Добавлен: 02.02.2019
Просмотров: 5177
Скачиваний: 24
14
3
12
=
a
,
5
1
0
)
1
(
5
1
1
0
5
12
−
=
⋅
−
−
⋅
=
−
=
M
5
)
5
(
1
)
1
(
12
2
1
12
=
−
⋅
−
=
−
=
+
M
A
,
4
13
=
a
,
17
1
2
)
3
(
5
3
1
2
5
13
−
=
⋅
−
−
⋅
=
−
=
M
,
17
)
1
(
13
3
1
13
−
=
−
=
+
M
A
.
Лаплас
теоремасы.
)
(
ij
a
A
=
(
)
n
j
i
,...,
2
,
1
,
=
квадрат
матрицаның
∆
анықтауышы
оның
кез
келген
жол
элементтерін сəйкес алгебралық толықтауыштарға көбейтіп
қосқанға тең:
in
in
i
i
i
i
A
a
A
a
A
a
+
+
+
=
∆
...
2
2
1
1
- бұл анықтауыштың i–жатық жолы бойынша жіктелініп есептелуі.
nj
nj
j
j
j
j
A
a
A
a
A
a
+
+
+
=
∆
...
2
2
1
1
- бұл анықтауыштың j–тік жолы бойынша жіктелініп есептелуі.
Алдыңғы
мысалдағы
−
−
=
1
3
1
0
2
5
4
3
1
A
матрицасының
анықтауышын бірінші жатық жолы бойынша жіктеп есептейік:
55
)
17
(
4
5
3
)
2
(
1
4
3
1
1
3
1
0
2
5
4
3
1
13
12
11
−
=
−
⋅
+
⋅
+
−
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
−
A
A
A
,
мұндағы алгебралық толықтауыштардың дайын мəндерін алдыңғы
мысалдан алдық.
Лаплас теоремасы n-ретті анықтауыш есептеуді (n-1)-ретті
анықтауыш есептеуге келтіріледі. Сонымен, кез келген n-ретті
(n>3)
анықтауышты дəрежесін төмендету арқылы екінші ретті
анықтауышты есептеуге келтіруге болады екен.
Енді анықтауыш қасиеттерін қарастырайық.
15
1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сəкес тік
жолдарымен
алмастырғаннан,
яғни
транспонерлегеннен,
анықтауыш мəні өзгермейді:
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
12
1
21
11
2
1
2
22
21
1
12
11
=
.
Теңдіктің дұрыстығын анықтауыштарды есептеу арқылы тексеруге
болады.
2-қасиет. Анықтауыштың қандай да бір жолының
ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады.
Үшінші ретті анықтауыштың екінші жолындағы ортақ көбейткішті
анықтауыш алдына шығарамыз:
λ
λ
λ
λ
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
Теңдіктің дұрыстығына берілген матрицаны екінші жол бойынша
жіктеп тексеруге болады.
3-қасиет. Анықтауыштың екі жолының орнын
ауыстырғаннан анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға
өзгереді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші жəне екінші
жолдарын алмастырайық:
33
32
31
13
12
11
23
22
21
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
=
Теңдіктің дұрыстығын екінші анықтауышты бірінші жол бойынша
жіктеп тексеруге болады.
16
4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса,
онда анықтауыш мəні нолге тең. Үшінші ретті анықтауыштың
бірінші жəне екінші жолдары бірдей болсын:
33
32
31
13
12
11
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=0.
Теңдіктің дұрыстығын осы екі жолдың орндарын алмастырып 3-
қасиетті қолданып тексеруге болады.
5-қасиет. Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға
көбейтіп басқа жолға қосқаннан анықтауыш мəні өзгермейді.
Үшінші ретті анықтауыштың бірінші жолын
λ
-ға көбейтіп екінші
жолға қосайық:
33
32
31
13
23
12
22
11
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
λ
λ
λ
+
+
+
=
.
Теңдіктің дүрыстығын екінші анықтауышты мынадай
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
0
0
0
0
0
0
13
12
11
a
a
a
λ
λ
λ
анықтауыштардың қосындысы түрінде жазайық. Сонда бірінші
қосылғыш берілген анықтауыш болады да, екінші анықтауыш
нолге тең.
6-қасиет.
Үшбұрышты
матрицаның
анықтауышы
диагональ бойындағы элементтердің көбейтіндісіне тең:
33
22
11
33
23
22
13
12
11
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
.
17
Теңдіктің дұрыстығын анықтауышты бірінші тік немесе үшінші
жатық жол бойынша жіктеп тексеруге болады.
Осы қасиеттер көмегімен жоғары ретті анықтауыштар
есептеуді көп жеңілдетуге болады. Анықтауышты қандай да бір
жолында неғұрлым көп ноль болатындай етіп түрлендіріп, сол жол
бойынша жіктеп анықтауыш реті төмендетіледі. Мысалы мынадай
төртінші ретті
1
13
4
1
1
2
2
1
3
5
2
0
1
1
2
1
−
−
−
−
анықтауышты есептейік.
Анықтауышты үшбұрышты түрге келтіреміз. Алдымен 5-
қасиет бойынша анықтауыштың бірінші жолын 1-ге көбейтіп
үшінші жолға, (-1)-ге көбейтіп төртінші жолға қосайық (есепте
көрсетілген). Сонда анықтауыштың бірінші тік жолында
1
11
=
а
элементтен басқасы нолге айналады.
Енді осы қасиетті пайдаланып
2
22
−
=
а
элементінің астында
тұрған
сандарды
нолге
айналдырамыз.
Соңында
9
33
−
=
а
элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз.
Анықтауыш
үшбұрышты
түрге
келді.
6-қасиет
бойынша
анықтауыш мəнін диагональдік элементтерді көбейтіп табамыз.
1
13
4
1
1
2
2
1
3
5
2
0
1
1
2
1
−
−
−
−
↵
↵
−
|
|
|
)
1
(
)
1
(
=
0
14
2
0
2
1
4
0
3
5
2
0
1
1
2
1
−
−
−
↵
↵
|
)
1
(
)
2
(
=
3
9
0
0
8
9
0
0
3
5
2
0
1
1
2
1
−
−
−
↵
)
1
(
=
11
0
0
0
8
9
0
0
3
5
2
0
1
1
2
1
−
−
−
=
198
11
)
9
(
)
2
(
1
=
⋅
−
⋅
−
⋅
.
КЕРІ МАТРИЦА
)
(
ij
a
A
=
(
)
n
j
i
,...,
2
,
1
,
=
квадрат матрица қарастырайық.
18
Анықтама. Анықтауышы нолге тең матрица ерекше, ал
нолге тең емес матрица ерекше емес матрица деп аталады.
Кез келген
0
≠
a
сан үшін мына
1
1
=
⋅
−
a
a
теңдігін
қанағаттандыратындай кері сан табылады. Квадрат матрица үшін
де осындай ұғым енгіземіз.
Анықтама. А квадрат матрица үшін мына
E
A
A
A
A
=
⋅
=
⋅
−
−
1
1
теңдікті қанағаттандыратын
1
−
A
матрица А матрицаның кері
матрицасы деп аталады.
Кері матрицаны мына формуламен табады:
=
−
nn
n
n
n
n
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
...
...
...
...
...
...
...
1
2
1
2
22
12
1
21
11
1
,
мұндағы
A
-матрица анықтауышы, ал
ij
A
-берілген матрицаның
ij
a
элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,…,n;
j=1,2,…,n.
Кез келген квадрат матрицаның кері матрицасы бола
бермейді.
Теорема(кері матрица болуының қажетті жəне жеткілікті
шарты). Матрицаның кері матрицасы болуы үшін ол ерекше
емес (
0
≠
A
) матрица болуы қажетті жəне жеткілікті.
Мысал.
−
=
4
2
1
1
3
2
3
2
1
A
матрицасының кері матрицасын
табу керек.
Шешуі. Алдымен анықтауышын есептейік.