Файл: Умноженной на множитель в форме показательной функции W.docx

Данная процедура называется двоично-инверсной перестановкой, так можно выполнить перенумерацию отсчетов, переписав номер отсчета в двоичной системе счисления в обратном направлении.

Например,   имеет индекс в десятичной системе счисления  , если же   переписать справа налево, то получим  , то есть   после разделения на «четные-нечетные» перед первой операцией «бабочка» встанет на место отсчета  , который в свою очередь встанет на место  .

По аналогичному правилу поменяются местами все отсчеты, при этом некоторые останутся на месте, в частности  , так как если   переписать справа налево, то все равно останется  , аналогично  ,   и  .

Важно отметить, что данный метод перенумерации должен применяться при записи числа в двоичной системе, состоящей из   разрядов. В приведенном примере   использовалось 3 разряда двоичного числа

---

, но если бы   было равно 16, то необходимо было записать число при использовании 4 разрядов. В этом случае   и после перестановки получим  , то есть при  , отсчет   не останется на месте, а поменяется местами с  .

После двоично-инверсной перестановки получаем четыре 2-точечных ДПФ:

(13)

На основе четырех 2-точечных ДПФ формируются два 4-точечных ДПФ:

(14)

И на последнем уровне формируется полное ДПФ входного сигнала:

10. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) с прореживанием по частоте для размера блока N = 2^r. Понятие о поворачивающем множителе. Понятие о графе «бабочка» для БПФ с прореживанием по частоте, алгоритм его работы. Пример структуры модуля БПФ на основе 8-точечного БПФ. Понятие о бит-реверсной перестановке элементов последовательности.

10. Интеграл свертки. Связь интеграла свертки с образами по Лапласу и Фурье сворачиваемых сигналов. Линейная дискретная свертка. Связь дискретной свертки с Фурье- и Z-образами последовательностей. Использование для вычисления реакции линейной цепи с постоянными параметрами. Примеры.

Интеграл свертки.

Рассмотрим процесс в цепи при действии на ее входе сигнала произвольной формы f₁(t) (рис. 1). Этот сигнал можно представить в виде последовательности прямоугольных импульсов длительностью Δx с амплитудами f₁(kΔx).

---

Рис. 1

При малых значениях Δx каждый такой импульс эквивалентен действию на цепь δ-импульса, включаемого в момент t = kΔx и имеющего площадь f₁(kΔx) Δx. Поэтому входной сигнал представим в виде суммы . После перехода к пределу при Δx → 0, kΔx → x получим .

Поскольку реакция цепи на каждый δ-импульс описывается импульсной характеристикой h_δ, то для выходной величины f₂(t) можно записать аналогичный интеграл, в котором реакция на входной импульс δ(t – x) выражена как h_δ (t – x):



Полученный интеграл называется интегралом свертки и используется при вычислении реакции цепи f₂(t) на воздействие f₁(t) произвольной формы. Он и является основой временнóго метода расчета переходных процессов.

Указанные выше пределы интегрирования требуют уточнения, особенно, при наличии в подынтегральных сомножителях слагаемых в виде δ-функций. При вычислении интеграла свертки необходимо учитывать, что первый сомножитель под интегралом f₁(x) = 0 при x < – 0; соответственно h_δ (t – x) = 0 при t – x < – 0, то есть при x > t + 0. Именно эти значения пределов интегрирования (– 0 < x<t < + 0) необходимо рассматривать при вычислении. При ограниченном значении f₁ δ-слагаемое может содержаться в h_δ (t – x). Вклад этого слагаемого можно учесть отдельно. Для этого запишем



Так как второй интеграл можно преобразовать к виду , то окончательно получим



В последнем выражении под интегралом учитывается только ограниченная часть импульсной характеристики h_δ.

Дискретная свертка.

При больших длинах ядра свертки сигналов существует специальный алгоритм, позволяющий вычислить ее значительно быстрее. Этот алгоритм основан на следующей важной теореме.

Теорема свертки: свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области

---

; умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области.

Утверждение теоремы означает, что для выполнения свертки двух сигналов можно перевести их в частотную область, перемножить их спектры и перевести результат обратно во временную область. Такая операция выглядит громоздко. Однако с появлением алгоритмов БПФ, позволяющих быстро вычислять преобразования Фурье, вычисление свертки через частотную область резко сокращает число операций и поэтому стало широко использоваться в теории связи. При значительных длинах ядра свертки такой подход позволяет в сотни раз сократить время вычисления свертки.

По аналогии со сверткой двух непрерывных сигналов u(t) и h(t)



в системах цифровой обработки вводят линейную дискретную свертку, представляющую собой вещественный дискретный сигнал, отсчеты которого связаны с отсчетами двух вещественных дискретных сигналов {г/Д и [hj соотношением



В формуле (6.24) суммирование по номерам ведется от k = 0, поскольку исследуются вещественные сигналы. Если первый сигнал {uh,} является обрабатываемым дискретным с числом отсчетов k, а второй сигнал {/zw} — импульсной характеристикой обрабатывающей цифровой системы с числом отсчетов (ядром свертки) т, то число выходных отсчетов в дискретной свертке сигнала будет N = k + t - 1, т.е. операция свертки расширяет выходной сигнал на /77 - 1 точку. Это фундаментальное свойство линейных дискретных систем. Операция свертки коммутативна и допускает изменение порядка следования функций:

т.е. можно переставлять местами исходный сигнал и ядро свертки.

Связь с преобразованиями Фурье

Дискретный сигнал skможно записать в виде суммы весовых импульсов Кронекера:

sk = s(kΔt) = {\displaystyle s_k = s (k \Delta t) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} s(n \Delta t) \cdot \delta (k \Delta t - n \Delta t)\,\!}

Тогда спектр сигнала по теореме запаздывания:

s(ω) = {\displaystyle s_k = s (k \Delta t) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} s(n \Delta t) \cdot \delta (k \Delta t - n \Delta t)\,\!}

{\displaystyle s(\omega) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} s(k \Delta t) e^{-j \omega k \Delta t} \,\!}

---

После замены z=e^−jωΔt{\displaystyle z = e^{-j \omega \Delta t} \,\!} получится:

S(ω) = {\displaystyle S(\omega) = \sum_{n= -\infty}^{\infty} s(k \Delta t) z^k = S(z) \,\!}

Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-преобразования при z=e−jωΔt.{\displaystyle z = e^{-j \omega \Delta t} \,\!.}

Аналогичной подстановкой z=e−p{\displaystyle z = e^{-p} \,\!} может осуществляться переход к дискретному преобразованию Лапласа. В общем виде:

S(ω) = S(z), z = e^−jωΔt, S(p) = S(z), z=^e−pΔt (1.2){\displaystyle S(\omega) = S(z), z = e^{-j \omega \Delta t}, S(p) = S(z), z = e^{-p \Delta t} \qquad \color{Maroon}(1.2) \,\!}

Обратное преобразование:

S(z) = S(ω),ω= , S(z) = S(p), p = (1.3){\displaystyle S(z) = S(\omega), \omega = \frac{\ln z}{ j \Delta t}, S(z) = S(p), p = \frac{\ln z}{\Delta t} \qquad \color{Maroon}(1.3) \,\!}

При отрицательной символике z связь между представлениями осуществляется соответственно подстановками z⁻¹=e^jωΔt{\displaystyle z^{-1} = e^{j \omega \Delta t} \,\!} и z⁻¹=e^p.{\displaystyle z^{-1} = e^{p} \,\!.}

При z^k=e^jωkΔt{\displaystyle z^{k} = e^{j \omega k \Delta t} \,\!} z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z){\displaystyle S(z) \,\!} можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов kΔt{\displaystyle k \Delta t \,\!}), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента ω{\displaystyle \omega \,\!}).
Использование для вычисления реакции линейной цепи с постоянными параметрами

---