Файл: За правилом Непера 3.pdf

59 56 8135397 56 48 49
C
,
,
'
''
=
=
o o
Контроль обчислень:
0 4121656 0 4450862 2 1833523 0 5408507 0 7841991
,
,
,
,
,
⋅
⋅
=
;
0 5255879 0 5255879
,
,
=
Контроль зійшовся.
Відповідь:
47 59 11
A
'
''
=
o
;
130 47 00
B
'
=
o
;
56 48 49
C
'
''
=
o
2) Ексцес знайдемо за формулою Люільє (4.22):
4 2
2 2
2
p
p a
p b
p c
tg
tg
tg
tg
tg
ε
−
−
−
=
;
64 1766666 2
p
,
=
o
;
2 0664513 2
p
tg
,
=
;
33 9125000 2
p
a
,
− =
o
;
0 6722888 2
p
a
tg
,
− =
;
5 4406946 2
p b
,
− =
o
;
0 0952444 2
p b
tg
,
− =
;
24 8234722 2
p c
,
− =
o
;
0 4625621 2
p c
tg
,
− =
;
2 0664513 0 6722888 0 0952444 0 4625621 4
0 2473975
=
⋅
⋅
⋅
=
=
tg
,
,
,
,
,
ε
13 8958157 4
,
ε
=
o
;
55 5832629 55 34 59
,
'
''
ε
=
=
o o
Радіус вписаного кола
m
r
знайдемо за формулою:
0 4121656
m
tgr
M
,
=
=
;
22 3997719 22 23 59
m
r
,
'
''
=
=
o o
Радіус описаного кола
m
R
знайдемо за формулою (4.14):
2 2
2 2
a
b
c
tg
tg
tg
N sin
ε
=
, звідки
2 2
2 2
m
a
b
c
tg
tg
tg
tgR
N
sin
ε
= =

60 0 5835142 2
a
tg
,
=
;
1 6470396 2
b
tg
,
=
;
0 8200421 2
c
tg
,
=
;
0 4662574 2
sin
,
ε
=
;
0 5835142 1 6470396 0 8200421 1 6903081 0 4662574
m
,
,
,
tgR
N
,
,
⋅
⋅
= =
=
;
59 3910968 59 23 28
m
R
,
'
''
=
=
o o
Відповідь:
55 34 59
'
''
ε
=
o
;
22 23 59
m
r
'
''
=
o
;
59 23 28
m
R
'
''
=
o
3) Площа сферичного трикутника визначається за формулою
(1.19):
2
F
R
ε
=
. За умовою
6370
R
=
км і знайдено вище, що
55 34 59 55 5832629
'
''
,
ε
=
=
o o
У радіанах
0 9700
,
ε
=
. Тоді
(
)
2 7
6370 0 97 3 94 10
F
,
,
=
⋅
=
⋅
(км)
2
. ■
Приклад 7б. Розв’язання сферичного трикутника за трьома його кутами.
Дано:
47 59 12
A
'
''
=
o
;
130 46 58
B
'
''
=
o
;
56 48 52
C
'
''
=
o
. Знайти:
a
,
b
,
c
□ Обчислення виконаємо за формулами (4.13):
2 2
a
tg
N sin A
ε


=
−




;
2 2
b
tg
N sin B
ε


=
−




;
)
2
/
(
sin
)
2
/
(
ε
−
=
C
N
c
tg
, де
)
2
/
sin(
)
2
/
sin(
)
2
/
sin(
)
2
/
sin(
ε
−
ε
−
ε
−
ε
=
C
B
A
N
Контроль обчислень проведемо за формулою (4.14):
2 2
2 2
a
b
c
tg
tg
tg
N sin
ε
=
При розв’язанні задачі одержимо єдиний повністю визна- чений розв’язок.
Трикутник можливий, оскільки дані відповідають умовам
(1.12) і (1.13) з пункту 1.3.

61
Дано:
47 59 12 47 9866667
A
'
''
,
=
=
o o
;
130 46 58 130 7827778
B
'
''
,
=
=
o o
;
56 48 52 56 8144444
C
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
180 55 5838889 55 35 02
A
B C
,
'
''
ε
= + + −
=
=
o o
o
;
27 7919445 27 47 31 2
,
'
''
ε
=
=
o o
;
0 4662623 2
sin
,
ε
=
;
20 1947222 2
A
,
ε
− =
o
;
0 3452117 2
sin A
,
ε


−
=




;
102 9908333 2
B
,
ε
− =
o
;
0 9744060 2
sin B
,
ε


−
=




;
29 0224999 2
− =
o
C
,
ε
;
0 4851530 2
sin C
,
ε


−
=




;
0 4662623 1 6902972 0 3452117 0 9744060 0 4851530
,
N
,
,
,
,
=
=
⋅
⋅
Обчислення невідомих:
1 6902972 0 3452117 0 5835104 2
a
tg
,
,
,
=
⋅
=
;
30 2640048 2
a
,
=
o
;
60 5280095 60 31 41
a
,
'
''
=
=
o o
;
1 6902972 0 9744060 1 6470336 2
b
tg
,
,
,
=
⋅
=
;
58 7359120 2
b
,
=
o
;
117 471824 117 28 18
b
,
'
''
=
=
o o
;
1 6902972 0 4851530 0 8200528 2
c
tg
,
,
,
=
⋅
=
;
39 3535600 2
c
,
=
o
;
78 707112 78 42 26
c
'
''
=
=
o o
Контроль обчислень:
0 5835104 1 6470336 0 8200528 1 6902972 0 4662623
,
,
,
,
,
⋅
⋅
=
⋅
;
0 78812096 0 78812186
,
,
=
;
Контроль хороший.
Відповідь:
60 31 41
a
'
''
=
o
;
117 28 18
b
'
''
=
o
;
78 42 26
c
'
''
=
o
. ■

62
Приклад 7в. Розв’язання сферичного трикутника за двома сторонами та кутом між ними.
Дано:
40 28 36
a
'
''
=
o
;
110 18 32
b
'
''
=
o
;
56 40 54
C
'
''
=
o
. Знайти:
A
,
B
,
c
□ Для обчислення кутів
A
і
B
застосуємо аналогії Непера
(4.17):






+
−
=
−
+
−
=
+
2
sin
2 2
sin
2
)
2 2
cos
2 2
cos
2
)
1
b
a
C
ctg
b
a
B
A
tg
b
a
C
ctg
b
a
B
A
tg
, а для обчислення сторони
c
скористаємося третьою формулою з
(2.3):
=
+
cos c
cos a cos b
sin a sin b cos C
Контроль за обчисленням виконаємо за третім співвідно- шенням з (2.4):
cos C
cos A cos B
sin A sin B cos c
= −
+
Аналіз вихідних даних задачі показує, що вони відповідають умовам існування сферичного трикутника. Використані для обчис- лення невідомих формули дають єдиний повністю визначений роз- в’язок.
Дано:
40 28 36 40 4766667
a
'
''
,
=
=
o o
;
110 18 32 110 3088889
b
'
''
,
=
=
o o
;
56 40 54 56 6816667
C
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
0 7606704
cos a
,
=
;
0 6491383
sin a
,
=
;
0 3470812
cos b
,
= −
;
0 9378351
sin b
,
=
;
34 9161112 2
a b
,
− = −
o
;
0 8199910 2
a b
cos
,
− =
;
0 5723765 2
a b
sin
,
− = −
;
0 6980278 2
a b
tg
,
− = −
;
75 3927778 2
a b
,
+ =
o
;
0 2521913 2
a b
cos
,
+ =
;
0 9676774 2
a b
sin
,
+ =
;
3 8370762 2
a b
tg
,
+ =
;

63 0 5492902
cos C
,
=
;
1 8540349 2
C
ctg
,
=
Обчислення невідомих:
0 8199910 1 8540349 6 0283282 2
0 2521913
A
B
,
tg
,
,
,
+ =
⋅
=
;
80 5813444 2
A
B
,
+ =
o
;
0 5723765 1 8540349 1 0966524 2
0 9676776
A B
,
tg
,
,
,
−
−
=
⋅
= −
;
47 6393785 2
A B
,
− = −
o
;
80 5813444 2
2 47 6393785 2
2
A
B
,
A
B
,

+ =

+


− = −

o o
80 5813444 2
2 47 6393785 2
2
A
B
,
A
B
,

+ =

−


− = −

o o
=
32 9419659 32 56 32
A
,
'
''
=
=
o o
128 2207229 128 13 15
=
=
=
o o
B
,
'
''
(
)
0 7606704 0 3470812 0 6491383 0 9378351 0 5492902 0 0703808
cos c
,
,
,
,
,
,
=
−
+
⋅
×
×
=
85 9641415 85 57 51
c
,
'
''
=
=
o o
Контроль обчислень:
0 5492902
,
cos A cos B
sin A sin B cos c
= −
⋅
+
;
0 8392218
cos A
,
=
;
0 5437889
sin A
,
=
;
0 6200628
cos B
,
= −
;
0 7845521
sin B
,
=
;
(
)
0 5492902 0 8392218 0 6186941 0 5437899 0 7845521 0 0703808
= −
−
+
×
×
⋅
,
,
,
,
,
,
0 549202 0 549248
=
,
,
. Контроль хороший.
Відповідь:
32 56 31
A
'
''
=
o
;
128 13 15
B
'
''
=
o
;
85 57 51
c
'
''
=
o
. ■

64
Приклад 7г. Розв’язання сферичного трикутника за стороною та двома прилеглими кутами. Дано:
59 32 16
A
'
''
=
o
;
77 18 20
B
'
''
=
o
і
31 29 34
c
'
''
=
o
. Знайти:
a
,
b
,
C
□ Задача розв’язується безпосередньо за третьою і четвер- тою аналогіями Непера (4.18):
2 2
2 2
A B
cos
a b
c
tg
tg
A B
cos
−
+ =
⋅
+
;
2 2
2 2
A B
sin
a b
c
tg
tg
A B
sin
−
− =
⋅
+
Дано:
59 32 16 59 537778
A
'
''
,
=
=
o o
;
77 18 20 77 3055556
B
'
''
,
=
=
o o
;
31 29 34 31 4927778
c
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
8 8838889 2
A B
,
− = −
;
0 9880033 2
A B
cos
,
− =
;
0 1544325 2
A B
sin
,
− = −
;
0 1563077 2
A B
tg
,
− = −
;
68 4216668 2
A
B
,
+ =
o
;
0 3677729 2
A
B
cos
,
+ =
;
0 9299156 2
+ =
A
B
sin
,
;
2 5285049 2
A
B
tg
,
+ =
;
15 7463889 2
c
,
=
o
;
0 2819611 2
c
tg
,
=
Обчислення невідомих:
0 9880033 0 2819611 0 7574743 2
0 3677729
a b
,
tg
,
,
,
+ =
⋅
=
;
37 1429939 2
a b
,
+ =
o
;
(
)
0 1544325 0 2819611 0 0468257 2
0 9299156
,
a b
tg
,
,
,
−
− =
⋅
= −
;
2 6809572 2
a b
,
− = −
o
;

65 34 4534222 34 27 12 2
2
a b
a b
a
,
'
''
+
−
+
= =
=
o o
;
39 8239511 39 49 26 2
2
a b
a b
b
,
'
''
+
−
−
= =
=
o o
Контроль обчислень при визначенні сторін
a
і
b
виконаємо за формулою Гаусса (4.19):
2 2
2 2
a b
A
B
tg
tg
a b
A B
tg
tg
+
+
=
−
−
;
0 7574743 2 5285049 0 0468257 0 1563077
,
,
,
,
=
−
−
;
16 1764651 16 1764575
,
,
−
= −
. Контроль хороший.
Для визначення кута
C
візьмемо першу та другу аналогії
Непера (4.17):
2 2
2 2
A
B
a b
tg
cos
C
ctg
a b
cos
+
+
=
−
;
2 2
2 2
A B
a b
tg
sin
C
ctg
a b
sin
−
+
=
−
Проміжні обчислення:
0 7971311 2
a b
cos
,
+ =
;
0 9989055 2
a b
cos
,
− =
;
0 6038063 2
a b
sin
,
+ =
;
0 0467746 2
a b
sin
,
− = −
Обчислення невідомого:
2 5285049 0 7971311 2 0177583 2
0 9989055
C
,
,
ctg
,
,
⋅
=
=
;
26 3629922 2
C
,
=
o
;
52 7259844 52 43 34
C
,
'
''
=
=
o o
;
0 1563077 0 6038063 2 0177567 2
0 0467746
C
,
,
ctg
,
,
−
⋅
=
=
−
;
26 3630558 2
C
,
=
o
;
52 7261116 52 43 34
C
,
'
''
=
=
o o
Контролем точності при знаходженні кута
C
є обчислення його за двома різними формулами. Одержані результати співпа-

66
дають.
При розв’язуванні цієї задачі дістаємо дійсні та цілком певні значення шуканих елементів за умови, що величини кожного з да- них елементів розташовані між
0
o та
180
o
. Розв’язок задачі завжди
існує і при цьому єдиний.
Відповідь:
34 27 13
a
'
''
=
o
;
39 49 26
b
'
'
''
=
;
52 43 34
C
'
''
=
o
. ■
Приклад 7д. Розв’язання сферичного трикутника за двома сторонами та кутом, що лежить проти однієї з них. Дано:
57 41 13
a
'
''
=
o
;
76 34 42
b
'
''
=
o
;
40 23 28
A
'
''
=
o
. Знайти:
B,C
та
c
□ Кут
B
визначимо за формулою синусів (25):
sin b
sin B
sin A
sin a
=
⋅
Кут
C
та сторону
c
визначимо за формулами, що випли- вають з аналогій Непера (4.17) і (4.18):
2 2
2 2
a b
cos
C
A
B
tg
ctg
a b
cos
−
+
=
⋅
+
;
2 2
2 2
a b
sin
C
A B
tg
ctg
a b
sin
−
−
=
⋅
+
;
2 2
2 2
+
+
=
⋅
−
A B
cos
c
a b
tg
tg
A B
cos
;
2 2
2 2
+
−
=
⋅
−
A B
sin
c
a b
tg
tg
A B
sin
Контролем знаходження величин
C
та
c
служить обчис- лення кожної з них за двома різними співвідношеннями. Обчис- лення кута
B
перевіримо за формулою Гаусса (4.19):
2 2
2 2
b
a
tg
b
a
tg
B
A
tg
B
A
tg
−
+
=
−
+
При обчисленні кута
B
за формулою синусів можливі три випадки: а)
1
sin B
>
, при цьому розв’язок задачі не існує; б)
1
sin B
=
, тоді кут
90
B
=
o
і задача має єдиний розв’язок; в)
1
sin B
<
, тоді для кута
B
дістанемо два значення: перше

67
менше за
90
o
, а друге більше за
90
o
. Задача матиме два розв’язки.
Оскільки в трикутнику проти більшої сторони лежить біль- ший кут і навпаки, то шуканий кут мусить задовольняти умові, щоб різниці
A B
−
і
a b
−
мали один і той же знак. Якщо ця умова не справджується, то сферичний трикутник не можливий. Якщо ж ця умова виконана одним або двома одержаними значеннями кута
B
, то дістанемо один або два розв’язки трикутника. Справді, при кож- ному певному значенні кута
B
, що задовольняє попередній умові, за формулами Непера для кута
C
і сторони
c
отримаємо єдині ціл- ком певні значення.
З того, що різниці
A B
−
і
a b
−
мають одинакові знаки, спираючись на умову: якщо
180
A
B
<
+ >
o
, то і
180
a b
<
+ >
o
, маємо:
0 90 2
< <
o o
C
;
0 90 2
< <
o o
c
, або
180
C
<
o
,
180
c
<
o
. Звідси очевид- но, що знаходження кута
C
і сторони
c
за тангенсами
2
C
і
2
c
для кожного значення
B
буде однозначним.
Дано:
57 41 13 57 6869444
a
'
''
,
=
=
o o
;
76 34 42 76 5783333
b
'
''
,
=
=
o o
;
40 23 28 40 3911111
A
'
''
,
=
=
o o
Проміжні обчислення:
0 8451400
sin a
,
=
;
0 97268817
sin b
,
=
;
0 6480017
sin A
,
=
;
0 97268817 0 6480017 0 7457929 0 8451400
,
sin B
,
,
,
=
=
;
1 48 2272247
B
,
=
o
;
2 131 7727534
=
o
B
,
;
1 48 13 38
B
'
''
=
o
;
2 131 46 22
B
'
''
=
o
;
134 2652777 180
a b
,
+ =
<
o o
;
1 88 6183358 180
A
B
,
+
=
<
o o
;
2 172 1638645 180
A
B
,
+
=
<
o o
;
18 8913889
a b
,
− = −
o
;
1 7 8361136
A B
,
− = −
;
2 91 3816423
A B
,
−
= −
o
Оскільки
0
a b
− <
,
1 0
A B
− <
і
2 0
A B
−
<
, то обидва розв’язки задачі можливі.

68 1)
1 44 3091679 2
A
B
,
+
=
o
;
1 0 715581 2
A
B
cos
,
+
=
;
1 0 6985298 2
A
B
sin
,
+
=
;
1 0 9761716 2
A
B
tg
,
+
=
;
1 1 0244101 2
A
B
ctg
,
+
=
;
1 3 9180568 2
A B
,
−
= −
;
1 0 9976628 2
A B
cos
,
−
=
;
1 0 0683297 2
−
= −
A B
sin
,
;
1 0 0684898 2
−
= −
A B
tg
,
;
1 14 6007179 2
A
B
ctg
,
−
= −
;
67 1326388 2
a b
,
+ =
o
;
0 3885991 2
a b
cos
,
+ =
;
0 9214069 2
a b
sin
,
+ =
;
2 3710988 2
a b
tg
,
+ =
;
9 4456944 2
a b
,
− = −
;
0 9864416 2
− =
a b
cos
,
;
0 1641127 2
a b
sin
,
− = −
;
0 1663684 2
a b
tg
,
− = −
;
2)
2 86 0819322 2
A
B
,
+
=
o
;
2 0 0683299 2
A
B
cos
,
+
=
;
2 0 9976628 2
A
B
sin
,
+
=
;
2 14 600677 2
A
B
tg
,
+
=
;
2 0 0684899 2
A
B
ctg
,
+
=
;
2 45 6908212 2
A B
,
−
= −
;
2 0 6985299 2
A B
cos
,
−
=
;
2 0 7155808 2
A B
sin
,
−
= −
;
2 1 0244097 2
A B
tg
,
−
= −
;
2 0 9761719 2
A B
ctg
,
−
= −
Контроль обчислення кута
1 2
,
B
:
:
1
B
2 2
2 2
1 1
b
a
tg
b
a
tg
B
A
tg
B
A
tg
−
+
=
−
+
;