Файл: Методические указания для практических занятий для студентов специальности 280102 Безопасность технологических процессов и производств.pdf

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Ухтинский государственный технический университет
Кафедра промышленной безопасности и охраны окружающей среды
ОСНОВЫ РАСЧЁТА НАДЁЖНОСТИ
Методические указания для практических занятий для студентов специальности 280102 «Безопасность технологических процессов и производств»
Ухта 2008

УДК 614:551.521 (076.5)
Н 82
Нор, Е.В.
Основы расчёта надёжности [Текст]: метод. указания для практических занятий /
Е.В. Нор, Е.С. Бердникова. – Ухта: УГТУ, 2008. – 37 с.
Методические указания предназначены для практических занятий по дисциплине
«Надёжность технических систем и техногенный риск» для студентов специальности 280102.65 «Безопасность технологических процессов и производств».
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой ПБ и ООС от 19.06.08 протоколом № 8.
Рецензент: Бердник А.Г., доцент кафедры ПБ и ООС, к.т.н.
Редактор: Колесник О.А., ассистент кафедры ПБ и ООС.
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2008 г., позиция 115.
Подписано в печать 18.12.2008 г. Компьютерный набор.
Объём 37 с. Тираж 50 экз. Заказ № 226.
© Ухтинский государственный технический университет, 2008 169300, Республика Коми, ул. Первомайская, д. 13.
Отдел оперативной полиграфии УГТУ.
169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.

3
СОДЕРЖАНИЕ
1 Расчёт показателей надёжности нерезервированных невосстанавливаемых систем ............................................................................................................................... 4 1.1 Методы расчёта показателей надёжности ............................................................. 4 1.2 Примеры решения задач .......................................................................................... 5 1.3 Задачи для самостоятельного решения ................................................................ 16 2 Расчёт показателей надёжности резервированных невосстанавливаемых систем ............................................................................................................................ 19 2.1 Методы расчёта показателей надёжности ........................................................... 19 2.1.1 Общее резервирование с постоянно включенным резервом .......................... 19 2.1.2 Общее резервирование замещением ................................................................. 21 2.1.3 Раздельное резервирование ................................................................................ 22 2.1.4 Резервирование с дробной кратностью ............................................................. 23 2.1.5 Скользящее резервирование ............................................................................... 23 2.2 Примеры решения задач ........................................................................................ 24 2.3 Задачи для самостоятельного решения ................................................................ 35
Библиографический список .......................................................................................... 37

4
1 РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ НЕРЕЗЕРВИРОВАННЫХ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
1.1 Методы расчёта показателей надёжности
Критериями надёжности невосстанавливаемых систем являются:
1) P
c
(t)
– вероятность безотказной работы системы в течение времени t;
2) T
c
– среднее время безотказной работы системы;
3) λ
c
(t)
– интенсивность отказа системы в момент времени t;
4) f c
(t) – плотность распределения времени до отказа.
Между этими показателями существуют следующие зависимости:
∫
=
t
c
dt
t
c
e
t
P
0
)
(
)
(
λ
dt
t
P
T
c
c
)
(
0
1
∫
∞
=
)
(
)
(
)
(
t
P
t
f
t
c
c
c
=
λ
)
(
)
(
)
(
'
'
t
P
t
Q
t
f
c
c
c
−
=
=
dt
t
f
t
P
t
c
c
)
(
1
)
(
0
∫
−
=
Замечание: следует иметь в виду, что среднее время безотказной работы является неудовлетворительным показателем надёжности систем с коротким временем работы.
Структурная схема нерезервированной системы, состоящей из n элементов, приведена на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – Структурная схема нерезервированной системы
При отказе любого элемента наступает отказ системы. При этом остальные элементы системы прекращают свою работу.
Показатели надёжности такой системы вычисляются по формулам:
)
(
)
(
1
t
P
П
t
P
j
n
j
c
=
=
∫
∞
=
0
1
)
( dt
t
P
T
c
c
1 2
… n

5
∑
=
=
n
j
j
c
t
t
1
)
(
)
(
λ
λ
)
(
)...
(
)
(
...
)
(
)...
(
)
(
)
(
)...
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
t
f
t
P
t
P
t
P
t
f
t
P
t
P
t
P
t
f
t
f
n
n
n
c
+
+
+
=
, где P
j
(t) – вероятность безотказной работы j-го элемента, j = 1,2, …, n; f
j
(t) – плотность распределения времени до отказа j-го элемента, j = 1,2, …,n;
λ
j
(t) – интенсивность отказа j-го элемента, j = 1,2, …, n.
Для случая постоянных интенсивностей отказов элементов имеют место соотношения:
t
c
c
e
t
P
λ
−
=
)
(
∑
=
=
n
j
j
c
1
λ
λ
c
c
T
λ
1
1
=
t
c
c
c
e
t
f
λ
λ
−
=
)
(
1.2 Примеры решения задач
Пример 1.1.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов.
Интенсивности их отказов приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1 – Интенсивности отказов элементов
Номер элемента 1
2
3
4 5
λ
i
, час
-1 0,00007 0,00005 0,00004 0,00006 0,00004
Определить показатели надёжности системы: интенсивность отказа, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы. Показатели надёжности P(t) и f(t) получить на интервале от 0 до 1000 часов с шагом 100 часов.
Решение.
Вычислим интенсивность отказа и среднее время безотказной работы системы:
00026
,
0
00004
,
0
00006
,
0
00004
,
0
00005
,
0
00007
,
0
1
=
+
+
+
+
=
=
∑
=
n
i
i
с
λ
λ
час
-1
3846
00026
,
0
1
1
1
=
=
=
c
c
T
λ
час

6
Получим значения вероятности безотказной работы и плотности распределения времени до отказа, табулируя функции на интервале от 0 до 1000 часов.
t
t
c
e
e
t
P
c
⋅
−
−
=
=
00026
,
0
)
(
λ
и
t
t
c
c
e
e
t
f
c
⋅
−
−
=
=
00026
,
0
00026
,
0
)
(
λ
λ
Результаты табулирования представлены в таблице 1.2.
Таблица 1.2 – Вероятность безотказной работы и плотность распределения времени до отказа
t, час
P
c
(t)
f
c
(t)
0 1 0,00026 100 0,974335 0,000253 200 0,949329 0,000247 300 0,924964 0,000240 400 0,901225 0,000234 500 0,878095 0,000228 600 0,855559 0,000222 700 0,833601 0,000217 800 0,812207 0,000211 900 0,791362 0,000206 1000 0,771052 0,000200
Графическая иллюстрация P
c
(t) и f c
(t) показана на рисунках 1.2 и 1.3.
Рисунок 1.2 – Вероятность безотказной работы системы

7
Рисунок 1.3 – Плотность распределения времени до отказа
Интенсивность отказа системы в данном случае есть величина постоянная, равная λ
с
=0,00026 час
-1
, её графиком является прямая, параллельная оси времени.
Пример 1.2.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов, имеющих различные законы распределения времени работы до отказа. Виды законов распределения и их параметры приведены в таблице 1.3.
Таблица 1.3 – Законы распределения времени до отказа
Номер
элемента
1 2 3 4 5
Закон распределения времени до отказа
W(2; 1800)
Г(7; 300)
R(8·10
-8
) Exp(0,002) TN(2000;
90)
В таблице 1.3 и в дальнейшем приняты следующие обозначения законов распределения:
W
–
Вейбулла;
Г – гамма;
R
–
Рэлея;
Exp
– экспоненциальный;
TN
– усечённый нормальный;
N
– нормальный;
U
– равномерный.
В скобках указаны параметры распределений.

8
Определить показатели надёжности каждого элемента и всей системы: вероятность безотказной работы; среднее время безотказной работы; интенсивность отказа, плотность распределения времени безотказной работы. Для показателей, зависящих от времени, получить решение в виде таблиц и графиков.
Решение:
в таблице 1.3 заданы параметры законов распределения времени до отказа. Вычислим начальные моменты распределений: математические ожидания и средние квадратические отклонения. Для этого воспользуемся формулами связи моментов с параметрами распределений, которые приведены в таблице 1.4.
Таблица 1.4 – Связь параметров распределений с первыми двумя моментами
Распределение m
σ
Экспоненциальное Exp(λ)
λ
1
λ
1
Равномерное U(a, b), a≥0
2
b
a
+
3
2
a
b
−
Гамма Г(α, β)
α·β
β
α
⋅
Усечённое нормальное
TN(m
0
, σ
0
)
0
0
σ
⋅
+ k
m
2
0
0
0
1
k
m
k
−
⋅
+
⋅
σ
σ
2
0
2
0
2
2
σ
π
m
e
c
k
−
⋅
=
0
0
0
5
,
0
1
σ
m
Ф
c
⋅
+
=
Рэлея R(λ)
λ
π
4
λ
π
4
4
−
Вейбулла W(α, β)
)
/
1
1
(
α
β
+
Г
)
/
1
1
(
)
/
2
1
(
2
α
α
β
+
⋅
−
+
⋅
⋅
Г
Г
Нормальное N (m, σ) m>3·σ m
σ
В таблице введены следующие обозначения:
dx
e
t
Ф
t
x
∫
−
⋅
=
0
2
0
2
2
1
)
(
π
– функция Лапласа;
dx
e
x
Г
x
−
∞
−
∫
=
0
1
)
(
α
α
– гамма – функция.
Определим математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени до отказа элементов.
Элемент 1. Распределение Вейбулла с параметром формы α = 2 и параметром масштаба β = 1800:

9
m=1800·Г(1,5)=1595 час,
)
5
,
1
(
)
2
(
1800
2
Г
Г
−
⋅
=
σ
=834 час.
Элемент 2. Гамма – распределение с параметром формы α = 7 и параметром масштаба β = 300:
m=7·300 =2100 час,
300 7
⋅
=
σ
=794 час.
Элемент 3. Распределение Рэлея с параметром λ=8·10
-8
:
3133
10
8
4
8
=
⋅
⋅
=
−
π
m
час,
1638
10
8
4
4
8
=
⋅
⋅
−
=
−
π
σ
час.
Элемент 4. Экспоненциальное распределение с параметром λ=0,0002:
5000
0002
,
0
1
=
=
m
час,
5000
=
= m
σ
час.
Элемент 5. Усечённое нормальное распределение с параметрами m
0
= 2000,
σ
0
= 900:
2
0
2
0
2
0
0
0
5
,
0
2
1
σ
σ
π
m
e
m
Ф
k
−
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
=
=
0342
,
0
900
2000
5
,
0
2
1
2
2
900
2
2000
0
=
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
−
e
Ф
π
Значит,
2029 900 0342
,
0 2000
=
⋅
+
=
m
час,
931
0342
,
0
900
2000
0342
,
0
1
900
2
=
−
⋅
+
⋅
=
σ
час.
Полученные значения сведены в таблицу 1.5.
Таблица 1.5 – Параметры законов распределения времени до отказа элементов
Номер элемента
1 2 3 4 5
Среднее время безотказной работы, час. 1595 2100 3133 5000 2029
Среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы, час
834 794 1638 5000 931
Для вычисления вероятности безотказной работы и плотности распределения времени до отказа элементов нам потребуются аналитические выражения, которые приведены в таблице 1.6.

10
В гамма–распределении функция
dx
e
x
Г
t
I
x
t
−
−
∫
⋅
=
0
1
)
(
1
)
,
(
α
α
α
есть неполная гамма – функция.
Таблица 1.6 – Некоторые законы распределения вероятностей
Распределение f(t)
P(t)
Экспоненциальное Exp(λ)
λ·e
-λt e
-λt
Равномерное U(a, b), a≥0
b
t
a
a
b
≤
≤
⎩
⎨
⎧
−
,
1
0, tb
1, t,
a
b
t
b
−
−
a ≤t ≤ b;
0, t>b
Гамма Г(α, β)
β
α
α
α
β
t
e
Г
t
−
−
)
(
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
β
α
t
I
,
1
Усечённое нормальное
TN (m
0
, σ
0
) m≥1,33σ
2
0
2
0
2
)
(
0
2
σ
π
σ
m
t
e
С
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
0
0