ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
69 0 9761716 2 3710988 0 0684898 0 1663684
,
,
,
,
=
−
−
;
14 2528026 14 2520984
,
,
−
= −
;
2
B
:
2 2
2 2
2 2
b
a
tg
b
a
tg
B
A
tg
B
A
tg
−
+
=
−
+
;
14 600677 2 3710988 1 0244097 0 1663684
,
,
,
,
=
−
−
;
14 2527711 14 2520984
,
,
−
= −
Узгодженість хороша.
Обчислення кута С :
1 1
1 2
2 2
2 0 9864416 1 0244101 2 6004197 0 3885991
−
+
=
⋅
=
+
=
⋅
=
a b
cos
C
A
B
C : tg
ctg
a b
cos
,
,
,
,
1 68 9655871 68 57 56 2
=
=
o o
C
,
'
''
;
1 1
2 14 6007179 2
2 2
0 1641127 2 6005484 0 9214069
−
−
=
⋅
= −
×
+
−
×
=
a b
sin
C
A B
tg
ctg
,
a b
sin
,
,
,
1 68 9665373 68 57 59 2
=
=
o o
C
,
'
''
Візьмемо
1
C
як середнє з двох розрахунків:
1 137 9321244 137 55 56
C
,
'
''
=
=
o o
2 2
2 2
2 2
2 0 9864416 0 0684899 0 1738586 0 3885991
a b
cos
C
A
B
C : tg
ctg
a b
cos
,
,
,
,
−
+
=
⋅
=
+
=
⋅
=
70 2
9 8627778 9 51 46 2
=
=
o o
C
,
'
''
;
2 2
2 0 9761719 2
2 2
0 1641127 0 1738669 0 9214069
−
−
=
⋅
= −
×
+
−
×
=
a b
sin
C
A B
tg
ctg
,
a b
sin
,
,
,
2 9 8632434 9 51 48 2
=
=
o o
C
,
'
''
Візьмемо
2
C
як середнє з двох розрахунків:
2 19 7260212 19 43 34
=
=
o o
C
,
'
''
Обчислення сторони
c
:
1 1
1 1
2 2
2 2
0 715581 2 3710988 1 7373178 0 9976628
A
B
cos
с
a b
с
: tg
tg
A B
cos
,
,
,
,
+
+
=
⋅
=
−
=
⋅
=
1 60 0752730 60 04 31 2
с
,
'
''
=
=
o o
;
1 1
1 2
0 1663684 2
2 2
0 6985298 1 7007726 0 0683297
+
−
=
= −
×
−
×
=
−
A
B
sin
c
a b
tg
tg
,
A B
sin
,
,
,
1 59 5458316 59 32 45 2
=
=
o o
c
,
'
''
Візьмемо
1
c
як середнє з двох розрахунків:
1 119 6211046 119 37 16
=
=
o o
c
,
'
''
71 2
2 2
2 2
2 2
2 0 0683299 2 3710988 0 23193988 0 6985299
+
+
=
=
−
=
⋅
=
A
B
cos
c
a b
c : tg
tg
A B
cos
,
,
,
,
2 13 0582826 13 03 30 2
=
=
o o
c
,
'
''
;
2 2
2 2
0 1663684 2
2 2
0 9976628 0 2319508 0 7155808
+
−
=
= −
×
−
×
=
−
A
B
sin
c
a b
tg
tg
,
A B
sin
,
,
,
2 13 0588780 13 05 20 2
=
=
o o
c
,
'
''
Візьмемо
2
c
як середнє з двох розрахунків
2 26 1470622 26 08 49
=
=
o o
c
,
'
''
Відповідь:
1 48 13 48
=
o
B
'
''
;
1 137 55 56
=
o
C
'
''
;
1 119 37 16
=
o
c
'
''
;
2 131 46 22
=
o
B
'
''
;
2 19 43 34
=
o
C
'
''
;
2 26 08 49
=
o
c
'
''
. ■
Приклад 7е. Розв’язання сферичного трикутника за двома кутами та стороною, що лежить проти одного з них. Дано:
60 57 33
=
o
A
'
''
;
72 40 32
=
o
B
'
''
;
57 17 28
=
o
a
'
''
Знайти:
b,c
та
C
□ Для розв’язання даної задачі скористаємося методом без- посереднього обчислення за допомогою основних формул і анало- гій Непера.
Визначимо сторону
b
за формулою синусів:
A
a
B
b
sin sin sin sin
=
Перевірку обчислення виконаємо за контрольною форму- лою Гаусса:
2 2
2 2
b
a
tg
b
a
tg
B
A
tg
B
A
tg
−
+
=
−
+
72
Кут
C
та сторону
c
, як і у прикладі 7д, обчислимо за анало- гіями Непера:
2 2
2 2
−
+
=
⋅
+
a b
cos
C
A
B
tg
ctg
a b
cos
;
2 2
2 2
+
+
=
⋅
−
A B
cos
c
a b
tg
tg
A B
cos
;
2 2
2 2
−
−
=
⋅
+
a b
sin
C
A B
tg
ctg
a b
sin
;
2 2
2 2
+
−
=
⋅
−
A B
s in
c
a b
tg
tg
A B
sin
Контролем точності знаходження
C
та
c
є подвійне об- числення кожної величини за двома різними формулами.
Дано:
60 57 33 60 9591667
=
=
o o
A
'
''
,
;
72 40 32 72 6755556
=
=
o o
B
'
''
,
;
57 17 28 57 2911111
=
=
o o
a
'
''
,
Обчислення сторони
b
:
A
a
B
b
sin sin sin sin
=
;
0 9546338
=
sin B
,
;
0 8414270
=
sin a
,
;
0 8742740
=
sin A
,
;
0 9546338 0 8414270 0 9187677 0 8742740
⋅
=
=
,
,
sin b
,
,
;
1 66 7465823 67 44 48
=
=
=
o o
b
,
'
''
2 113 2534177 113 15 12
=
=
=
o o
b
,
'
''
Різниці
0
− <
A B
та
1 0
− <
a b
і, відповідно,
0
− <
A B
та
2 0
− <
a b
мають одинакові знаки, а тому існують два розв’язки:
1 67 44 48
=
o
b
'
''
та
2 113 15 12
=
o
b
'
''
Обчислення
C
та
c
:
66 8773612 2
+ =
o
A
B
,
;
0 4282419 2
+ =
A
B
ctg
,
;
0 3936634 2
+ =
A
B
cos
,
;
0 9192547 2
+ =
A
B
sin
,
;
5 8581944 2
A B
,
− = −
o
;
9 7463449 2
− = −
A
B
ctg
,
;
73 0 9947776 2
− =
A B
cos
,
;
0 1020667 2
− = −
A B
sin
,
;
1 62 0188467 2
+ =
o
a b
,
;
1 0 4691811 2
+ =
a b
cos
,
;
1 0 8831020 2
+ =
a b
sin
,
;
1 1 8822198 2
+ =
a b
tg
,
;
1 4 7273559 2
a b
,
− = −
o
;
1 0 9965982 2
− =
a b
cos
,
;
1 0 0824143 2
a b
sin
,
− = −
;
1 0 0826957 2
− = −
a b
tg
,
;
2 85 2722644 2
+
=
o
a b
,
;
2 0 0824209 2
+
=
a b
cos
,
;
2 0 9965976 2
+
=
a b
sin
,
;
2 12 0915571 2
+
=
a b
tg
,
;
2 27 9811533 2
− = −
o
a b
,
;
2 0 8831020 2
− =
a b
cos
,
;
2 0 4691811 2
a b
sin
,
−
= −
;
2 0 5312876 2
a b
tg
,
−
= −
Кут
1
C
:
=
+
−
+
=
2
cos
2
cos
2 2
1 1
1
b
a
b
a
B
A
ctg
C
tg
0 9864136 0 4282419 0 9003424 0 4691811
,
,
,
,
=
⋅
=
;
1 41 9980491 41 59 59 2
C
,
'
''
=
=
o o
;
1 83 9996098 83 59 59
C
,
'
''
=
=
o o
;
1 1
1 2
2 2
2 0 0824143 9 7463449 0 9095649 0 8831020
a b
sin
C
A B
tg
ctg
a b
sin
,
,
,
,
−
−
=
⋅
=
+
−
= −
⋅
=
74 1
42 2885564 2
C
,
=
o
;
1 84 5771129 84 34 38
C
,
'
''
=
=
o o
1
C
беремо як середнє за двома розрахунками:
1 84 2883614 84 17 18
C
,
'
''
=
=
o o
Кут
2
C
:
=
+
−
+
=
2
cos
2
cos
2 2
2 2
2
b
a
b
a
B
A
ctg
C
tg
0 8831020 0 4282419 4 5884148 0 0824209
,
,
,
,
=
⋅
=
;
2 74 7052000 2
C
,
=
o
;
2 155 4104 155 24 37
C
,
'
''
=
=
o o
;
2 2
2 2
2 2
2 0 4691811 9 7463449 4 5884124 0 9965976
a b
sin
C
A B
tg
ctg
a b
sin
,
,
,
,
−
−
=
=
+
−
= −
⋅
=
2 77 7051938 2
C
,
=
o
;
2 155 4103876 155 24 37
C
,
'
''
=
=
o o
2
C
беремо як середнє за двома розрахунками:
2 155 24 37
C
'
''
=
o
Сторона
1
c
:
=
−
+
⋅
+
=
2
cos
2
cos
2 2
1 1
B
A
B
A
b
a
tg
c
tg
7448510
,
0 9947776
,
0 3936634
,
0 8822198
,
1
=
⋅
=
;
1 36 6806187 2
c
,
=
o
;
1 73 3612374 73 21 40
c
,
'
''
=
=
o o
;
75 1
1 2
2 2
2 0 9192547 0 0826957 0 7447915 0 1020667
A
B
sin
c
a b
tg
tg
A b
sin
,
,
,
,
+
−
=
⋅
=
−
= −
⋅
=
−
1 36 6784277 2
c
,
=
o
;
1 73 3568555 73 21 25
c
,
'
''
=
=
o o
1
c
беремо як середнє за двома розрахунками:
1 73 21 33
c
'
''
=
o
Сторона
2
c
:
=
−
+
⋅
+
=
2
cos
2
cos
2 2
2 2
B
A
B
A
b
a
tg
c
tg
7849926
,
4 9947776
,
0 3936634
,
0 0915571
,
12
=
⋅
=
;
2 78 1958357 2
c
,
=
o
;
2 156 3916714 156 23 30
c
,
'
''
=
=
o o
;
2 2
2 2
2 2
0 9192547 0 5312876 4 7849947 0 1020667
A B
sin
c
a b
tg
tg
A B
sin
,
,
,
,
+
−
=
⋅
=
−
= −
⋅
=
−
2 78 1958408 2
c
,
=
o
;
2 156 3916816 156 23 30
c
,
'
''
=
=
o o
Середнє значення
2
c
за двома розрахунками:
2 156 23 30
c
'
''
=
o
Відповідь:
1 67 44 48
b
'
''
=
o
;
1 73 21 33
c
'
''
=
o
;
1 84 17 18
C
'
''
=
o
;
2 113 15 12
b
'
''
=
o
;
2 156 23 30
c
'
''
=
o
;
2 155 24 37
C
'
''
=
o
. ■
76
1 2 3 4
Контрольні
запитання та вправи
1. Що вивчає сферична геометрія?
2. Які задачі розв’язує сферична тригонометрія?
3. Що таке ортодромія та локсодромія?
4. Яким співвідношенням задається зв'язок кутової (градус- ної, радіанної) та лінійної мір дуги великого кола?
5. Що таке полюс і поляра?
6. У чому полягає принцип двоїстості?
7. Що таке “сферичний центр” і “сферичний радіус” малого кола?
8. Як визначають положення точки в географічній сферичній системі координат?
9. За якими формулами обчислюють лінійну величину дуги великого та малого кіл?
10. Що таке “сферичний кут” і як він вимірюється?
11. Дайте означення вертикальних і суміжних сферичних ку- тів.
12. Подайте у звичайному вигляді градусної міри (градус – мінута – секунда, з точністю до секунд) сферичний кут, виміряний тільки в градусах:
3876057
,
40 1
o
=
ϕ
,
9152183
,
132 2
o
=
ϕ
(Відповідь:
''
15
'
23 40 1
o
=
ϕ
,
''
55
'
54 132 2
o
=
ϕ
)
13. Подайте у звичайному вигляді градусної міри (градус – мінута – секунда, з точністю до секунд) сферичний кут, виміряний у радіанах:
58420
,
0 1
=
ϕ
,
32598
,
2 2
=
ϕ
(Відповідь:
''
20
'
28 33 1
o
=
ϕ
,
''
8
'
16 133 2
o
=
ϕ
)
14. Подайте у радіанах (з точністю до сьомого знака після коми) сферичний кут, виміряний у градусній мірі:
''
6
'
54 42 1
o
=
ϕ
,
''
47
'
9 160 2
o
=
ϕ
(Відповідь:
7487753
,
0 1
=
ϕ
,
7953727
,
2 2
=
ϕ
)
15. Подайте у лінійній мірі (з точністю до км) дугу
S
великого кола земної кулі (
6370
R
=
км), виміряну в градусній мірі:
''
42
'
0 63 1
o
=
ϕ
,
''
7
'
28 154 2
o
=
ϕ
(Відповідь:
7006 1
=
S
км;
17173 2
=
S
км)
77 16. Подайте у лінійній мірі (з точністю до км) дугу
S
вели- кого кола земної кулі (
6370
R
=
км), виміряну в радіанній мірі:
73924
,
1 1
=
ϕ
,
82107
,
0 2
=
ϕ
(Відповідь:
11079 1
=
S
км;
5230 2
=
S
км)
17. Подайте у лінійній мірі (з точністю до км) довжину дуги
l
паралелі земної кулі (
6370
R
=
км) на широті
''
14
'
52 16
o
=
ϕ
, якщо
її кутова величина (різниця довгот)
''
27
'
48 124
o
=
λ
∆
=
α
(Відповідь:
13279
=
l
км)
18. Що таке “сферичний двокутник”? Які в нього елементи?
19. Що таке “сферичний трикутник”? Які в нього елементи?
20. У чому полягають обмеження Ейлера?
21. Дайте означення висоти, медіани, бісектриси та середин- ного перпендикуляра сферичного трикутника.
22. Яке перетворення називають рухом на сфері? Композицією яких простих рухів можна його подати?
23. У чому полягає рівність сферичних трикутників?
24. Що таке “спряжені сферичні трикутники”?
25. Що таке “взаємополярні сферичні трикутники”? Наведіть
їх властивості.
26. Як класифікують сферичні трикутники за сторонами та кутами?
27. Наведіть співвідношення між сторонами та кутами сфе- ричного трикутника.
28. Чи може сферичний трикутник
ABC
бути заданим на- ступними значеннями його елементів? Якщо не може, то чому? а)
'
24 59
o
=
A
;
'
56 70
o
=
B
;
'
40 81
o
=
C
; б)
'
16 37
o
=
A
;
'
27 51
o
=
B
;
'
17 75
o
=
C
; в)
'
46 171
o
=
A
;
'
19 151
o
=
B
;
'
55 87
o
=
C
; г)
'
12 116
o
=
a
;
'
30 44
o
=
b
;
'
18 64
o
=
c
; д)
'
8 116
o
=
a
;
'
2 129
o
=
b
;
'
50 114
o
=
c
29. Що таке “сферичний надлишок”? Які межі його зміни?
30. Як обчислюють площу сферичного двокутника?
31. Як обчислюють площу сферичного трикутника?
78 32. Що таке “сферичний многокутник”?
33. Який сферичний многокутник називають опуклим?
34. Як зв’язані сферичний многокутник і відповідний много- гранний кут?
35. Як обчислюють площу сферичного многокутника?
36. У чому полягає метод перестановки елементів по колу?
37. Як читають формулу косинуса сторони сферичного три- кутника? Формулу косинуса кута сферичного трикутника?
38. Яка залежність визначається сферичною теоремою сину- сів?
39. Як читають формулу добутку синуса сторони на косинус прилеглого кута (формулу п’яти елементів)?
40. Як читають формулу добутку синуса кута на косинус прилеглої сторони (змінену формулу п’яти елементів)?
41. Як читають формулу котангенсів (формулу чотирьох еле- ментів)?
42. Чи можливий сферичний трикутник
ABC
при наступних значеннях його елементів? а)
'
32 35
o
=
a
;
'
56 38
o
=
b
; б)
'
18 41
o
=
a
;
'
15 20
o
=
b
; в)
'
33 20
o
=
a
;
'
10 68
o
=
b
; г)
'
27 25
o
=
A
;
'
9 64
o
=
B
; д)
'
21 35
o
=
A
;
'
10 46
o
=
B
; е)
'
7 43
o
=
A
;
'
35 47
o
=
B
;
є)
'
15 80
o
=
c
;
'
22 17
o
=
A
; ж)
'
6 101
o
=
C
;
'
43 21
o
=
a
43. Що таке “прямокутний сферичний трикутник”? Які його елементи?
44. Сформулюйте мнемонічне правило Непера та умови його застосування.
45. Наведіть усі шість випадків розв’язання прямокутних сфе- ричних трикутників.
46. Чи можливий прямокутний сферичний трикутник
ABC
при наступних значеннях його елементів? а)
'
25 150
o
=
a
;
'
12 110
o
=
b
;
'
43 136
o
=
c
; б)
'
23 71
o
=
a
;
'
54 140
o
=
b
;
'
16 114
o
=
c
; в)
'
18 33
o
=
b
;
'
24 60
o
=
B
;
'
5 37
o
=
C
79 47. Складіть схеми обчислень для кожного випадку розв’я- зання прямокутних сферичних трикутників.
48. Як розв’язують прямосторонні сферичні трикутники?
49. Що таке “косокутний сферичний трикутник”?
50. Наведіть усі шість випадків розв’язання косокутних сфе- ричних трикутників.
51. У яких випадках неможливо розв’язати косокутний сфе- ричний трикутник?
52. Складіть схеми безпосереднього обчислення шуканих еле- ментів косокутного сферичного трикутника для кожного випадку його розв’язання.
53. За якими формулами розв’язують косокутний сферичний трикутник, якщо задані три сторони?
54. За якими формулами розв’язують косокутний сферичний трикутник, якщо задані три кути?
55. Коли краще застосовувати формули синусів, а коли – фор- мули косинусів половини кутів?
56. Наведіть формули Даламбера – Гаусса.
57. Що виражають аналогії Непера?
58. За якими формулами розв’язується косокутний сферичний трикутник, якщо задані дві сторони та кут між ними?
59. За якими формулами розв’язують косокутний сферичний трикутник, якщо задані сторона та два прилеглих до неї кути?
60. Наведіть формули для обчислення сферичного надлишку.
61. Як обчислюють сферичний радіус малого кола, вписаного в даний сферичний трикутник?
62. Як обчислюють сферичний радіус малого кола, описаного навколо даного сферичного трикутника?
63. Як записують контрольну формулу Гаусса?
64. У чому полягають формули Каньйолі та Люільє? Для чого
їх застосовують?
65. Як контролюють хід розв’язування сферичних трикутни- ків?
66. Що таке “малі сферичні трикутники”?
67. Сформулюйте теорему Лежандра. У чому її значення?
68. За якими спрощеними формулами обчислюють ексцес ма- лого сферичного трикутника?
69. Як розв’язують малі сферичні трикутники за теоремою
Лежандра?