Файл: Известна как функция распределения Максвелла.pdf

Статистика носителей заряда в полупроводниках Статистическое описание коллектива частиц Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны Напомним, что согласно результатам зонной теории твердых тел электроны в кристаллах удобно рассматривать как свободные частицы, эффективная масса которых отличается от массы свободного электрона. В полупроводниках, кроме электронов, носителями заряда являются и положительно заряженные частицы - дырки. Таким образом, в явлениях, в которых основную роль играют эти частицы (электропроводность, теплопроводность, взаимодействие со светом и т.д.) твердое тело можно рассматривать как газ электронов и дырок. Системы, состоящие из большого количества тождественных частиц, являются предметом изучения статистической физики. Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Хорошо известен метод статистического описания коллектива молекул идеального газа. Несмотря на то, что скорость отдельной молекулы газа является величиной случайной, в газе, состоящем из большого числа одинаковых молекул, наблюдается определенная закономерность в распределении их по скоростям. Используя методы статистической физики, всегда можно указать, какая доля молекул имеет скорость, заключенную в данном интервале значений. Основная задача статистики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в заданном интервале. Результатом решения этой статистической задачи является нахождение функции распределения частиц по энергиям, которую обозначают обычно
f(E). Если dZ - число возможных состояний ансамбля частиц с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE, а dN - число частиц, находящихся в этих состояниях, то по определению Таким образом, функция распределения частиц по энергиям есть плотность заполнения данных состояний частицами. Для молекул идеального газа f(E) известна как функция распределения Максвелла-
Больцмана: где k - постоянная Больцмана Т - абсолютная температура. Формулу (2) называют часто также каноническим распределением или распределением Гиббса. Из этого распределения можно легко получить известное из молекулярной физики распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения. Статистика молекул идеального газа исходит из следующих основных положений
1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.
2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по состояниям (новому микросостоянию).
3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны. Предположение о том, что электронный газ в металлах подчиняется статистике
Максвелла-Больцмана, опровергается рядом экспериментальных результатов. Например, из этого предположения следует, что электроны должны давать вклад в теплоемкость

металлов, который примерно на два порядка больше экспериментально наблюдаемой величины. Противоречие снимается, если учитывать квантовые свойства частиц в кристаллах. В отличие от классической статистики Максвелла-Больцмана квантовая статистика стоит на точке зрения принципиальной неразличимости тождественных частиц. Поэтому перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новому микросостоянию. Для электронов и всех частиц с полуцелым спином необходимо учитывать также принцип Паули. Напомним, что согласно этому принципу водном квантовом состоянии может находиться только одна частица. Такие частицы называются фермионами и подчиняются квантовой статистике Ферми-Дирака. Иной квантовой статистикой описываются частицы с нулевыми целым спином. Эти частицы не подчиняются принципу Паули, ив одном состоянии их может быть сколько угодно. Такие частицы называются бозонами, квантовая статистика, которая описывает их распределение по энергиям, - статистикой Бозе - Эйнштейна. Сравнение этих трех статистик приведено на рис. 1 на примере распределения двух частиц потрем состояниям. Различные состояния частиц на этом рисунке изображены клетками. Всевозможные способы распределения двух частиц, подчиняющихся классической статистике Максвелла-Больцмана, потрем состояниям показаны на риса. Поскольку частицы в этой статистике различимы, они обозначены разным цветом. Всего возможно девять микросостояний, математическая вероятность каждого из них равна 1/9. Для бозонов число возможных микросостояний равно 6 (рис. б, а вероятность каждого из них - 1/6. Для фермионов микросостояния, в которых в каждом состоянии находятся по две частицы, реализоваться не могут. Остаются в статистике Ферми-Дирака только три возможных микросостояния, изображенные на рис. в. Вероятность каждого из них равна
1/3. Рис. 1. Сравнение различных статистик на примере распределения двух частиц потрем состояниям а - статистика Максвелла-Больцмана; б - статистика Бозе - Эйнштейна в - статистика Ферми-Дирака Статистике Бозе - Эйнштейна подчиняются фотоны и фононы, играющие важную роль в физических свойствах твердых тел. Функция распределения Бозе - Эйнштейна имеет вид

Здесь Е
В
- химический потенциал системы бозонов.
2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид здесь E
F
- химический потенциал системы фермионов, те. работа, которую необходимо затратить, чтобы изменить число частиц в системе на одну. В случае электронов величина
E
F
называется энергией Ферми или уровнем Ферми. Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы (4), для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при
, следовательно, Е стремится к нулю. Это значит, что все энергетические состояния с Е > E
F
совершенно свободны при абсолютном нуле. Если Е < E
F
при
, f(E) стремится к единице. Это значит, что все квантовые состояния с энергией, меньше энергии Ферми, полностью заняты электронами. Отсюда понятен физический смысл энергии Ферми как параметра распределения электронов по состояниям энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля. Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называется уровнем Ферми. Вид функции распределения Ферми-Дирака при Т = К представлен на риса. На рис. б показано распределение электронов по энергетическим уровням в зоне проводимости металла при этой же температуре.

Если Т

Кто при энергии частицы, равной энергии Ферми, функция распределения Ферми-Дирака равна 1/2. Это значит, что при любой температуре, отличающейся от абсолютного нуля, уровень Ферми заполнен наполовину. Вид функции
Ферми-Дирака для двух различных температур показан схематически на рис. 3. Изменение характера распределения электронов по состояниям связано с тепловым возбуждением электронов. При этом часть электронов переходит в состояния с энергиями, большей энергии Ферми. Соответственно часть состояний ниже уровня Ферми оказывается свободной. В результате функция f(E) "размыта" вблизи энергии Ферми. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. Функция Ферми-Дирака заметно отличается от вида, который она имела при абсолютном нуле, лишь при
. Величина "размытия" пропорциональна температуре (рис. 3). Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения. Рис. 3. Функция распределения Ферми-Дирака при Т Рис. 2. Функция распределения Ферми-Дирака (аи распределение электронов в зоне проводимости металла при Т=0К (б

При условии
(
5) экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду
(
6) Выражение (6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-
Больцмана. Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Е свободен, те. занят дыркой, равна
(
7) Таким образом, функция распределения Ферми-Дирака для дырок аналогична функции распределения для электронов, если в ней изменить знаки показателей экспонент. Это хорошо согласуется с представлением о том, что дырки являются носителями положительного заряда. Газ носителей заряда, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака, называется вырожденным. Если носители заряда подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, то они называются невырожденными.
\3. Функция плотности состояний электронов и дырок Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо, кроме функции распределения
, знать функцию плотности состояний
. Эта функция описывает распределение уровней в соответствующих зонах и определяет число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению
(
8) Здесь, как и раньше, dZ - число возможных состояний ансамбля частиц (число уровней) с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE. Функцию g(E) вычислим для кубического кристалла со стороной L. Энергия электрона у дна зоны проводимости
(Е(к) дать рисунок)
приближенно может быть представлена в виде
(
9) здесь энергия дна зоны проводимости,
- эффективная масса электрона у дна зоны проводимости, k - квазиимпульс электрона,
- его компоненты. Согласно граничным условиям, компоненты квазиимпульса могут принимать только следующие дискретные значения энергии

Каждому набору чисел n
x
, n
y
, n
z
отвечает некоторое квантовое состояние (квантовый уровень. В пространстве волновых векторов каждому квантовому состоянию соответствует объем
, где V - объем кристалла. Эти элементарные кубические ячейки займут в пространстве волновых чисел объем шара радиусом k, соответствующего максимально возможному значению модуля волнового вектора. Выделим шаровой слой, заключенный между двумя поверхностями k = const и k+dk =
const. Объем этого слоя составляет
. Разделив этот объем на объем элементарной ячейки и умножив на 2, поскольку в каждом состоянии могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами, получим число состояний в объеме шарового слоя
(
10) Согласно (9) Подставляя значения k
2 ив формулу (10), получим Учитывая (8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости
(
11) Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона
(
12)

где E
v
- энергия потолка валентной зоны,
- эффективная масса дырки. Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены выше для электронов, приводят к следующему выражению для функции плотности состояний дырок вблизи потолка валентной зоны
(13) Следует подчеркнуть, что формулы (11) и (13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, те. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E) неизвестен. На рис. 4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны. Рис. 4. Плотность уровней в зоне проводимости ив валентной зоне Площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней
dZ
в интервале энергий dE Концентрации электронов и дырок в полупроводнике Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN, находящихся в dZ состояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (1) определяется выражением Учитывая, что dZ = g(E) dE, получим

(
14) Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение
(14) в пределах зоны
(
15) здесь Е
п
- энергия потолка зоны проводимости. Поскольку функция распределения
Ферми-Дирака очень быстро уменьшается с увеличением энергии, то верхний предел интегрирования можно взять равным бесконечности. Если степень заполнения энергетических состояний электронами в зоне проводимости мала (f(E) << 1), что практически всегда имеет место в полупроводниках, то единицей в знаменателе формулы
(4) можно пренебречь. При этих условиях подстановка функций f(E) ив уравнение
(15) приводит к следующему выражению для концентрации электронов в зоне проводимости
(
16) Преобразуем теперь выражение (16) к виду Произведем замену переменных в подынтегральном выражении В результате получим Интеграл в этом выражении равен
. Следовательно
(
17)

где
(
18) Величину N
c
называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Аналогично можно вычислить концентрацию дырок в валентной зоне. Поскольку вакантное состояние в валентной зоне образуется в результате перехода электрона из этого состояния в зону проводимости, то вероятность того, что состояние с энергией Ев валентной зоне незанято, равна Тогда концентрация дырок здесь E
v
- потолок валентной зоны. При условии, что газ дырок невырожденный, получим
(
19) где эффективная плотность состояний в валентной зоне
(
20) Перемножая выражения (17) и (19), получим
(21) где n
i
- концентрация собственных носителей заряда в полупроводнике, E
g
= E
c

E
v
- ширина запрещенной зоны. Соотношение (21) называется законом действующих масс. При выводе этого закона использовано предположение о том, что степень заполнения энергетических уровней носителями заряда много меньше единицы. Такой газ носителей называется невырожденным, а полупроводники - невырожденными. В общем случае вырожденным газом в физике называется газ, свойства которого отличаются от свойств идеального классического газа вследствие квантовомеханических свойств частиц газа. Вырожденный газ подчиняется квантовомеханическим статистикам Ферми-Дирака или Бозе -Эйнштейна, невырожденный газ - статистике Максвелла - Больцмана. Условием перехода газа в невырожденное состояние является выполнение неравенства f(E) << 1. Можно показать, что это условие для электронного газа эквивалентно следующему соотношению

(22) Аналогичное соотношение справедливо и для дырок с заменой n на p и на
Вопрос о том, является газ носителей заряда в кристалле вырожденным или невырожденным определяется только его концентрацией и температурой. Подстановка численных значений величин, входящих в неравенство (22), приводит к выводу о том, что при комнатной температуре (Т К) газ носителей будет невырожденным, если его концентрация значительно меньшем см. Это условие выполняется практически для всех полупроводников. Поскольку концентрация электронов в зоне проводимости металлов превышает 10 28
м (10 см, то электронный газ металлов всегда является вырожденным. Таким образом, закон действующих масс выполняется для любого невырожденного полупроводника независимо от роли примесей, те. в любом невырожденном полупроводнике увеличение концентрации носителей одного знака приводит к уменьшению концентрации носителей противоположного знака. Следует отметить также, что произведение электронной и дырочной концентраций не зависит от положения уровня Ферми. Уровень Ферми в полупроводниках Понятия энергии Фермии уровня Ферми были введены ранее для металлов. В полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что ив металлах. Энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл энергия Ферми - это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция Плотность энергетических состояний в зоне проводимости g
c
(E) ив валентной зоне g
v
(E). Вероятность заполнения энергетических состояний электронами f
n
(E), (зеленая кривая. Плотность электронов красная) и дырок (голубая

распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне. Уровень Ферми в собственном полупроводнике Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны
(
i
i
p
n

), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (17) и (19), получим Разрешая последнее равенство относительно Е, получим
(23) Если эффективные массы электронов и дырок равны [
= то
=
0] и уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны. Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 5. Для большинства полупроводников эффективная масса дырки ненамного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb)
, а ширина запрещенной зоны невелика (E
g
= 0,17 эВ, так что при Т > 450K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.

Рис. 5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике при различных соотношениях эффективных масс электронов и дырок
1 -
; 2 -
; 3 -
. Уровень Ферми в примесных полупроводниках Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде здесь N
d
- концентрация донорных уровней, n
d
- концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равна N
d
- n
d
). Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней на функцию распределения Ферми-Дирака: где Е - энергия активации донорных уровней. Подстановка в условие электронейтральности (24) концентраций электронов (17) и дырок (19), а также концентрации электронов на донорных уровнях (25) приводит к следующему уравнению относительно положения уровня Ферми Е :
(26)

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (25). Уравнение (26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (26) имеет вид Рисунок 6 Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (аи акцепторном (б) полупроводниках. Из уравнения (27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем - к валентной зоне (риса. Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. б. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми
Положение уровня Ферми в собственных и примесных полупроводниках связано с концентрацией носителей заряда, установившейся приданной температуре в состоянии термодинамического равновесия. Переброс электронов в зону проводимости за счет температурного возбуждения и возникновение в результате этого процесса дырок в валентной зоне называется термической генерацией свободных носителей заряда. Одновременно происходит и обратный процесс электроны возвращаются в валентную

зону, в результате чего исчезают электрон и дырка. Этот процесс называется рекомбинацией носителей заряда. Для количественного описания процессов генерации и рекомбинации носителей заряда в полупроводниках используют понятия скорости генерации, скорости рекомбинации и времени жизни носителей заряда. Скорость генерации носителей - это число носителей, возбуждаемых в единичном объеме полупроводника за единицу времени Скорость рекомбинации носителей - это число носителей, рекомбинирующих в единице объема полупроводника за единицу времени Время жизни носителей

- это среднее время от генерации носителя до его рекомбинации Из приведенных выше определений непосредственно следуют следующие соотношения между скоростями рекомбинации электронов R
n
и дырок R
p
и их временами жизни

n
и

p
соответственно Здесь учтено, что 1/

- вероятность рекомбинации носителя за единицу времени. При фиксированной температуре устанавливается термодинамическое равновесие, при котором процессы генерации и рекомбинации взаимно уравновешиваются. Такие носители, находящиеся в тепловом равновесии с кристаллической решеткой, называются равновесными. Электропроводность полупроводника может быть возбуждена и другими способами, например, облучением светом, действием ионизирующих частиц, электрическим полем, инжекцией носителей через контакт и др. Во всех этих случаях дополнительно к равновесным носителям в полупроводнике возникают носители заряда, которые не будут находиться в состоянии теплового равновесия с кристаллом. Такие носители называются неравновесными. Общую концентрацию электронов в зоне проводимости n в случае равновесных и неравновесных носителей можно представить в виде
(29) где n
0
– концентрация равновесных электронов

n - концентрация неравновесных электронов. Общая концентрация дырок
(30) где и

p - равновесная и неравновесная концентрации дырок соответственно. Поскольку распределение Ферми-Дирака справедливо только для состояния термодинамического равновесия, то понятно, что статистика неравновесных носителей должна быть иной. В отсутствие термодинамического равновесия принято вводить два новых параметра распределения – квазиуровень Ферми E
Fn
для электронов и квазиуровень Ферми E
Fp
для дырок. Эти параметры выбирают таким образом, чтобы для концентраций электронов и дырок при наличии неравновесных носителей выполнялись уравнения (17) и
(19) соответственно при условии замены на E
Fn для электронов и на E
Fp для дырок. Таким образом, в невырожденных полупроводниках справедливы уравнения

Рисунок 7 Расщепление уровня Ферми на два квазиуровня - для электронов и для дырок : а - равновесное состояние б - неравновесное состояние Поскольку при наличии избыточных носителей заряда закон действующих масс не выполняется (
), ткнет никакой зависимости между

n и

p, квазиуровни Ферми для электронов и дырок разные и не совпадают с равновесным уровнем Ферми (рис. В состоянии термодинамического равновесия квазиуровни Ферми совпадают с равновесным уровнем Ферми E
F
. Чем выше концентрация неравновесных носителей заряда, тем дальше отстоят квазиуровни Ферми от уровня Ферми. Из уравнений (31), (32),
(17) и (19) следует
(33) Это соотношение выражает связь между концентрациями электронов и дырок в неравновесном состоянии. Разность энергий характеризует отклонение от состояния термодинамического равновесия. Если np > n
0
· p
0
, то
. Это условие соответствует инжекции (вбрасыванию) избыточных носителей. Если np < n
0
p
0
, то говорят об экстракции обеднении) носителей. Неравновесные носители играют важную роль в работе полупроводниковых приборов.