Добавлен: 02.02.2019
Просмотров: 5199
Скачиваний: 24
19
4
2
1
1
3
2
3
2
1
−
=
A
( )
↵
↵
−
−
|
)
1
(
2
=
1
0
0
7
1
0
3
2
1
−
−
=
1
−
.
0
1
≠
−
=
A
, яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық
толықтауыштарын есептейік.
14
2
12
4
2
1
3
)
1
(
1
1
11
=
+
=
−
−
=
+
A
,
9
)
1
8
(
4
1
1
2
)
1
(
2
1
12
−
=
+
−
=
−
−
=
+
A
,
1
3
4
2
1
3
2
)
1
(
3
1
13
=
−
=
−
=
+
A
,
2
)
6
8
(
4
2
3
2
)
1
(
1
2
21
−
=
−
−
=
−
=
+
A
,
1
3
4
4
1
3
1
)
1
(
2
2
22
=
−
=
−
=
+
A
,
0
2
1
2
1
)
1
(
3
2
23
=
−
=
+
A
,
11
9
2
1
3
3
2
)
1
(
1
3
31
−
=
−
−
=
−
−
=
+
A
,
7
)
6
1
(
1
2
3
1
)
1
(
2
3
32
=
−
−
−
=
−
−
=
+
A
,
1
4
3
3
2
2
1
)
1
(
3
3
33
−
=
−
=
−
=
+
A
.
Табылған мəндерді формулаға қойып кері матрицаны табамыз.
−
−
−
−
−
=
−
1
0
1
7
1
9
11
2
14
1
1
1
A
−
−
−
−
=
1
0
1
7
1
9
11
2
14
.
Кері матрицаның дұрыс табылғандығын
E
A
A
=
⋅
−
1
теңдігін
тексеру арқылы көз жеткізуге болады:
20
−
4
2
1
1
3
2
3
2
1
−
−
−
−
⋅
1
0
1
7
1
9
11
2
14
=
+
−
+
−
−
+
−
−
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
−
+
−
=
4
14
11
0
2
2
4
18
14
1
21
22
0
3
4
1
27
28
3
14
11
0
2
2
3
18
14
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
Берілген
матрицаға
кері
матрицаны
элементар
түрлендірулер əдісімен де табуға болады. Бұл əдіс матрицаға
элементар түрлендірулер қолдануға сүйенеді. Матрицаның
элементар түрлендірулері деп мынадай түрлендірулерді айтамыз:
1)
Матрицаны транспонерлеу;
2)
Жолдардың орнын алмастыру;
3)
Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге
санға көбейту;
4)
Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге
санға көбейтіп басқа жолдың сəйкес элементтеріне қосу;
5)
Барлық элементі ноль болатын жолды алып тастау.
Енді кері матрица табу ережесіне көшейік: Берілген
nxn
A
матрицаның оң жағына бірлік матрица жалғап жазу керек. Сонда
n
nx
В
2
өлшемді кеңейтілген матрица пайда болады. В матрицаға А
матрицасының орнында бірлік матрица пайда болғанға дейін
жатық
жолдарына
элементар
түрлендірулер
жасалады.
Нəтижесінде бірлік матрицаның орнында
1
−
A
кері матрица пайда
болады.
Мысалы,
жоғарыдағы
қарастырылған
−
=
4
2
1
1
3
2
3
2
1
A
матрицаның кері матрицасын осы əдіспен тауып көрейік. Берілген
матрицаның оң жағына бірлік матрица жазып, элементар
түрлендірулер жүргіземіз.
21
−
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4
2
1
1
3
2
3
2
1
↵
↵
−
−
|
)
1
(
)
2
(
−
−
−
−
1
0
1
0
1
2
0
0
1
1
0
0
7
1
0
3
2
1
~
~
)
3
(
)
7
(
|
−
−
−
−
−
1
0
1
7
1
9
3
0
4
1
0
0
0
1
0
0
2
1
~
)
2
(
~
)
1
(
1
0
1
7
1
9
11
2
14
1
0
0
0
1
0
0
0
1
~
−
⋅
−
−
−
−
−
−
−
−
1
0
1
7
1
9
11
2
14
1
0
0
0
1
0
0
0
1
~
.
Соңында бірлік матрицаның орнында пайда болған матрица
кері матрица болады:
−
−
−
−
=
−
1
0
1
7
1
9
11
2
14
1
A
.
Ерекше емес матрицалар үшін мынадай қасиеттер дұрыс
болады:
1)
A
A
1
1
=
−
,
2)
( )
A
A
=
−
−
1
1
,
3)
( )
1
1
1
−
−
−
=
A
B
AB
,
4)
( )
( )
1
1
−
−
′
=
′
A
A
.
МАТРИЦА РАНГІСІ
mxn өлшемді А матрицаның бірнеше жатық жəне тік
жолдарын сызып тастап k өлшеміді, k
≤
min(m,n), квадрат матрица
алуға болады. Осы квадрат матрица анықтауышы берілген
матрицаның k өлшемді миноры деп аталады.
mxn
A
матрицаның
k-
өлшемді минорлар саны
k
n
k
m
C
C
болады.
Анықтама. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең
үлкен реті матрица рангісі деп аталады:
22
r=r(A)= rangA .
Анықтамадан бірден мынадай тұжырымдар жасауға болады:
1.
mxn
A
матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен
артпайды:
r(A)
≤
min(m,n).
2. Барлық элементтері ноль болғанда ғана (нолдік матрица)
матрица рангісі ноль болады.
3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица
рангісі n–ге тең болады.
Мысал.
=
1
7
0
3
6
4
0
2
3
2
0
1
A
матрицаның рангісін есептейік.
Шешуі. Матрица өлшемі 3х4 болғандықтан, оның рангісі 3-тен
артпайды, r(A)
≤
min(3,4). Егер үшінші ретті минорлардың ең
болмағанда біреуі нолден өзгеше болса, онда матрица рангісі 3-ке
тең болады. Үшінші ретті минорлар матрицаның бір тік жолын
сызып тастағанда пайда болады:
0
1
7
0
6
4
0
3
2
0
=
,
0
1
7
3
6
4
2
3
2
1
=
,
0
7
0
3
6
0
2
3
0
1
=
,
0
7
0
3
4
0
2
2
0
1
=
.
Үшінші ретті минорлардың бəрі нолге тең болғандықтан, ранг 3-ке
тең бола алмайды. Енді екінші ретті минорлардың ішінен (олардың
саны
18
6
3
!
2
!
2
!
4
!
1
!
2
!
3
2
4
2
3
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
C
C
) ең болмағанда бір нолге тең емес
минор тапсақ, матрица рангісі 2-ге тең болады. Екінші ретті
минорлар матрицаның бір жатық, екі тік жолын сызып тастағанда
пайда болады. Айталық бірінші жатық жол мен бірінші жəне
23
екінші тік жолдарды сызып тастағанда пайда болатын мына минор:
0
38
1
7
6
4
≠
−
=
, сондықтан r(A)=2.
Матрица өлшемі артқан сайын оның рангісін барлық
нолден өзге минорларды есептеу жолымен анықтау қиындайды.
Матрица рангісін элементар түрлендірулер əдісімен табу ондай
қиындықтардан құтқарады.
Теорема. Элементар түрлендірулер матрица рангісін
өзгертпейді.
Дəлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде
оның анықтауышы не өзгермей сақталады, не нолге тең емес санға
көбейтіледі. Яғни, оның реті өзгермейді деген сөз. Олай болса,
нолден өзгеше минорлардың немесе матрица рангісінің реті де
өзгермейді.
Осы теореманы ескеріп, элементар түрлендірулер жасап,
берілген матрицаны барлық диагоналдік элементтері нолден
өзгеше болатындай етіп сатылы түрге келтіреміз:
rn
rr
n
r
n
r
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
...
2
2
22
1
1
12
11
,
мұндағы r
≤
п. Осы шарттың орындалуын матрицаны транстонерлеу
арқылы қамтамасыз етуге болады.
Сонда матрицаның r–ретті нолден өзге миноры
rr
r
r
a
a
a
a
a
a
...
0
0
...
...
...
...
...
0
...
2
22
1
12
11
бар болады да, матрица рангісі r-ге тең болады, яғни
r(A)=r.