Файл: За правилом Непера 3.pdf

ДОДАТОК
Основні
необхідні формули
геометрії
та тригонометрії на площині
Довільний трикутник (
a
,
b
,
c
− сторони;
α
,
β
,
γ
− протилежні їм кути,
R
− радіус описаного кола;
S
− площа).
1 2
S
bc sin
α
=
;
(1)
2 2
2 2
a
b
c
bc cos
α
=
+ −
(теорема косинусів);
(2)
2
a
b
c
R
sin
sin
sin
α
β
γ
=
=
=
(теорема синусів).
(3)
Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу (
Z
− множина всіх цілих чисел)
2 2
1
sin x
cos x
+
=
;
(4)
sin x
tgx
cos x
=
,
(
)
2 1
2
x
n
π
≠
+
,
n
Z
∈
;
(5)
cos x
ctgx
sin x
=
,
x
n
π
≠
,
n
Z
∈
;
(6)
1
tgx ctgx
⋅
=
;
2
n
x
π
≠
;
n
Z
∈
;
(7)
2 2
1 1 tg x
cos x
+
=
,
(
)
2 1
2
x
n
π
≠
+
,
n
Z
∈
;
(8)
2 2
1 1 сtg x
sin x
+
=
;
x
n
π
≠
,
n
Z
∈
(9)
Формули додавання
(
)
sin x
y
sin x cos y
cos x sin y
+
=
+
;
(10)
(
)
sin x
y
sin x cos y cos x sin y
−
=
−
;
(11)
(
)
cos x
y
cos x cos y
sinx sin y
+
=
−
;
(12)
(
)
cos x
y
cos x cos y
sinx sin y
−
=
+
;
(13)

90
(
)
1
tgx tgy
tg x
y
tgxtgy
+
+
=
−
,
x
,
y
,
2
x
y
n
π π
+ ≠ +
,
n
Z
∈
;
(14)
(
)
1
tgx tgy
tg x
y
tgxtgy
−
−
=
−
,
x
,
y
,
2
x
y
n
π π
− ≠ +
,
n
Z
∈
(15)
Формули подвійного аргументу
2 2
sin x
sin x cos x
=
;
(16)
2 2
2 2
2 2
1 1 2
cos x
cos x
sin x
cos x
sin x
=
−
=
− = −
; (17)
2 2
2 1
tgx
tg x
tg x
=
−
,
4 2
x
k
π π
≠ +
,
k
Z
∈
;
2
x
n
π π
≠ +
,
n
Z
∈
. (18)
Формули половинного аргументу (для функцій
sin
і
cos
− формули зниження степеня)
2 1
2 2
x
cos x
sin
−
=
;
(19)
2 1
2 2
x
cos x
cos
+
=
;
(20)
1 2
1
x
sin x
cos x
tg
cos x
sin x
−
=
=
+
,
2
x
n
π
π
≠ +
,
n
Z
∈
(21)
Формули перетворення суми в добуток
2 2
2
x
y
x
y
sin x
sin y
sin
cos
+
−
+
=
;
(22)
2 2
2
x
y
x
y
sin x
sin y
cos
sin
+
−
−
=
;
(23)
2 2
2
x
y
x
y
cos x cos y
cos
cos
+
−
+
=
;
(24)
2 2
2
x
y
x
y
cos x cos y
sin
sin
+
−
−
= −
(25)
(
)
sin x
y
tgx tgy
cos x cos y
+
+
=
,
x
,
2
y
n
π π
≠ +
,
n
Z
∈
;
(26)
(
)
sin x
y
tgx tgy
cos x cos y
−
−
=
,
x
,
2
y
n
π π
≠ +
,
n
Z
∈
(27)

91
Формули перетворення добутку в суму
(
)
(
)
(
)
1 2
sin x sin y
cos x
y
cos x
y
=
− −
+
;
(28)
(
)
(
)
(
)
1 2
cos x cos y
cos x
y
cos x
y
=
+ +
−
;
(29)
(
)
(
)
(
)
1 2
sin x cos y
sin x
y
sin x
y
=
− +
+
(30)
Співвідношення між
sin x
,
cos x
і
2
x
tg
2 2
2 1
2
x
tg
sin x
x
tg
=
+
,
(
)
2 1
x
n
π
≠
+
,
n
Z
∈
;
(31)
2 2
1 2
1 2
x
tg
cos x
x
tg
−
=
+
,
(
)
2 1
x
n
π
≠
+
,
n
Z
∈
(32)
Формули зведення
Назва функції не змінюється Назва функції змінюється на схожу
Функ- ція
u
α
−
π α
−
π α
+
2
π α
−
2
π α
+
3 2
π α
−
3 2
π α
+
sin
sin
α
−
sin
α
sin
α
−
cos
α
cos
α
cos
α
−
cos
α
−
cos
cos
α
cos
α
−
cos
α
−
sin
α
sin
α
−
sin
α
−
sin
α
tg
α
−
tg
α
−
tg
α
ctg
α
ctg
α
−
ctg
α
ctg
α
−
tg
2
/
)
1 2
(
+
≠
n
π
α
,
n
Z
∈
n
α π
≠
,
n
Z
∈
ctg
α
−
ctg
α
−
ctg
α
tg
α
tg
α
−
tg
α
tg
α
−
ctg
n
α π
≠
,
n
Z
∈
2
/
)
1 2
(
+
≠
n
π
α
,
n
Z
∈

92
З
М І С Т
Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Основи сферичної геометрії.
Загальні відомості про сферичні трикутники . . . . . . . . . . .
. . . 3 1.1. Точки та дуги на поверхні сфери. Сферичний двокутник.
Сферичний трикутник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 3 1.2. Сферична відстань.
Географічна сферична система координат . . . . . . . . . . . . .
. . . 8 1.3. Полярні сферичні трикутники . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 11 1.4. Рівність сферичних трикутників. Спряжені трикутники . . . . . 14 1.5. Площа сферичного трикутника . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 15 1.6. Поняття про сферичний многокутник . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Основи сферичної тригонометрії. Основні формули . . . . . .
. . 17 2.1. Формули косинусів сторін сферичного трикутника . . . . .
. . 17 2.2. Формули косинусів кутів сферичного трикутника . . . . . . . . 20 2.3. Сферична теорема синусів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Формули п’яти елементів сферичного трикутника . . . . . .
. . 22 2.5. Формули чотирьох елементів сферичного трикутника . . .
. . 23 3. Розв’язання прямокутних та прямосторонніх сферичних трикутників . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 24 3.1. Формули для розв’язання прямокутних трикутників . . . . . . 24 3.2. Зв’язок між величинами сторін і кутів прямокутного сферичного трикутника . . . . . . . . . . . . . . .
. . 26 3.3. Основні випадки розв’язання прямокутних
і прямосторонніх сферичних трикутників . . . . . . . . . . . . .
. . 28 4. Розв’язання косокутних сферичних трикутників . . . . . . . .
. . 29 4.1. Формули синусів, косинусів та тангенсів половини кутів сферичного трикутника . . . . . . . . . . . . . .
. . 29 4.2. Формули синусів, косинусів та тангенсів половини сторін сферичного трикутника . . . . . . . . . . . . .
. . 31 4.3. Формули Даламбера – Гаусса й аналогії Непера . . . . . . .
. . 34 4.4. Формули для обчислення сферичного надлишку . . . . . . . . . 36 4.5. Основні випадки розв’язання косокутних сферичних трикутників . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 38 5. Розв’язання малих сферичних трикутників за теоремою Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 39
Приклади розв’язання типових задач . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Контрольні запитання та вправи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Список літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 80
Завдання для самостійної роботи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Додаток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
Данилевський
Микола Прокопович,
Колосов
Анатолій Іванович,
Якунін
Анатолій Вікторович
ОСНОВИ
СФЕРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ та ТРИГОНОМЕТРІЇ
Навчальний посібник
Редактор
Д
. Ф. Курильченко
Підп. до друку 22.06.2011 Формат 60х84 1/16
Друк на ризографі Ум. друк. арк. 5,5
Тираж 500 пр. Зам. №
Видавець і виготовлювач:
Харківська національна академія міського господарства, вул. Революції, 12, Харків, 61002
Електронна адреса: rectorat@ksame.kharkov.ua
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи:
ДК №4064 від 12.05.2011