Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4167
Скачиваний: 4
66
,
0
;
0
)
(
;
0
0
0
1
0
m
k
k
m
k
k
k
l
m
k
k
b
lb
ka
k
a
(6.16)
где l=1,...,p.
Условия (6.16) представляют собой СЛАУ относительно неизвестных
m
a
a ,...,
0
,
m
b
b ,...,
0
. Их количество равно 2(m+1). Решив систему (6.16),
получаем неизвестные числовые коэффициенты. Для неявных методов
наивысшим порядком аппроксимации p=2m, а для неявных – p=2m-1.
Запишем систему (6.16) для методов Адамса
m
k
k
m
k
k
l
b
b
b
k
l
1
0
1
1
,
1
;
1
(6.17)
где l=2,...,p . Отсюда наивысший порядок аппроксимации для неявного
метода p=m+1, для явного – p=m.
6.2.2 Устойчивость и сходимость многошаговых разностных методов
Наряду с системами уравнений (6.11) будем рассматривать т.н.
однородные разностные уравнения вида
0
1
1
0
m
n
m
n
n
V
a
...
V
a
V
a
,
(6.18)
где n=m,m+1,... .
Будем искать его решение в виде функции
n
n
q
V
,
где q-число подлежащее определению. Подставив
n
V в (6.18) получаем
уравнение для нахождения q
0
...
1
1
1
0
m
m
m
m
a
q
a
q
a
q
a
.
(6.19
)
67
Уравнение (6.19) принято называть характеристическим уравнением
для разностных методов (6.11). Говорят, что разностный метод (6.11)
удовлетворяет условию корней, если все корни уравнения (6.19)
m
q
q ,...,
1
лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости,
причем на границе нет кратных корней.
Разностный метод (6.11), удовлетворяющий условию корней,
называется устойчивым методом.
Теорема. Пусть разностный метод (6.11) удовлетворяет условию
корней и выполнено условие
L
u
t
f
)
,
(
при
T
t
0
. Тогда при
T
n
t
m
n
, n m и достаточно малых будет выполнена оценка
)
max
)
(
max
(
)
(
0
1
0
k
m
n
k
j
j
m
j
n
n
r
t
u
y
M
t
u
y
,
(6.20
)
где:
k
r -погрешность аппроксимации;
)
(
j
j
t
u
y
-погрешность в задании
начальных условий; M=const.
Методы Адамса удовлетворяют условию корней, т.к. a
0
=-a
1
=1,
следовательно, q=q
1
=1.
6.2.3 Примеры m-шаговых разностных методов Адамса для
различных m
Явные методы. При m=1 порядок точности p=1. Тогда метод
описывается формулой
1
1
n
n
n
f
y
y
.
В этом случае получаем метод Эйлера. При m=2 порядок точности p=2.
Тогда метод описывается формулой
2
1
1
2
1
2
3
n
n
n
n
f
f
y
y
.
При m=3 порядок точности p=3. Тогда метод описывается формулой
3
2
1
1
5
16
23
(
12
1
n
n
n
n
n
f
f
f
y
y
.
При m=4 порядок точности p=4. Метод описывается формулой
68
)
9
37
59
55
(
24
1
4
3
2
1
1
n
n
n
n
n
n
f
f
f
f
y
y
.
Неявные формулы Адамса.
m=1, p=2,
)
(
2
1
1
1
n
n
n
n
f
f
y
y
-метод трапеций;
m=2, p=3,
)
8
5
(
12
1
2
1
1
n
n
n
n
n
f
f
f
y
y
;
m=3, p=4,
)
5
19
9
(
24
1
3
2
1
1
n
n
n
n
n
n
f
f
f
f
y
y
.
Неявные методы содержат искомое значение
n
y нелинейным образом,
поэтому для его нахождения применяют итерационные методы решения
нелинейных уравнений.
6.3 Численное интегрирование жестких систем обыкновенных
дифференциальных уравнений
Жесткие системы можно сравнить с плохо обусловленными
системами алгебраических уравнений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений(ДУ)
)
,
( u
f
u
t
dt
d
,
(6.21)
где
0
)
0
(
u
u
. Для решения (6.21) рассмотрим разностные методы вида
m
k
k
n
k
n
k
k
n
m
k
k
)
y
,
t
f(
b
y
a
τ
0
0
1
,
(6.22)
где n= m, m+1, m+2,….
Устойчивость
и
сходимость
методов
(6.22)
определяется
расположением корней характеристического уравнения, т.е. |q| 1 - корни
принадлежат единичной окружности. Среди методов (6.22) выделим те,
которые позволяют получить асимптотически устойчивые решения.
Пример. В качестве частного случая (6.21) рассмотрим уравнение
вида
u
dt
du
,
(6.23)
69
где:
0
)
0
(
u
u
; <0;
t
e
u
t
u
0
)
(
- решение ДУ. При <0 решение есть
монотонно убывающая функция при t
. Для этого решения можно
записать при любом шаге >0
)
(
)
(
t
u
t
u
,
(6.24)
что означает устойчивость решения.
Рассмотрим для задачи (6.23) метод Эйлера
n
n
n
y
y
y
1
,
где: n=0, 1, 2, …,
n
n
y
q
y
1
, q-промежуточный параметр, равный 1+
.
Оценка (6.24) для метода Эйлера будет выполнена тогда и только
тогда, когда |q| . Шаг лежит в интервале 0 < <
. Метод Эйлера для
задачи (6.23) устойчив при выполнении этого условия.
Определение 1. Разностный метод (6.22) называется абсолютно
устойчивым, если он устойчив при любом >0.
Определение 2. Разностный метод называется условно-устойчивым,
если он устойчив при некоторых ограничениях на .
Например, метод Эйлера для (6.23) условно-устойчив, т.к. 0 <
<
. Примером абсолютно устойчивого метода является неявный метод
Эйлера
1
1
n
n
n
y
y
y
,
1
)
1
(
1
q
.
Замечание. Условная устойчивость является недостатком явных
методов в связи с тем, что приходится выбирать мелкий шаг
интегрирования.
Пример для задачи (6.23). Если =-200, тогда
0.01. Если мы
рассмотрим интервал (0,1], то необходимо будет 100 шагов. Неявные методы
со своей стороны приводят к решению на каждом шаге нелинейного
уравнения, но это уже недостаток неявного метода.
6.3.1 Понятие жесткой системы ОДУ
Замечание. Все вышерассмотренные методы легко реализуются на
примере одного уравнения и легко переносятся на системы ДУ, но при
70
решении систем возникают дополнительные трудности, связанные с
разномасштабностью описанных процессов.
Рассмотрим пример системы двух уравнений:
0
0
2
2
2
1
1
1
u
a
dt
du
u
a
dt
u
d
,
где: t >0; a
1
,a
2
>0. Это система однородных независимых ДУ
t
a
e
)
(
u
(t)
u
t
a
e
)
(
u
(t)
u
2
2
2
1
1
1
0
0
.
Решение монотонно убывает с ростом t. Пусть коэффициент а
2
на
порядок и выше больше а
1
, т.е. а
2
>>a
1
. Тогда компонента u
2
затухает
гораздо быстрее u
1
, начиная с некоторого момента времени t и тогда
решение задачи u(t) полностью будет определяться поведением компоненты
u
1
. Однако при численном решении данной задачи шаг интегрирования
будет определяться компонентой u
2
, несущественной с точки зрения
поведения решения системы. Рассмотрим метод Эйлера для решения данной
системы
0
0
2
2
1
2
1
1
1
1
(n)
(n)
)
(n
(n)
(n)
)
(n
u
a
τ
u
u
u
a
τ
u
u
.
Он будет устойчив, если на наложены ограничения
2
2
2
1
a
τ
a
τ
.
Учитывая, что
2
a >>
1
a , получаем окончательное ограничение на
2
2
a
.
Такие трудности могут возникнуть при решении любых систем ОДУ.
Рассмотрим в качестве примера систему