Добавлен: 02.02.2019
Просмотров: 5198
Скачиваний: 24
24
Мысал.
−
−
−
−
−
−
=
38
59
1
2
3
1
4
3
1
1
4
2
2
1
1
0
1
3
1
0
А
матрицасының
рангісін есептейік.
Шешуі. Элементар түрлендірулер көмегімен матрицаны сатылы
түрге келтіреміз.
~
38
59
1
2
3
1
4
3
1
1
4
2
2
1
1
0
1
3
1
0
−
−
−
−
−
−
~
|
|
|
)
3
(
)
1
(
38
59
1
2
3
1
4
3
1
1
0
1
3
1
0
4
2
2
1
1
↵
↵
−
−
−
−
−
−
−
~
|
)
5
(
50
65
5
5
0
5
6
1
0
0
0
1
3
1
0
4
2
2
1
1
↵
−
−
−
−
−
−
~
)
10
(
50
60
10
0
0
5
6
1
0
0
0
1
3
1
0
4
2
2
1
1
↵
−
−
−
−
−
~
0
0
0
0
0
5
6
1
0
0
0
1
3
1
0
4
2
2
1
1
−
−
−
−
−
−
5
6
1
0
0
0
1
3
1
0
4
2
2
1
1
.
Соңғы матрица сатылы түрге келді жəне онда нолге тең емес
үшінші ретті минор бар екенін бірден көруге болады:
0
1
1
0
0
3
1
0
2
1
1
≠
=
−
−
−
. Сонымен матрица рангісі 3-ке тең, r(A)=3.
25
ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР
•
Матрица дегеніміз не жəне оның қандай түрлерін білесің?
•
Анықтауыш дегеніміз не жəне оны есептеудің Саррюс
ережесін түсіндір.
•
Минор жəне алгебралық толықтауыш деген не?
•
Лаплас теоремасын не үшін жəне қалай қолданылатынын
түсіндір.
•
Матрица рангсін қалай есептейді?
26
ЕКІНШІ ЛЕКЦИЯ
СЫЗЫҚТЫ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ
Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. n белгісізді m
теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады:
=
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
m
n
mn
j
mj
m
m
i
n
in
j
ij
i
i
n
n
j
j
n
n
j
j
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
...
...
...
...
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
(1)
мұндағы
ij
a
(i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп,
ал
i
b
(i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады. (1) теңдеудің
қысқаша жазылуы мынадай:
i
n
i
j
ij
b
x
a
=
∑
=
1
(i=1,2,…,m) (1’)
(1)
жүйенің бос мүшелерінің бəрі нолге тең болса,
0
1
=
∑
=
n
i
j
ij
x
a
(i=1,2,…,m) (2)
жүйе біртекті жүйе деп аталады.
Жүйенің əрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын
,
1
1
с
x
=
...,
,
2
2
с
x
=
n
n
с
x
=
27
сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады. Осы
шартты қанағаттандыратын барлық
(
)
n
c
c
c
...,
,
,
2
1
шешімдер
шешімдер жиынын құрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу
процесін жүйені шешу дейді.
(1) жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе
үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз деп аталады.
Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе
анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмаған деп
аталады.
Енді (1) жүйеге мынадай белгілеулер енгізейік:
=
mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
,
=
n
b
x
x
Х
...
2
1
,
=
m
b
b
b
В
...
2
1
А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе
матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица,
В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы
белгілеулерді қолданып (1) жүйені былайша жазуға болады:
АХ=В (3)
(3) теңдеу (1) жүйенің матрицалық жазылуы болып табылады.
Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап
жазсақ,
|
|
|
|
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
1
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
m
b
b
b
...
2
1
,
жүйенің кеңейтілген матрицасын аламыз.
28
Кронеккер-Капелли
теоремасы.
Егер
сызықты
теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген
матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.
Теорема
бойынша
жүйе
үйлесімді
болуы
үшін
r
A
R
A
r
=
=
)
(
)
(
1
болуы керек. Бұл кезде r жүйе рангісі деп
аталады.
Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең
болса (r=n), онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі
жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жүйе
анықталмаған болады.
Мысалы, мынадай жүйе қарастырайық:
=
+
+
+
=
−
+
−
=
+
+
+
1
8
3
5
0
2
2
1
3
4
5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер
жасайық:
|
|
|
1
8
3
5
1
2
1
2
3
4
5
1
1
−
−
=
A
1
0
1
↵
−
|
)
1
(
|
|
|
2
4
2
4
1
2
1
2
3
4
5
1
~
−
−
−
−
0
0
1
|
|
|
2
4
2
4
1
2
1
2
3
4
5
1
~
−
−
−
−
0
0
1
↵
−
)
2
(
−
−
0
0
0
0
1
2
1
2
3
4
5
1
~
|
|
|
0
0
1
−
−
1
2
1
2
3
4
5
1
~
|
|
0
1
Жүйе матрицасы мен кеңейтілген матрицаның екінші ретті
нолге тең емес минорлары бар екенін көру қиын емес жəне
2
)
1
(
)
(
=
=
A
R
A
r
. Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйе
үйлесімді.