Файл: Методические указания для практических занятий для студентов специальности 280102 Безопасность технологических процессов и производств.pdf

12
В последнюю колонку записаны значения вероятностей безотказной работы системы, которые определяются произведением вероятностей безотказной работы элементов:
P
с
(t) = P
1
(t) P
2
(t) P
3
(t) P
4
(t) P
5
(t)
На рисунке 1.4 показаны графики функций P
i
(t)
, i=1,2,3,4,5, соответствующих вероятностям безотказной работы элементов. Номера графиков соответствуют номерам элементов. На рисунке 1.5 изображён график вероятности безотказной работы системы P
с
(t).
Рисунок 1.4 – Вероятность безотказной работы элементов
Рисунок 1.5 – Вероятность безотказной работы системы
Из графиков видно различное поведение вероятностей безотказной работы элементов. Скорость убывания вероятностей зависит от вида и параметров закона распределения. В нашем случае медленнее всего убывает P(t) для

13 экспоненциального распределения и распределения Рэлея, т.е. при большом времени работы наиболее надёжными оказываются третий и четвёртый элементы системы.
Вычислим среднее время безотказной работы системы:
dt
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
dt
t
P
T
c
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
5
4
3
0
0
2
1
1
∫
∫
∞
∞
=
=
по формуле Симпсона:
(
)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
⋅
=
∑
−
=
1
1
5
4
3
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
3
1
3
n
k
k
kh
P
kh
P
kh
P
kh
P
kh
P
h
T
, где n – число точек; h – шаг интегрирования, выбираемый из условия обеспечения требуемой точности.
Расчёты показывают, что для данных таблицы 1.7 Т
1
=976,3 час.
На рисунке 1.6 изображены графики интенсивностей отказов элементов.
Кривая 4, соответствующая экспоненциальному закону, параллельна оси времени, т.к. имеет постоянную интенсивность отказа. Все остальные кривые интенсивностей отказов являются возрастающими функциями времени.
На рисунке 1.7 показан график интенсивности отказа системы, равной сумме интенсивностей отказов её элементов:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
5
4
3
2
1
t
t
t
t
t
t
c
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
+
+
=
Рисунок 1.6 – Интенсивность отказов элементов

14
Рисунок 1.7 – Интенсивность отказа системы
Интенсивность отказа системы также является возрастающей функцией времени, что говорит о том, что система является стареющей, а закон распределения времени до её отказа не экспоненциальный.
Вычислим плотности распределения вероятностей времени безотказной работы элементов.
Элемент 1. Распределение Вейбулла:
2
1800
2
1
1
1800
2
)
(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
=
t
t
e
t
e
t
t
f
α
β
α
α
β
α
Элемент 2. Гамма-распределение:
300
7
6
1
2
)
7
(
300
)
(
)
(
t
t
e
Г
t
e
Г
t
t
f
−
−
−
=
=
β
α
α
α
β
Элемент 3. Распределение Рэлея:
2
8
2
10
8
8
3
10
8
2
2
)
(
t
t
te
te
t
f
⋅
⋅
−
−
−
−
⋅
⋅
=
=
λ
λ
Элемент 4. Экспоненциальное распределение:
t
t
e
e
t
f
0002
,
0
4
0002
,
0
)
(
−
−
=
⋅
=
λ
λ
Элемента 5. Усечённое нормальное распределение:
2
2
2
0
2
0
900
2
)
2000
(
0
2
)
(
0
5
900
2000
5
,
0
2
900
1
2
)
(
⋅
−
−
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
t
m
t
e
Ф
e
c
t
f
π
π
σ
σ

15
Табулируя плотности распределения от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов, получим таблицу 1.8.
Таблица 1.8 – Плотности распределения времени безотказной работы элементов
t, час
f
1
(t) f
2
(t) f
3
(t) f
4
(t) f
5
(t)
0 0,0002 0 0,000038 0 0
100 0,000196 0 0,000048 0,000016 0,000062 200 0,000192 0 0,000061 0,000032 0,000122 300 0,000188 0,000002 0,000075 0,000048 0,000180 400 0,000185 0,000007 0,000092 0,000063 0,000235 500 0,000181 0,000019 0,000112 0,000078 0,000286 600 0,000177 0,00004 0,000134 0,000093 0,000331 700 0,000174 0,000072 0,000158 0,000108 0,000371 800 0,000170 0,000116 0,000185 0,000122 0,000405 900 0,000167 0,000168 0,000213 0,000135 0,000433 1000 0,000164 0,000227 0,000242 0,000148 0,000453 1100 0,000161 0,000288 0,000272 0,000160 0,000467 1200 0,000157 0,000347 0,000303 0,000171 0,000475 1300 0,000154 0,000402 0,000332 0,000182 0,000476 1400 0,000151 0,000450 0,000360 0,000191 0,000472 1500 0,000148 0,000487 0,000385 0,000200 0,000462 1600 0,000145 0,000514 0,000407 0,000209 0,000448 1700 0,000142 0,000530 0,000425 0,000216 0,000430 1800 0,000140 0,000535 0,000438 0,000222 0,000409 1900 0,000137 0,000531 0,000446 0,000228 0,000385 2000 0,000134 0,000517 0,000449 0,000232 0,000359
Графики, построенные по данным таблицы 1.8, представлены на рисунке 1.8.
Рисунок 1.8 – Плотности распределения времени до отказа элементов
Плотность распределения времени до отказа системы f c
(t) изображена на рисунке 1.9. Для её изображения вычисления выполнялись по формуле:
)
(
)
(
)
(
t
P
t
t
f
c
c
c
λ
=

16
Рисунок 1.9 – Плотность распределения времени до отказа системы
Из графика отчётливо видна неэкспоненциальность распределения времени до отказа нерезервированной системы, если законы распределения времени до отказа её элементов не являются экспоненциальными.
1.3
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.1
. Техническая система состоит из n = 3 подсистем, которые могут отказать независимо друг от друга. Отказ каждой подсистемы приводит к отказу всей системы. Вероятность того, что в течение времени t первая подсистема проработает безотказно, равна 0,7; вторая – 0,9; третья – 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t система проработает безотказно. Найти вероятность отказа системы за время t.
Задача 1.2.
Известно, что серийно выпускаемая деталь имеет экспоненциальное распределение времени до отказа с параметром λ=10
-5
час
-1
Деталь используется конструктором при разработке нового прибора. Назначенный ресурс прибора Т
н
=10 4
час.
Определить следующие показатели надёжности детали:
- вероятность отказа детали до момента Т
н
;
- вероятность того, что деталь безотказно проработает в течение времени Т
н
;
- вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале времени от
10 3
до 10 4
час.
Задача 1.3.
Проектируется нерезервированная система, состоящая из элементов четырёх групп. Количество элементов каждой группы, а также интенсивности их отказов приведены в таблице 1.9.

17
Таблица 1.9 – Данные о числе элементов системы и интенсивности их отказов
Номер группы
Число элементов
Интенсивность отказа элемента,
час
-1
1 10 2·10
-6 2 15 4·10
-6 3 32 2,5·10
-6 4 8 5·10
-6
Определить:
- интенсивность отказа системы;
- среднее время безотказной работы;
- вероятность безотказной работы системы в течение времени t
1
= 100 час, t
2
= 1000 час и в интервале указанных наработок;
- плотность распределения времени безотказной работы системы при наработке t
2
= 1000 час.
Задача 1.4.
Система состоит из пяти элементов. Данные о их надёжности приведены в таблице 1.10.
Таблица 1.10 – Законы распределения времени до отказа элементов и их параметры
Вариант
Элементы
1 2 3 4 5
1
TN (390; 100)
Г (9; 65)
Exp (8·10
-5
) R
(2·10
-5
)
W (5; 200)
2 R
(1·10
-5
)
W (4,5; 180)
Г (8; 77)
TN (400; 92)
Exp (1·10
-4
)
3
Г (10; 70)
Exp (5·10
-5
)
TN (375; 86)
R (3·10
-5
)
W (4,8; 190)
4
TN (380; 100)
R (1,6·10
-5
)
W (7; 210)
Exp (2·10
-4
)
Г (9; 85)
5
W (6; 195)
TN (410; 95)
Exp (2·10
-5
)
Г (8; 75)
R (2,5·10
-5
)
Определить:
- вероятность безотказной работы системы;
- среднее время безотказной работы системы;
- интенсивность отказов системы;
- плотность распределения времени до отказа системы.
Решение представить в аналитическом виде, в виде графиков и таблиц.
Задача 1.5
. Система состоит из пяти элементов с экспоненциальными законами распределения времени до отказа. Показателями их надёжности являются:
P
1
(100) = 0,99; λ
2
= 0,00001 час
-1
; Т
3
= 8100 час, Т
4
= 7860 час, λ
5
= 0,000025 час
-1
Определить время t, в течение которого система будет исправна с вероятностью 0,92.

18
Задача 1.6.
Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятность безотказной работы элементов в течение t часов имеют следующие значения: P
1
(100) = 0,99; P
2
(200) = 0,97; P
3
(157) = 0,98;
P
4
(350) = 0,95; P
5
(120) = 0,98.
Определить вероятность безотказной работы системы в течение 625 часов её функционирования, а также среднее время безотказной работы.
Задача 1.7
. Время работы до отказа серийно выпускаемой детали распределено по нормальному закону с параметрами: m = 1000 час, σ = 250 час.
Определить:
- вероятность того, что деталь проработает безотказно более 1200 часов;
- вероятность того, что наработка до отказа будет находиться в интервале [m
−3σ, m+3σ];
- вероятность того, что, безотказно проработав до момента времени 1200 часов, деталь безотказно проработает и до 1500 часов.
Задача 1.8
. Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика имеет нормальное распределение времени до отказа с параметрами m = 4000 час, σ = 1000 час. Определить следующие показатели надёжности детали:
- наработку до отказа, соответствующую 90 % надёжности детали;
- вероятность того, что деталь имеет наработку, лежащую в интервале [2000;
3000];
- вероятность того, что деталь имеет наработку, большую, чем 4000 часов.

19
2 РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
2.1 Методы расчёта показателей надёжности
Критерии надёжности резервированных невосстанавливаемых систем те же, что и нерезервированных невосстанавливаемых систем.
Основными видами резервирования являются: общее постоянное, общее замещением, раздельное постоянное, раздельное замещением. Структурные схемы резервированных систем приведены на рисунке 2.1.
Приведём основные соотношения для показателей надёжности резервированных систем.
2.1.1 Общее резервирование с постоянно включенным резервом
Пусть P
i
(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента за время t, Q
i
(t) – вероятность отказа i-го элемента за время t, f i
(t) – плотность распределения времени до отказа i-го элемента в момент времени t. Тогда вероятность безотказной работы, плотность распределения времени безотказной работы и интенсивность отказов системы с кратностью резервирования m определяются соотношениями:

20 а – общее резервирование с постоянно включённым резервом; б – раздельное резервирование с постоянно включённым резервом; в – общее резервирование замещением; г – раздельное резервирование замещением
Рисунок 2.1 – Структурные схемы резервированных систем

21
В частности, для экспоненциальных распределений времени до отказа элементов с одинаковыми параметрами λ имеют место равенства:
1
)
1
(
1
)
(
+
−
−
−
=
m
t
c
e
t
P
λ
,
(2.4)
m
t
t
c
e
e
m
t
f
)
1
(
)
1
(
)
(
λ
λ
λ
−
−
−
+
=
,
(2.5)
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
(
+
−
−
−
−
−
−
+
=
m
t
m
t
t
c
e
e
e
m
t
λ
λ
λ
λ
λ
,
(2.6)
Среднее время безотказной работы системы определяется выражением:
∑
+
=
=
1
1
1
1
1
m
k
k
T
λ
,
(2.7)
Формулы справедливы для случая, когда нерезервированная система рассматривается как один элемент, показатели надёжности которого известны. В действительности любая система состоит из большого числа элементов, каждый из которых имеет показатель надёжности, самостоятельно учитываемый при расчёте. В таком случае формула для вероятности безотказной работы имеет вид:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
=
=
)
(
P
1
1
)
(
ij
n
1
j
0
П
П
t
t
P
m
i
c
,
(2.8) где n – число элементов нерезервированной системы;
P
ij
(t) – вероятность безотказной работы элемента с номером (i, j).
2.1.2 Общее резервирование замещением
Вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа и среднее время безотказной работы системы определяются выражениями:
∑
=
+
=
m
i
c
f
f
t
P
t
P
1
i
1
-
i
1
0
0
(t)
P
*
f
*
...
*
*
)
(
)
(
,
(2.9)
(t)
f
*
...
*
f
*
)
(
m
1
0
f
t
f
c
=
,
(2.10)