ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2098
Скачиваний: 1
176
Ищем
нетривиальное
решение
вида
(2.35).
Из
однородных
краевых
условий
,
получаем
.
0
,
0
,
0
,
0
,
0
2
,
0
2
1
2
2
1
2
1
2
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Нетривиальных
решений
нет
.
Ищем
нетривиальное
решение
вида
(2.36).
Из
однородных
краевых
условий
,
получим
,
0
cos
sin
sin
cos
,
0
2
1
2
1
2
1
C
C
C
C
C
C
.
0
sin
)
1
(
,
,
0
cos
sin
)
sin
(cos
,
,
0
)
cos
(sin
)
sin
(cos
,
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Нетривиальные
решения
задачи
существуют
,
если
0
sin
,
т
.
е
.
,...
2
,
1
,
n
n
Таким
образом
,
множество
пробных
функций
,...
3
,
2
),
)
1
cos((
)
1
(
)
)
1
sin((
)
(
n
x
n
n
x
n
x
u
n
Таким
образом
,
пробное
решение
будем
искать
в
виде
5
2
1
5
)
)
1
cos((
)
1
(
)
)
1
sin((
5
6
)
(
i
i
x
x
i
i
x
i
C
e
C
x
x
y
. (
А
11)
Основные
результаты
расчетов
на
ЭВМ
1)
График
точного
решения
имеет
вид
:
2)
Получим
приближенные
решения
методом
Галеркина
в
виде
(
А
9).
Если
в
качестве
поверочных
функций
возьмем
пробные
)
(
),...,
(
5
1
x
u
x
u
,
то
в
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
213380
,
1
073920
,
0
647392
,
2
499320
,
2
132936
,
1
(
С
и
пробное
решение
имеет
вид
:
177
.
7
1
1
213380
,
1
6
1
1
073920
,
0
5
1
1
647392
,
2
4
1
1
499320
,
2
3
1
1
132936
,
1
5
6
)
(
6
5
4
3
2
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Если
в
качестве
поверочных
функций
возьмем
многочлены
Лежандра
,
то
в
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
220506
,
1
080164
,
0
637995
,
2
510888
,
2
136001
,
1
(
С
и
пробное
решение
имеет
вид
:
.
7
1
1
220506
,
1
6
1
1
0801646
,
0
5
1
1
637995
,
2
4
1
1
510888
,
2
3
1
1
136001
,
1
5
6
)
(
6
5
4
3
2
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
3)
Получим
приближенные
решения
методом
Ритца
.
Ищем
решение
в
виде
(
А
9).
В
результате
расчета
получим
вектор
коэффициентов
)
130778
,
1
133009
,
0
466128
,
2
564241
,
2
140938
,
1
(
С
и
пробное
решение
имеет
вид
:
.
7
1
1
130778
,
1
6
1
1
133009
,
0
5
1
1
466128
,
2
4
1
1
564241
,
2
3
1
1
140938
,
1
5
6
)
(
6
5
4
3
2
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Ищем
решение
в
виде
(
А
11).
В
результате
расчета
получим
вектор
коэффициентов
)
000202
,
0
001314
,
0
008526
,
0
209285
,
0
539001
,
4
(
С
и
пробное
решение
имеет
вид
:
.
)
4
cos(
4
)
4
sin(
000202
,
0
)
3
cos(
3
)
3
sin(
001314
,
0
)
2
cos(
2
)
2
sin(
008526
,
0
)
cos(
)
sin(
209285
,
0
539001
,
4
5
6
)
(
5
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
x
y
x
4)
Получим
приближенные
решения
интегральным
методом
наименьших
квадратов
.
Ищем
решение
в
виде
(
А
9).
В
результате
расчета
получим
вектор
коэффициентов
)
202339
,
1
033207
,
0
595731
,
2
526122
,
2
137761
,
1
(
С
и
пробное
решение
имеет
вид
:
.
7
1
1
202339
,
1
6
1
1
033207
,
0
5
1
1
595731
,
2
4
1
1
526122
,
2
3
1
1
137761
,
1
5
6
)
(
6
5
4
3
2
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
178
Ищем
решение
в
виде
(
А
10).
В
результате
расчета
получим
вектор
коэффициентов
)
171763
,
0
337991
,
0
023365
,
1
361081
,
9
207857
,
4
(
С
и
пробное
решение
имеет
вид
:
.
)
1
(
171763
,
0
)
1
(
337991
,
0
)
1
(
023365
,
1
4
1
1
361081
,
9
3
1
1
207857
,
4
5
6
)
(
4
2
3
2
2
2
3
2
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
5)
Определяем
меры
точности
полученных
приближенных
решений
.
1.
Метод
Галеркина
.
Приближенные
решения
отыскивались
в
виде
(
А
9).
Поверочные
ф
-
ции
max|
)
(
)
(
1
x
y
x
y
n
n
|
max|
)
(
x
R
n
| max|
)
(
)
(
x
y
x
Yk
n
|
Многочл
. (
А
4)–(
А
8)
11
0.000807
21
0.011
31
0.000043
Многочл
.
Лежандра
12
0.000388
22
0.008786
32
0.000024
2.
Вариационный
метод
Ритца
.
Приближенные
решения
:
max|
)
(
)
(
1
x
y
x
y
n
n
|
max|
)
(
x
R
n
| max|
)
(
)
(
x
y
x
Yk
n
|
Вида
(
А
9)
13
0.00048
23
0.004606
33
0.000031
Вида
(
А
11)
14
0.006344
24
0.229
34
0.006182
3.
Интегральный
метод
наименьших
квадратов
.
Приближенные
решения
:
max|
)
(
)
(
1
x
y
x
y
n
n
|
max|
)
(
x
R
n
| max|
)
(
)
(
x
y
x
Yk
n
|
Вида
(
А
9)
15
0.000348
25
0.009123
35
0.000023
Вида
(
А
11)
16
0.000348
26
0.009123
36
0.000023
Выводы
Сравнение
с
решением
,
полученным
с
помощью
метода
Рунге
-
Кутта
в
системе
Mathcad,
показывает
,
что
все
три
метода
эффективны
при
отыскании
приближенного
решения
краевой
задачи
для
обыкновенного
дифференциального
уравнения
второго
порядка
.
Наиболее
близкое
к
точному
аналитическое
решение
найдено
методом
наименьших
квадратов
в
виде
(
А
9)
или
(
А
10).
Кроме
того
,
судя
по
разности
|
)
(
)
(
1
x
y
x
y
n
n
|,
этот
метод
дает
наиболее
быструю
сходимость
последовательности
пробных
решений
.
В
тоже
время
,
из
анализа
невязки
полученных
решений
следует
,
что
наиболее
эффективным
является
метод
Ритца
при
отыскании
пробного
решения
в
виде
(
А
9).
Так
же
следует
отметить
неэффективность
использования
при
решении
данной
краевой
задачи
пробных
решений
вида
(
А
11).
179
Заключение
В
данном
пособии
представлено
достаточно
полное
изложение
алгоритмов
методов
взвешенных
невязок
[1]
численного
решения
линейной
краевой
задачи
для
обыкновенного
линейного
дифференциального
уравнения
второго
порядка
,
линейных
начально
-
краевых
задач
для
одномерных
уравнений
параболического
и
гиперболического
типов
,
первой
краевой
задачи
для
двухмерного
эллиптического
уравнения
.
Результаты
решения
указанных
задач
математической
физики
подтверждают
общие
выводы
о
возможностях
таких
методов
,
представленные
в
монографии
[1].
А
именно
то
,
что
эти
методы
,
во
-
первых
,
приводят
к
достаточной
точности
получаемых
решений
и
,
во
-
вторых
,
позволяют
достигать
приемлемой
точности
при
небольшом
(
не
более
пяти
)
числе
пробных
и
поверочных
функций
,
взятых
из
младших
элементов
полной
системы
функций
.
В
пособии
не
обсуждаются
вопросы
,
связанные
с
проблемой
сходимости
последовательности
пробных
решений
к
искомому
точному
решению
задачи
.
Не
обсуждаются
также
трудности
и
пути
их
преодоления
,
которые
возникают
,
например
,
когда
получение
решения
методом
Галеркина
с
необходимой
точностью
требует
сохранения
большего
числа
пробных
функций
в
пробном
решении
.
С
обсуждением
этих
проблем
можно
ознакомиться
в
монографии
[1].
Библиографический
список
1.
Флетчер
,
К
.
Численные
методы
на
основе
метода
Галеркина
/
К
.
Флетчер
.
–
М
. :
Мир
, 1988. – 352
с
.
2.
Калиткин
,
Н
.
И
.
Численные
методы
/
Н
.
И
.
Калиткин
. –
М
. :
Наука
, 1978.
– 512
с
.
3.
Корн
,
Г
.
Справочник
по
математике
/
Г
.
Корн
,
Т
.
Корн
. –
М
. :
Наука
, 1970.
– 720
с
.
4.
Тихонов
,
А
.
Н
.
Уравнения
математической
физики
/
А
.
Н
.
Тихонов
,
А
.
А
.
Самарский
. –
М
. :
Наука
, 1972. – 735
с
.
5.
Вельмисов
,
П
.
А
.
Уравнения
математической
физики
:
учебное
пособие
/
П
.
А
.
Вельмисов
,
Т
.
Б
.
Распутько
. –
Ульяновск
:
УлГТУ
, 2001. – 68
с
.
6.
Анкилов
,
А
.
В
.
Решение
линейных
задач
математической
физики
на
основе
методов
взвешенных
невязок
:
учебное
пособие
/
А
.
В
.
Анкилов
,
П
.
А
.
Вельмисов
,
А
.
С
.
Семёнов
. –
Ульяновск
:
УлГТУ
, 2008. – 158
с
.
180
Учебное
издание
АНКИЛОВ
Андрей
Владимирович
ВЕЛЬМИСОВ
Петр
Александрович
СЕМЁНОВ
Алексей
Степанович
РЕШЕНИЕ
ЛИНЕЙНЫХ
ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
НА
ОСНОВЕ
МЕТОДОВ
ВЗВЕШЕННЫХ
НЕВЯЗОК
Учебное
пособие
Ответственный
за
выпуск
П
.
А
.
Вельмисов
ЛР
№
020640
от
22.10.97.
Подписано
в
печать
30.12.2010.
Формат
70
100/16.
Усл
.
печ
.
л
. 14,51.
Тираж
500
экз
. (1-
й
з
-
д
1–100
экз
.).
Заказ
360.
Ульяновский
государственный
технический
университет
432027,
Ульяновск
,
ул
.
Северный
Венец
, 32.
Типография
УлГТУ
, 432027,
Ульяновск
,
ул
.
Северный
Венец
, 32.