или, Как ив случае плоской системы, величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы величина
, равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы относительно этого центра. Рис. Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 17, б. Векторы и обычно определяют аналитически, те. по их проекциям на оси координат. Выражения для R
x
, R
y
, R
z нам известны. Проекции вектора на оси координат будем обозначать M
x
, M
y
, M
z
. По теореме о проекциях суммы векторов на ось будет или,
. Аналогично находятся величины M
y и M
z
0
= отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен Главный момент пространственной системы сил M
0
=
ΣM
0
(P
i
)
− это вектор, модуль которого находится аналогично где M
x
, M
y
, M
z
− суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей. В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил
1) R
0
= 0, M
0
= 0
− система сил находится в равновесии
2) R
0
= 0, M
0
≠0 − система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения
3) R
0
≠0, M
0
= 0
− система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R
0
, линия действия которой проходит через центр приведения R = R
0
, R
R
0
;
4) R
0
≠0, M
0
≠0 и R
0
⊥ M
0
− система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R
0
, ее линия действия проходит на расстоянии d =
|M
0
|/ от центра приведения.
5) R
0
≠ 0, M
0
≠0 и главный вектор R
0
неперпендикулярен главному моменту M
0
− система эквивалентна скрещивающимся силам или
1 2 3 4 5 6 7
динаме. При этом скрещивающимисяназываются силы, которые непараллельны и не лежат водной плоскости, а динамойназывается система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.
Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений. Примечание. Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона. Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).
Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Произвольную пространственную систему сил, как и плоскую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить одной результирующей силой и
парой с моментом
. Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и о 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, те. когда R
x
= R
y
= R
z
= 0 и M
x
= M
y
= M
z
= 0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям
ΣX
i
= 0;
ΣM
x
(P
i
) = 0;
ΣY
i
= 0;
ΣM
y
(P
i
) = 0;
ΣZ
i
= 0;
ΣM
z
(P
i
) = 0. Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю. В частных случаях системы сходящихся или параллельных сил эти уравнения будут линейно зависимы, и только три уравнения из шести будут линейно независимыми. Например, уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oz, имеют вид
ΣZ
i
= 0;
ΣM
x
(P
i
) = 0;
ΣM
y
(P
i
) = 0. Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил. Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины. Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил. Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат. В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси. В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси, а затем воспользоваться теоремой Вариньона. Пример 5. Рама АВ (рис) удерживается в равновесии шарниром Аи стержнем
ВС. На краю рамы находится груз весом Р. Определим реакции шарнира и усилие в стержне.
. Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и о 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, те. когда R
x
= R
y
= R
z
= 0 и M
x
= M
y
= M
z
= 0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям
ΣX
i
= 0;
ΣM
x
(P
i
) = 0;
ΣY
i
= 0;
ΣM
y
(P
i
) = 0;
ΣZ
i
= 0;
ΣM
z
(P
i
) = 0. Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю. В частных случаях системы сходящихся или параллельных сил эти уравнения будут линейно зависимы, и только три уравнения из шести будут линейно независимыми. Например, уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oz, имеют вид
ΣZ
i
= 0;
ΣM
x
(P
i
) = 0;
ΣM
y
(P
i
) = 0. Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил. Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины. Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил. Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат. В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси. В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси, а затем воспользоваться теоремой Вариньона. Пример 5. Рама АВ (рис) удерживается в равновесии шарниром Аи стержнем
ВС. На краю рамы находится груз весом Р. Определим реакции шарнира и усилие в стержне.
Рис. Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом. Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на не реакции связей и вес груза Р. Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости. Желательно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неизвестной силе. Рекомендуется составлять уравнения моментов относительно трёх точек, точек пересечения линий действия неизвестных сил. В нашей задаче это точка А, где приложены неизвестные и ; точка С, где пересекаются линии действия неизвестных сил и ; точка D – точка пересечения линий действия сил и . Составим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС. И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное замечание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекомендуется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две и такие, что модули их Составляем уравнения Из второго уравнения находим Из третьего И из первого Так как получилось S<0, то стержень ВС будет сжат. Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в горизонтальном положении двумя стержнями СЕ и С, прикреплёнными к стене в точке Е. Стержни одинаковой длины, AB=2a, EO=a. Определим усилия в стержнях и реакции петель Аи В.
Рис. Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис. Реакции петель принято показывать двумя силами перпендикулярными оси петли Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть. Какие уравнения составлять – надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных. Составим такие уравнения Из уравнения (1) получим S
1
=S
2
. Тогда из (4): Из (3): и, по (5),
. Значит Из уравнения (6), т.к. S
1
=S
2
, следует Z
A
=Z
B
. Тогда по (2) Z
A
=Z
B
=P/4. Из треугольника
, где
, следует
, Поэтому
Y
A
=Y
B
=0,25P, Z
A
=Z
B
0,25P. Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и посмотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций Задача решена правильно. Лекция 4. Центр тяжести. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Центр тяжести твердого тела.
2. Координаты центров тяжести неоднородных тел.
3. Координаты центров тяжести однородных тел.
4. Способы определения координат центров тяжести.
1
=S
2
. Тогда из (4): Из (3): и, по (5),
. Значит Из уравнения (6), т.к. S
1
=S
2
, следует Z
A
=Z
B
. Тогда по (2) Z
A
=Z
B
=P/4. Из треугольника
, где
, следует
, Поэтому
Y
A
=Y
B
=0,25P, Z
A
=Z
B
0,25P. Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и посмотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций Задача решена правильно. Лекция 4. Центр тяжести. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы
1. Центр тяжести твердого тела.
2. Координаты центров тяжести неоднородных тел.
3. Координаты центров тяжести однородных тел.
4. Способы определения координат центров тяжести.
5. Центры тяжести некоторых однородных тел. Приведение двух параллельных сил. Входе рассмотрения такой системы сил возможны три следующих случая приведения.
1. Система двух коллинеарных сил Рассмотрим систему двух параллельных и направленных в одну сторону сил P и Q, приложенных в точках Аи В. Будем считать, что силы перпендикулярны к этому отрезку (риса. Выберем в качестве центра приведения точку С, принадлежащую отрезку
АВ и удовлетворяющую условию
АС/СВ = Q/P. (1) Главный вектор системы R
C
= P + Q по модулю равен сумме этих сил R
C
= P + Q. Главный момент относительно центра С с учетом (1) равен нулю
M
C
=P
∙АС−Q∙СВ=0. Таким образом, в результате приведения мы получили R
C
≠ 0, M
C
= 0. Это означает, что главный вектор эквивалентен равнодействующей, проходящей через центр приведения, то есть Равнодействующая коллинеарных сил равна по модулю их сумме, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внутренним образом. Отметим, что положение точки Сне изменится, если силы Р и Q повернуть на угол α. Точка С, обладающая таким свойством называется центром параллельных сил.
2. Система двух антиколлинеарных и неравных по модулю сил Пусть силы P и Q, приложенные в точках Аи В, параллельны, направлены в противоположные стороны и по модулю неравны (рис.1,б). Выберем в качестве центра приведения точку С, удовлетворяющую по- прежнему соотношению (1) и лежащую на той же прямой, но за пределами отрезка АВ. Главный вектор этой системы R
C
= P + Q по модулю теперь будет равен разности модулей векторов R
C
=Q
−
P. Главный момент относительно центра С по-прежнему равен нулю АС − СВ, поэтому Равнодействующая антиколлинеарных и неравных по модулю сил равна их разности, направлена в сторону большей силы, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внешним образом.
Рис.
3. Система двух антиколлинеарных и равных по модулю сил Возьмем за исходный предыдущий случай приведения. Зафиксируем силу Р, а силу Q устремим по модулю к силе Р. Тогда при Р в формуле (1) отношение АС/СВ → 1. Это означает, что АС
→ СВ , то есть расстояние АС →∞. При этом модуль главного вектора R
C
→ 0, а модуль главного момента не зависит от положения центра приведения и остается равным первоначальному значению
M
C
= АС − СВ = АС − СВ) = А. Итак, в пределе мы получили систему сил, для которой R
C
= 0, M
C
≠0, а центр приведения удален в бесконечность, которую нельзя заменить равнодействующей. В этой системе нетрудно узнать парусил, поэтому пара сил равнодействующей не имеет Центр системы параллельных сил. Рассмотрим систему n сил P
i
, приложенных в точках A
i
(x
i
, y
i
, z
i
) и параллельных оси Ov c ортом l (рис. Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R. Определим координаты центра C(x
c
, y
c
, z
c
) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующей этой системы. Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой
M
0
(R) =
ΣM
0
(P
i
).
3. Система двух антиколлинеарных и равных по модулю сил Возьмем за исходный предыдущий случай приведения. Зафиксируем силу Р, а силу Q устремим по модулю к силе Р. Тогда при Р в формуле (1) отношение АС/СВ → 1. Это означает, что АС
→ СВ , то есть расстояние АС →∞. При этом модуль главного вектора R
C
→ 0, а модуль главного момента не зависит от положения центра приведения и остается равным первоначальному значению
M
C
= АС − СВ = АС − СВ) = А. Итак, в пределе мы получили систему сил, для которой R
C
= 0, M
C
≠0, а центр приведения удален в бесконечность, которую нельзя заменить равнодействующей. В этой системе нетрудно узнать парусил, поэтому пара сил равнодействующей не имеет Центр системы параллельных сил. Рассмотрим систему n сил P
i
, приложенных в точках A
i
(x
i
, y
i
, z
i
) и параллельных оси Ov c ортом l (рис. Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R. Определим координаты центра C(x
c
, y
c
, z
c
) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующей этой системы. Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой
M
0
(R) =
ΣM
0
(P
i
).
Рис.
Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому ММ. Учитывая, что R = R
v
∙l, аи воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим
r
c
×R
v
∙l = Σ(r
i
×P
vi
∙l),
r
c
∙R
v
×l = Σ(r
i
∙P
vi
×l) = Σ(r
i
∙P
vi
)
×l, или [r
c
R
v
− Σ(r
i
P
vi
)]
×l = 0. Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = ΣP
i
, отсюда получим r
c
= (
ΣP
i
r
i
)/(
ΣP
i
). Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил
x
c
= (
ΣP
i
x
i
)/(
ΣP
i
);
y
c
= (
ΣP
i
y
i
)/(
ΣP
i
); (2)
z
c
= (
ΣP
i
z
i
)/(
ΣP
i
). Центр тяжести тел. Координаты центров тяжести однородного тела Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит. Если разбить тело на элементарные части объемом ∆V
i
, тона каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆P
i
, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис, и к ней применимы все выводы предыдущей главы.
Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому ММ. Учитывая, что R = R
v
∙l, аи воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим
r
c
×R
v
∙l = Σ(r
i
×P
vi
∙l),
r
c
∙R
v
×l = Σ(r
i
∙P
vi
×l) = Σ(r
i
∙P
vi
)
×l, или [r
c
R
v
− Σ(r
i
P
vi
)]
×l = 0. Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = ΣP
i
, отсюда получим r
c
= (
ΣP
i
r
i
)/(
ΣP
i
). Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил
x
c
= (
ΣP
i
x
i
)/(
ΣP
i
);
y
c
= (
ΣP
i
y
i
)/(
ΣP
i
); (2)
z
c
= (
ΣP
i
z
i
)/(
ΣP
i
). Центр тяжести тел. Координаты центров тяжести однородного тела Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит. Если разбить тело на элементарные части объемом ∆V
i
, тона каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆P
i
, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис, и к ней применимы все выводы предыдущей главы.
Рис. Определение. Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела. Напомним, что удельным весом элементарной части тела называется отношение ее веса к объему ∆V
i
:
γ
i
=
∆P
i
/
∆V
i
. Для однородного тела эта величина является постоянной γ
i
=
γ = P/V. Подставляя в (2) ∆P
i
=
γ
i вместо P
i
, учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменательна, получим выражения координат центра тяжести однородного тела
x
c
= (
Σ∆V
i
∙x
i
)/(
Σ∆V
i
);
y
c
= (
Σ∆V
i
∙y
i
)/(
Σ∆V
i
); (3)
z
c
= (
Σ∆V
i
∙z
i
)/(
Σ∆V
i
). При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости. Если оси хи у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами
. И координата побудет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам (3), окажутся равными нулю. Аналогично доказывается и третья теорема.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке. И ещё несколько замечаний. Первое Если тело можно разделить на части, у которых известны веси положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (3) P
i
– определять как вес соответствующей части и
– как координаты её центра тяжести.
i
:
γ
i
=
∆P
i
/
∆V
i
. Для однородного тела эта величина является постоянной γ
i
=
γ = P/V. Подставляя в (2) ∆P
i
=
γ
i вместо P
i
, учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменательна, получим выражения координат центра тяжести однородного тела
x
c
= (
Σ∆V
i
∙x
i
)/(
Σ∆V
i
);
y
c
= (
Σ∆V
i
∙y
i
)/(
Σ∆V
i
); (3)
z
c
= (
Σ∆V
i
∙z
i
)/(
Σ∆V
i
). При определении центра тяжести полезны несколько теорем.
1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости. Если оси хи у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами
. И координата побудет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.
2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам (3), окажутся равными нулю. Аналогично доказывается и третья теорема.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке. И ещё несколько замечаний. Первое Если тело можно разделить на части, у которых известны веси положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (3) P
i
– определять как вес соответствующей части и
– как координаты её центра тяжести.
Второе Если тело однородное, то вес отдельной части его
, где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а V
i
- объём этой части тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например, И аналогично, где
- объём всего тела. Третье замечание Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t, лежащей в плоскости Oxy. Подставляя в (3) ∆V
i
= t
∙
∆F
i
, получим координаты центра тяжести однородной пластинки
x
c
= (
Σ∆F
i
∙x
i
) / (
Σ∆F
i
);
y
c
= (
Σ∆F
i
∙y
i
) / (
Σ∆F
i
).
z
c
= (
Σ∆F
i
∙z
i
) / (
Σ∆F
i
). где
– координаты центра тяжести отдельных пластин
– общая площадь тела.
Четвёртое замечание Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем ∆V
i
= a
∙∆L
i
, поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны
x
c
= (
Σ∆L
i
∙x
i
)/(
Σ∆L
i
);
y
c
= (
Σ∆L
i
∙y
i
)/(
Σ∆L
i
); (4)
z
c
= (
Σ∆L
i
∙z
i
)/(
Σ∆L
i
). где
– координаты центра тяжести го участка Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца. Примечание. В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением. Координаты центров тяжести неоднородных тел Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела (рис) в выбранной системе отсчета определяются следующим образом Рис.
, где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а V
i
- объём этой части тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например, И аналогично, где
- объём всего тела. Третье замечание Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t, лежащей в плоскости Oxy. Подставляя в (3) ∆V
i
= t
∙
∆F
i
, получим координаты центра тяжести однородной пластинки
x
c
= (
Σ∆F
i
∙x
i
) / (
Σ∆F
i
);
y
c
= (
Σ∆F
i
∙y
i
) / (
Σ∆F
i
).
z
c
= (
Σ∆F
i
∙z
i
) / (
Σ∆F
i
). где
– координаты центра тяжести отдельных пластин
– общая площадь тела.
Четвёртое замечание Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем ∆V
i
= a
∙∆L
i
, поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны
x
c
= (
Σ∆L
i
∙x
i
)/(
Σ∆L
i
);
y
c
= (
Σ∆L
i
∙y
i
)/(
Σ∆L
i
); (4)
z
c
= (
Σ∆L
i
∙z
i
)/(
Σ∆L
i
). где
– координаты центра тяжести го участка Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца. Примечание. В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением. Координаты центров тяжести неоднородных тел Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела (рис) в выбранной системе отсчета определяются следующим образом Рис.
где
- вес единицы объема тела (удельный вес)
- вес всего тела. Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность (рис, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом Рис. где
- вес единицы площади тела,
- вес всего тела. Если твердое тело представляет собой неоднородную линию (рис, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом Рис.
- вес единицы объема тела (удельный вес)
- вес всего тела. Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность (рис, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом Рис. где
- вес единицы площади тела,
- вес всего тела. Если твердое тело представляет собой неоднородную линию (рис, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом Рис.
где
- вес единицы длины тела,
- вес всего тела. Способы определения координат центра тяжести. Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии. Рис.
2. Разбиение Тело разбивается наконечное число частей (рис, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны. Рис.
S=S
1
+S
2 Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения рис. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью и площади вырезанной части S
2 Рис
- вес единицы длины тела,
- вес всего тела. Способы определения координат центра тяжести. Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии. Рис.
2. Разбиение Тело разбивается наконечное число частей (рис, для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны. Рис.
S=S
1
+S
2 Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения рис. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью и площади вырезанной части S
2 Рис
Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы. Центры тяжести некоторых однородных тел.
1) Центр тяжести дуги окружности Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом
. В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10). Рис. Найдем координату по формуле
. Для этого выделим на дуге
АВ элемент ММ длиною
, положение которого определяется углом . Координатах элемента ММ будет
. Подставляя эти значениях и dl и имея ввиду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим где L - длина дуги АВ, равная Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном где угол измеряется в радианах.
2) Центр тяжести площади треугольника Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy, координаты вершин которого известны A
i
(x
i
,y
i
), (i =
1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А
1
А
2
, придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане
А
3
М
3 рис
1) Центр тяжести дуги окружности Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом
. В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10). Рис. Найдем координату по формуле
. Для этого выделим на дуге
АВ элемент ММ длиною
, положение которого определяется углом . Координатах элемента ММ будет
. Подставляя эти значениях и dl и имея ввиду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим где L - длина дуги АВ, равная Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном где угол измеряется в радианах.
2) Центр тяжести площади треугольника Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy, координаты вершин которого известны A
i
(x
i
,y
i
), (i =
1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А
1
А
2
, придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане
А
3
М
3 рис
Рис. Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А
2
А
3
, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А
1
М
1
. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны. В частности, для медианы А
1
М
1
получим, учитывая, что координаты точки М
− это среднее арифметическое координат вершин Аи А
:
x
c
= x
1
+ (М x
1
) = x
1
+ (2/3)
∙[(x
2
+ x
3
)/2
−x
1
] = (x
1
+ x
2
+x
3
)/3. Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин
x
c
=(1/3)
Σx
i
; y
c
=(1/3)
Σy
i
3) Центр тяжести площади кругового сектора Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox рис) . Очевидно, что y
c
= 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле Рис. Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом dφ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равными высотой R. Площадь такого треугольника dF=(1/2)R
2
∙dφ, а его центр тяжести
2
А
3
, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А
1
М
1
. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны. В частности, для медианы А
1
М
1
получим, учитывая, что координаты точки М
− это среднее арифметическое координат вершин Аи А
:
x
c
= x
1
+ (М x
1
) = x
1
+ (2/3)
∙[(x
2
+ x
3
)/2
−x
1
] = (x
1
+ x
2
+x
3
)/3. Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин
x
c
=(1/3)
Σx
i
; y
c
=(1/3)
Σy
i
3) Центр тяжести площади кругового сектора Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox рис) . Очевидно, что y
c
= 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле Рис. Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом dφ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равными высотой R. Площадь такого треугольника dF=(1/2)R
2
∙dφ, а его центр тяжести
находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR
2
, получим С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга. Подставляя в (2) α = π/2, получим x
c
= (4R)/(3
π) ≅ 0,4R . Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13. Рис. Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их
Объёмы их Поэтому координаты центра тяжести тела Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис. Рис.
2
, получим С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга. Подставляя в (2) α = π/2, получим x
c
= (4R)/(3
π) ≅ 0,4R . Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13. Рис. Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их
Объёмы их Поэтому координаты центра тяжести тела Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис. Рис.
Координаты центров тяжести
0. Площади Поэтому Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис. Найдем центр тяжести листа. Рис. В этой задаче удобнее разделить тело на две части большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ. Пример 4. Проволочная скобка (рис) состоит из трёх участков одинаковой длины l. Рис. Координаты центров тяжести участков Поэтому координаты центра тяжести всей скобки
0. Площади Поэтому Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис. Найдем центр тяжести листа. Рис. В этой задаче удобнее разделить тело на две части большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ. Пример 4. Проволочная скобка (рис) состоит из трёх участков одинаковой длины l. Рис. Координаты центров тяжести участков Поэтому координаты центра тяжести всей скобки
Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис. Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес γ связаны соотношением γ= ρg , где g − ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем. Рис. Термин линейная или погонная плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня. Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим где длина го стержня фермы, а x
i
, y
i
− координаты его центра тяжести. Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней. Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней. Первая группа состоит из первого стержня, для нее L
1
=4 мм м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L
2
= 20 мм м. Координаты центра тяжести фермы находим по формуле
x
c
=(L
1
∙x
1
+ L
2
∙x
2
)/(L
1
+ L
2
)=(4∙0 + 20∙3)/24=5/2 мм. Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей Си Си делит отрезок С
1
С
2 в отношении С
1
С/СС
2
=(x
c
−
x
1
)/(x
2
− x
c
)=L
2
/ L
1
=2,5/0,5.
i
, y
i
− координаты его центра тяжести. Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней. Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней. Первая группа состоит из первого стержня, для нее L
1
=4 мм м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L
2
= 20 мм м. Координаты центра тяжести фермы находим по формуле
x
c
=(L
1
∙x
1
+ L
2
∙x
2
)/(L
1
+ L
2
)=(4∙0 + 20∙3)/24=5/2 мм. Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей Си Си делит отрезок С
1
С
2 в отношении С
1
С/СС
2
=(x
c
−
x
1
)/(x
2
− x
c
)=L
2
/ L
1
=2,5/0,5.
1 2 3 4 5 6 7