Файл: За правилом Непера 3.pdf

80
СПИСОК
ЛІТЕРАТУРИ
1. Борисенко О.А., Ушакова Л.М. Аналітична геометрія. – Х.:
Основа, 1993. – 192 с.
2. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия. – М.: Наука,
1977. – 135 с.
3. Кашкаха В.Е., Откидач В.В. Сферическая тригонометрия и вычислительные методы в маркшейдерском деле. – Донецк: ДонГУ,
1984. – 112 с.
4. Кранц П. Сферическая тригонометрия. – М.: URSS.ЛКИ,
2007. – 93 с.
5. Матвиевская Г.П. Становление плоской и сферической тригонометрии. Из истории математических идей. – М.: Знание,
1982. – 64 с.
6. Пандул И.С. Сферическая тригонометрия и сферическая астрономия применительно к решению инженерно-геодезических задач. – Л.: ЛГИ, 1982. – 99 с.
7. Сандраков П.В. Решение сферических треугольников. –
Пермь: ПермПИ, 1970. – 81 с.
8. Тарасенкова Н.А., Петрова Є.В. Вступ до сферичної гео- метрії. – Черкаси: ЧНУ, 2008. – 80 с.

81
З ав д ання
д л я сам ості йної робо ти
1. Визначити довжину дуги
l
паралелі земної кулі (
6370
R
=
км) на широті
ϕ
, якщо різниця довгот дорівнює
λ
∆
№
λ
∆
ϕ
№
λ
∆
ϕ
1 1°10'15''
55°45'00''
11 17°19'21''
31°45'17''
2 5°12'17''
54°31'25''
12 20°17'18''
35°40'01''
3 2°11'18''
56°29'30''
13 26°30'17''
40°31'02''
4 25°17'19''
56°50'40''
14 11°29'11''
43°17'07''
5 5°20'30''
89°10'10''
15 9°33'18''
45°18'19''
6 4°31'49''
45°10'02''
16 7°41'35''
46°19'17''
7 10°29'03''
40°21'05''
17 6°31'17''
80°20'03''
8 11°30'41''
39°31'42''
18 15°17'13''
82°17'07''
9 30°10'29''
49°27'12''
19 19°21'34''
85°20'20''
10 26°11'30''
44°31'11''
20 13°31'11''
81°30'15''
2. Довжина дуги
AB
паралелі земної кулі (
6370
R
=
км) на широті
ϕ
дорівнює
l
. Визначити довжину дуги
S
екватора між меридіанами, що проходять через точки
A
та
B
№
l
(км)
ϕ
№
l
(км)
ϕ
1 73. 26 55°45'00''
11 1637.04 31°45'17''
2 335.83 54°31'25''
12 1832.50 35°40'01''
3 134.31 56°29'30''
13 2240.13 40°31'02''
4 1537.65 56°50'40''
14 929.61 43°17'07''
5 8.61 89°10'10''
15 747.15 45°18'19''
6 355.10 45°10'02''
16 590.67 46°19'17''
7 886.88 40°21'05''
17 121.73 80°20'03''
8 987.13 39°31'42''
18 228.15 82°17'07''
9 2180.82 49°27'12''
19 174.95 85°20'20''
10 2076.23 44°31'11''
20 222.07 81°30'15''
3. Різні задачі
3.1. Знайти довжину дуги
S
великого кола земної кулі
(
6370
R
=
км), на яку спирається центральний кут
40 10'
α
=
o
3.2. Довжина дуги
S
великого кола земної кулі (
6370
R
=
км) дорівнює
1132
км. Знайти центральний кут
α
, що спирається на цю дугу.

82 3.3. Визначити різницю довгот
∆λ
, якщо довжина дуги паралелі
5
,
102
=
l
км на широті
55 45'
ϕ
=
o
. Взяти
6370
R
=
км.
3.4. Визначити відстань
S
від Москви (
55 45'
ϕ
=
o
) до
Північного полюса. Взяти
6370
R
=
км.
3.5. Визначити радіус сфери
R
, якщо площа сферичного трикутника
288 39
F
,
=
кв. од., а його кути
49 19 32
A
'
''
=
o
,
81 30 12
B
'
''
=
o та
53 27 56
C
'
''
=
o
3.6. Довжина дуги паралелі
1000
=
l
км на широті
55 45'
ϕ
=
o
Визначити різницю довгот
∆λ
. Взяти
6370
R
=
км.
3.7. Визначити центральний кут
α
, що спирається на дугу великого кола земної кулі (
6370
R
=
км) довжиною
23286
S
=
км.
3.8. Знайти довжину дуги
S
великого кола, на яку спирається центральний кут
42 54 50
'
''
α
=
o
. Взяти
6370
R
=
км.
3.9. Визначити площу
F
сферичного трикутника з кутами
46 29 24
A
'
''
=
o
,
69 55 23
B
'
''
=
o та
74 41 46
C
'
''
=
o та
10
R
=
м.
3.10. Визначити площу
F
двокутника, якщо довжина дуги малого кола
200
=
l
м, обмежена сторонами двокутника на широті
30
ϕ
=
o
, а
3180
R
=
м.
3.11. Визначити радіус сфери
R
, якщо площа сферичного трикутника
729843
F
=
кв. од., а його кути
52 09 47
A
'
''
=
o
,
74 27 19
B
'
''
=
o та
84 52 56
C
'
''
=
o
3.12. Центральний кут великого кола земної кулі (
6370
R
=
км)
160 08 35
'
''
α
=
o
. Визначити довжину дуги
S
, на яку спи- рається цей кут.
3.13. Довжина дуги
S
великого кола земної кулі (
6370
R
=
км) дорівнює 10000 км, визначити величину відповідного центрального кута
α
3.14. Довжина дуги паралелі
111
=
l
км на широті
30
ϕ
=
o земної поверхні (
6370
R
=
км). Визначити різницю довгот
∆
l
3.15. Визначити площу
F
двокутника, якщо довжина дуги малого кола
57
=
l
км, що обмежена сторонами двокутника на широті
60 10'
ϕ
=
o
, а
6370
R
=
км.

83 3.16. Визначити радіус сфери
R
, якщо площа сферичного трикутника
23684388
F
=
км
2
, а кути
80 17 13
A
'
''
=
o
,
100 17 10
B
'
''
=
o та
32 52 12
C
'
''
=
o
3.17. Визначити площу
F
сферичного трикутника, якщо
37 12 17
A
'
''
=
o
,
120 17 37
B
'
''
=
o
,
33 17 19
C
'
''
=
o
і
100
R
=
см.
3.18. Знайти центральний кут
α
великого кола земної кулі
(
6370
R
=
км), що спирається на дугу
23286
S
=
км.
3.19. Визначити площу двокутника
F
, якщо довжина дуги малого кола
111
=
l
км, що обмежена сторонами двокутника на широті
55 45'
ϕ
=
o
, а
6370
R
=
км.
3.20. Визначити довжину дуги
S
великого кола земної кулі
(
6370
R
=
км), на яку спирається центральний кут
208 42 17
'
''
α
=
o
4. Визначити найкоротшу (ортодромічну) відстань
2 1
M
M
між двома точками
1
M
та
2
M
земної кулі (
6370
R
=
км), що задані їх географічними координатами (
ϕ
,
λ
)*. Знайти азимут
21
µ
точки
2
M
відносно точки
1
M
. Знайти довжину
S
та кут
K
локсодромії між точками
1
M
та
2
M
№ 1
M
2
M
№ 1
M
2
M
1
(55°50'; 60°35')
(56°45'; 37°30')
11
(59°56'; 30°17')
(56°52'; 35°53')
2
(53°20'; 61°31')
(50°30'; 41°31')
12
(37°16'; 42°18')
(45°27'; 61°30')
3
(45°11'; 60°29')
(56°45'; 37°30')
13
(41°18'; 60°17')
(51°19'; 62°18')
4
(51°12'; 45°30')
(51°12'; 62°11')
14
(44°19'; 64°23')
(52°21'; 65°19')
5
(41°39'; 81°20')
(60°14'; 69°13')
15
(47°20'; 62°20')
(54°37'; 63°11')
6
(49°18'; 72°31')
(30°28'; 80°17')
16
(49°21'; 61°31')
(52°41'; 64°15')
7
(31°21'; 10°37')
(45°30'; 60°17')
17
(52°31'; 60°47')
(61°13'; 80°16')
8
(48°31'; 21°45')
(60°42'; 45°18')
18
(54°11'; 49°30')
(58°17'; 72°13')
9
(51°39'; 32°16')
(62°17'; 41°19')
19
(56°27'; 48°31')
(60°17'; 70°01')
10
(55°46'; 37°30')
(59°56'; 30°17')
20
(62°17'; 45°30')
(70°18'; 50°11')
*
Скрізь
λ
− східна довгота,
ϕ
− північна широта.

84 5. За даними елементами прямокутного сферичного трикут- ника (
90
A
=
o
) знайти:
1) невідомі елементи та дослідити їх на існування трикутника;
2)
ε
(сферичний надлишок),
р
(півпериметр),
m
r
та
m
R
(сферичні радіуси вписаного та описаного малих кіл) даного три- кутника;
3) площу
F
трикутника в км
2
, за радіус сфери взяти
6370
R
=
км.
Завдання 2) і 3) виконати тільки для випадку а). а) Дано гіпотенузу та катет:
№
a
b
№
a
b
1 61°07'08''
33°18'17''
11 61°07'08''
54°41'47''
2 32°08'00''
23°50'48''
12 32°08'00''
22°12'00''
3 64°03'10''
40°04'16''
13 64°03'10''
55°07'35''
4 107°17'00''
143°12'03''
14 107°17'00''
68°13'15''
5 83°01'04''
73°02'12''
15 83°01'04''
65°22'56''
6 58°40'13''
15°15'42''
16 58°40'13''
12°22'39''
7 78°21'49''
13°02'17''
17 78°21'49''
78°03'04''
8 83°01'04''
73°02'12''
18 83°01'04''
65°22'56''
9 115°56'50''
124°52'25''
19 58°40'13''
15°15'42''
10 80°52'27''
72°13'48''
20 64°03'10''
40°04'16'' б) Дано два катета:
№
b
c
№
b
c
1 48°27'21''
33°07'37''
11 50°00'00''
52°55'26''
2 51°02'48''
12°16'42''
12 57°13'00''
98°47'00''
3 48°54'54''
12°16'42''
13 108°07'00''
39°03'05''
4 50°00'00''
52°55'26''
14 43°18'02''
118°53'58''
5 2°44'00''
11°38'11''
15 75°18'12''
118°09'21''
6 43°18'02''
118°53'58''
16 98°47'00''
57°13'00''
7 75°18'12''
118°09'21''
17 52°55'26''
50°00'00''
8 47°15'00''
56°25'00''
18 56°25'00''
47°15'00''
9 63°31'26''
58°40'30''
19 58°40'30''
63°31'26''
10 2°44'00''
11°38'11''
20 12°16'42''
48°54'54''

85
в) Дано гіпотенузу та прилеглий кут:
№
a
B
№
a
B
1 40°33'40''
65°58'47''
11 120°38'43''
116°56'17''
2 127°32'26''
21°08'18''
12 115°17'20''
19°13'50''
3 120°38'43''
44°54'44''
13 60°21'19''
32°39'23''
4 115°17'20''
98°28'30''
14 87°16'00''
76°57'43''
5 60°21'19''
72°24'40''
15 44°44'18''
47°37'21''
6 87°16'00''
78°21'49''
16 60°22'25''
38°57'12''
7 44°44'18''
52°05'54''
17 87°16'00''
78°21'49''
8 60°22'25''
68°12'58''
18 120°38'43''
116°56'17''
9 40°33'40''
30°23'50''
19 115°17'20''
19°13'50''
10 127°32'26''
103°15'23''
20 60°16'00''
78°03'04'' г) Дано катет і прилеглий кут:
№
b
C
№
b
C
1 54°06'20''
73°11'06''
11 118°12'48''
55°30'20''
2 60°38'07''
40°56'23''
12 74°21'53''
52°05'54''
3 50°00'00''
59°56'10''
13 54°08'20''
73°11'06''
4 28°07'10''
8°19'25''
14 37°52'18''
49°21'45''
5 64°30'09''
132°44'57''
15 60°38'07''
40°56'23''
6 37°52'18''
49°21'45''
16 38°25'51''
47°30'18''
7 50°00'00''
59°56'10''
17 28°07'10''
8°19'25''
8 2°44'00''
78°21'49''
18 64°30'09''
132°44'57''
9 28°07'10''
8°19'25''
19 54°06'20''
73°11'06''
10 64°30'09''
132°44'57''
20 60°38'07''
40°56'23'' д) Дано два кута:
№
B
C
№
B
C
1 58°27'40''
53°43'14''
11 53°43'14''
58°27'40''
2 32°14'03''
64°59'40''
12 64°59'40''
32°14'13''
3 42°38'51''
63°13'22''
13 63°13'22''
42°38'51''
4 11°56'56''
87°16'00''
14 66°20'00''
74°30'00''
5 77°43'18''
52°05'51''
15 87°16'00''
11°56'56''
6 74°30'00''
66°20'00''
16 52°30'00''
48°12'17''
7 48°12'47''
52°30'00''
17 140°10'04''
70°05'02''
8 13°19'00''
87°16'00''
18 87°16'00''
13°19'00''
9 70°05'02''
140°10'04''
19 58°27'40''
53°43'14''
10 87°16'00''
13°19'00''
20 42°38'51''
63°13'22''

86
е) Дано катет і протилежний кут:
№
b
B
№
b
B
1 29°31'40''
60°28'05''
11 18°42'58''
34°30'20''
2 38°29'00''
55°34'00''
12 33°01'24''
46°14'48''
3 35°03'00''
49°07'00''
13 37°23'43''
53°05'00''
4 108°41'36''
102°35'40''
14 41°19'28''
42°52'09''
5 4°33'27''
71°26'24''
15 1°32'06''
18°38'15''
6 162°37'18''
111°17'43''
16 7°00'26''
22°22'04''
7 51°02'48''
80°14'41''
17 12°16'42''
15°38'07''
8 108°41'36''
102°35'40''
18 41°19'28''
42°52'09''
9 138°40'32''
137°07'57''
19 161°17'02''
145°20'40''
10 146°58'36''
133°45'12''
20 142°58'36''
126°55'00''
6. За даними елементами косокутного сферичного трикутника знайти:
1) невідомі елементи та дослідити їх на існування трикутника;
2)
ε
(сферичний надлишок),
р
(півпериметр),
m
r
та
m
R
(сферичні радіуси вписаного та описаного малих кіл) даного три- кутника;
3) площу
F
сферичного трикутника в км
2
, якщо радіус сфери
6370
R
=
км.
Завдання 2) і 3) виконати тільки для випадку а). а) Дано три сторони:
№
a
b
c
№
a
b
c
1 34°12'48''
42°55'12''
51°02'30''
11 109°14'32''
65°46'04''
80°38'18''
2 59°46'20''
83°17'38''
96°04'22''
12 129°16'54''
45°09'46''
112°58'04''
3 82°11'17''
64°19'21''
31°31'30''
13 39°01'40''
77°18'34''
69°32'35''
4 69°34'26''
57°49'22''
114°16'14''
14 60°31'41''
117°28'18''
78°42'26''
5 60°31'42''
117°28'19''
78°42'23''
15 142°47'00''
118°48'00''
83°17'00''
6 171°18'12''
54°07'16''
133°09'24''
16 51°12'26''
75°03'10''
45°55'52''
7 42°18'00''
17°12'00''
58°30'00''
17 42°55'12''
34°12'48''
51°02'30''
8 79°33'20''
65°28'20''
37°51'40''
18 64°19'12''
82°11'17''
31°31'30''
9 30°04'56''
27°32'22''
32°15'48''
19 117°27'59''
60°32'00''
78°42'23''
10 69°30'36''
62°20'54''
39°46'43''
20 65°28'20''
37°51'40''
79°33'20''

87
б) Дано три кути:
№
A
B
C
№
A
B
C
1 62°05'40''
54°36'10''
70°14'30''
11 132°54'22''
44°08'36''
36°17'49''
2 90°40'16''
71°00'36''
43°04'39''
12 112°56'18''
70°56'10''
57°54'54''
3 116°08'04''
60°07'25''
69°45'17''
13 118°19'56''
31°16'39''
48°37'53''
4 123°15'06''
50°00'20''
84°07'18''
14 32°56'31''
128°13'15''
56°40'54''
5 40°00'48''
95°02'16''
73°04'34''
15 36°28'26''
111°50'54''
52°14'16''
6 47°59'12''
130°46'58''
56°48'52''
16 106°59'00''
56°55'00''
100°40'00''
7 148°14'00''
130°18'00''
120°12'00''
17 121°15'13''
81°36'20''
34°15'36''
8 49°54'13''
108°30'47''
44°50'42''
18 64°40'30''
22°48'09''
106°43'40''
9 83°42'39''
54°16'13''
55°05'54''
19 120°26'21''
39°04'28''
57°46'10''
10 132°54'22''
44°08'36''
36°17'49''
20 74°32'10''
49°10'18''
61°09'50''
в) Дано дві сторони та кут між ними:
№
a
b
C
№
a
b
C
1 48°12'36''
37°30'42''
55°05'54''
11 40°28'36''
110°18'32''
56°40'54''
2 104°23'15''
67°04'28''
36°17'49''
12 38°15'06''
75°10'08''
52°14'16''
3 105°40'00''
62°21'14''
70°56'10''
13 118°31'00''
50°20'00''
100°40'00''
4 35°00'28''
56°01'25''
118°19'26''
14 50°10'30''
40°00'10''
121°36'20''
5 30°04'56''
27°32'22''
70°14'04''
15 45°09'46''
112°58'04''
123°15'06''
6 62°20'54''
39°46'43''
90°40'16''
16 39°01'40''
77°18'34''
73°04'34''
7 69°30'36''
62°20'54''
43°04'39''
17 69°32'35''
39°01'40''
95°02'16''
8 109°14'32''
65°46'04''
69°45'17''
18 60°31'41''
117°28'18''
56°48'52''
9 65°46'04''
80°38'18''
116°08'04''
19 78°42'26''
60°31'41''
130°46'58''
10 129°16'54''
45°09'46''
84°07'18''
20 118°48'00''
83°17'00''
148°14'00''
г) Дано сторону та прилеглі до неї кути:
№
a
B
C
№
a
B
C
1 64°02'41''
22°48'09''
106°43'40''
11 55°25'20''
36°28'26''
111°50'54''
2 100°00'00''
39°04'28''
57°46'10''
12 85°57'50''
32°56'31''
128°13'15''
3 22°04'47''
74°32'10''
61°09'50''
13 76°34'55''
31°16'39''
48°37'53''
4 118°50'00''
49°18'00''
61°40'00''
14 81°10'58''
112°56'18''
57°54'54''
5 34°29'34''
59°32'16''
77°18'20''
15 51°31'20''
132°54'22''
44°08'36''
6 68°12'58''
56°52'23''
76°00'32''
16 37°58'00''
83°42'39''
54°16'13''
7 68°50'00''
114°35'00''
30°19'00''
17 30°04'56''
54°36'10''
70°14'30''
8 66°32'00''
111°32'00''
75°51'00''
18 62°20'54''
90°40'16''
43°20'39''
9 76°56'00''
42°15'13''
34°15'36''
19 39°46'43''
90°40'16''
71°00'13''
10 115°28'00''
106°59'00''
56°55'00''
20 45°09'46''
123°15'06''
84°07'18''

88
д) Дано дві сторони та кут, що лежить проти однієї з них:
№
a
b
A
№
a
b
A
1 47°04'46''
36°39'51''
56°16'50''
11 28°36'22''
20°04'47''
49°10'18''
2 54°33'51''
97°12'25''
51°18'13''
12 28°36'22''
25°47'46''
74°32'10''
3 63°22'30''
81°14'20''
54°39'10''
13 58°54'43''
83°51'23''
49°18'00''
4 112°40'26''
58°27'42''
98°22'40''
14 36°52'33''
42°46'04''
59°32'16''
5 82°33'51''
27°16'09''
26°31'57''
15 52°05'54''
66°06'04''
56°52'23''
6 57°41'13''
76°34'42''
40°23'28''
16 85°03'00''
33°34'00''
114°35'00''
7 66°02'00''
108°49'00''
64°28'00''
17 107°16'00''
84°30'00''
111°32'00''
8 113°03'00''
82°39'00''
116°20'00''
18 72°17'58''
22°40'34''
106°43'40''
9 22°40'34''
72°17'58''
22°48'09''
19 100°00'00''
75°04'07''
120°26'21''
10 46°31'13''
75°04'07''
39°03'13''
20 22°04'47''
25°47'46''
49°10'18''
е) Дано сторону та два кути, один з яких лежить проти даної сторони:
№
a
A
B
№
a
A
B
1 54°12'28''
66°10'42''
41°00'24''
11 113°15'13''
72°40'32''
60°57'47''
2 124°10'48''
96°48'12''
46°07'06''
12 66°44'47''
72°40'32''
155°24'40''
3 52°35'25''
54°42'20''
81°26'35''
13 103°27'00''
73°13'22''
143°30'11''
4 26°50'14''
39°37'09''
69°25'27''
14 76°33'00''
73°13'22''
100°23'23''
5 61°05'12''
59°30'40''
73°13'22''
15 92°55'30''
100°23'23''
59°30'40''
6 57°17'28''
60°57'33''
72°40'32''
16 155°47'40''
144°36'36''
69°25'27''
7 51°24'00''
50°32'00''
109°51'00''
17 138°29'08''
69°25'27''
39°37'09''
8 44°55'05''
100°02'04''
152°03'10''
18 44°21'16''
81°02'25''
69°25'27''
9 160°21'47''
152°03'10''
169°21'35''
19 105°46'00''
81°26'35''
54°42'20''
10 122°24'00''
109°51'00''
103°25'00''
20 74°57'51''
82°54'46''
81°26'35''

89