Файл: Умноженной на множитель в форме показательной функции W.docx

дополненных нулями последовательностей, соответствует расчету линейной свертки исходных сигналов. Чтобы убедиться в этом, достаточно использовать матричную запись циклической свертки, и расписать соответствующие элементы  ,  . В результате выражения   будут соответствовать линейной свертке.

Необходимо заметить, что добивать   и   нулями можно не только до длины  , но и до любой длины  . В результате вычисления циклической свертки дополненных нулями последовательностей до длины  , первый   значение на выходе будет представлять собой линейную свертку, а остальные значения будут нулевыми. Это можно использовать для дополнения исходных последовательностей нулями до длины, которая допускает использование эффективных БПФ алгоритмов.

Например при   и  , необходимо дополнить   и   нулями до длины  . Однако мы можем дополнить их до длины 

---

 отсчетов и использовать БПФ по основанию два для расчета циклической свертки. При этом первые 6999 отсчетов результата циклической свертки будут представлять собой линейную свертку при   и  . Использование алгоритма БПФ для   приведет к десятикратному снижению требуемых вещественных умножителей при вычислении линейной свертки при   и  .

10. Этапы проектирования цифровых фильтров. Требования к АЧХ, предъявляемые при синтезе фильтров. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ, свойства. Порядок фильтра и длина импульсной характеристики. Проектирование КИХ-фильтров методом окон. Эффект Гиббса и назначение окон (на примере окна Кайзера). Структуры КИХ-фильтров с симметричной и антисимметричной импульсной характеристикой.

Проектирование ЦФ выполняется в три этапа:

1. 
   Синтез ЦФ. Включает следующие основные шаги:
   
   1. 
      Выбор типа ЦФ
      

Двум типам ЛДС – КИХ и БИХ – соответствуют два типа ЦФ:

• 
  КИХ-фильтр (FIR Filter – Finite Impulse Response Filter);
  
• 
  БИХ-фильтр (HR Filter – Infinite Impulse Response Filter).
  

2. 
   Задание требований к характеристикам ЦФ
   

Для ЧИФ (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) в виде требований предъявляют:

• 
  Частота дискретизации;
  
• 
  Граничные частоты полос пропускания\затухания;
  
• 
  Минимальный уровень ослабления в ПЗ;
  
• 
  Допустимые уровни пульсации АЧХ в ПП и ПЗ;
  
• 
  Линейность ФЧХ.
  

3. 
   Выбор метода синтеза
   

Метод синтеза зависит от типа ЦФ (КИХ или БИХ), а в рамках одного типа – от специфики дополнительных требований (простоты метода, оптимальности проектируемого фильтра и др.).

4. 
   Расчёт передаточной функции ЦФ
   
5. 
   Выбор структуры ЦФ
   
1. 
   Моделирование структуры ЦФ с учётом эффектов квантования
   
2. 
   Реализация структуры ЦФ
   

Структура ЦФ может быть реализована на базе цифрового устройства – цифрового процессора обработки сигналов (ЦПОС), программируемой логической интегральной схеме (ПЛИС) и т. п.

Физический смысл свойства

---

линейности ФЧХ – постоянная групповая задержка фильтра.

Групповая задержка – время задержки реакции фильтра относительно воздействия. В общем случае (при нелинейной ФЧХ) при разных частотах сигнала воздействия, время задержки разное и зависит от частоты входного воздействия.

Пример.

Пусть на фильтр оказали гармоническое воздействие с частотой и получили реакцию . При этом между входным и выходным сигналами наблюдается разница фаз, равная , которой соответствует величина задержки по времени
.



Рис. 19.1 – Пример гармонического воздействия и реакции фильтра (с задержкой)

В общем случае время задержки определяется следующим образом:



В случае линейной ФЧХ время задержки для всех частот одинаковое, т.к. производная линейной функции есть константа: . Так как все гармоники воздействия будут приходить на выход с одинаковой задержкой, форма сигнала не исказится, а время задержки можно будет скомпенсировать.

Если же сигнал проходит через фильтр с нелинейной ФЧХ, какие-то гармоники воздействия будут приходить на выход быстрее, чем другие, что приведёт к искажениям формы сигнала.



Рис. 19.2 – Демонстрация разницы ГВЗ при линейной (слева) и нелинейной (справа) ФЧХ

Условием линейной ФЧХ КИХ-фильтра является симметрия\антисимметрия его ИХ.

Доказательство.

Пусть линейная ФЧХ будет иметь следующий вид: .

Для дальнейшего доказательства напомним, что комплексная передаточная функция и импульсная характеристика фильтра связаны между собой преобразованием Фурье:

---

Запишем ФЧХ через комплексную передаточную функцию фильтра и составим уравнение:







По формуле :





Внесём знак «-» внутрь суммы синусов левой части уравнения и преобразуем:



Перенесём правую часть в левую и сократим подобные:









где – порядок КИХ-фильтра.

Получили условие линейной ФЧХ. Рассмотрим 2 частных, самых очевидных случая, когда оно будет выполняться. Эти случаи базируются на понятиях симметричной\антисимметричной ИХ, хотя ЛФЧХ можно достичь и при нарушении симметрии ИХ, однако здесь это не описывается.

Уравнение будет выполняться если множители под суммой (отсчёты ИХ и гармонический сигнал) будут обладать свойством чётности\нечётности относительно центра ИХ, причём поочерёдно:

1. 
   ИХ чётна, гармонический сигнал нечётен (синус)
   

Для получения синуса коэффициент должен быть кратен , а коэффициент должен центрировать синус к центру ИХ КИХ-фильтра, то есть .
При таких коэффициентах уравнение примет вид:





Рис. 19.3 – Примеры симметричной ИХ при чётном и нечётном порядках фильтра

2. 
   ИХ нечётна, гармонический сигнал чётен (косинус)
   

---

Для обеспечения чётности гармонического сигнала коэффициент должен быть равен . При таких коэффициентах уравнение примет вид:





Рис. 19.4 – Примеры антисимметричной ИХ при нечётном и чётном порядках фильтра

---