ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 8948
Скачиваний: 108
207
14.3. Тройные интегралы ................................................................ 164
14.3.1. Области в пространстве
................................................. 164
Задачи для самостоятельного решения ............................ 166
14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых
координатах
.................................................................. 166
Задачи для самостоятельного решения ............................ 168
14.3.3. Замена переменных в тройном интеграле
....................... 169
Задачи для самостоятельного решения ............................ 173
14.4. Некоторые приложения двойных и тройных интегралов ..... 174
Задачи для самостоятельного решения ............................. 176
14.5. Криволинейные интегралы .................................................... 177
14.5.1. Криволинейные интегралы первого рода (КИ-1)
............... 177
Задачи для самостоятельного решения ............................. 180
14.5.2 Криволинейные интегралы 2-го рода (КИ-2)
..................... 182
Задачи для самостоятельного решения ............................. 185
14.6. Поверхностные интегралы..................................................... 187
14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
.................... 187
14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)
................. 188
Задачи для самостоятельного решения ............................. 192
14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2)
............... 193
Задачи для самостоятельного решения ............................. 197
Ответы к задачам главы 14 ................................................. 198
Библиографический список ................................................................ 202
ОГЛАВЛЕНИЕ
208
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Часть 2
Учебное пособие
Редактор И. Л. Кескевич
Технический редактор Н.В. Гаврилова
Художник А. В. Волошина
Компьютерная верстка С. Н. Кондратенко
Лицензия ИД № 04303 от 20.03.01
Подписано в печать 17.06.2007 г.
Формат 70
108/16. Бумага офсетная.
Уч.-изд. л. 11,75. Печ. л. 12,5. Тираж 1000 экз. Заказ №
Отпечатано в типографии ООО «Сибвузиздат».
630099, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52
Г Л А В А 9
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
9.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1
.
2
3
{( , )} (
{( , , )})
R
x y
R
x y z
– множество всех упорядочен-
ных пар чисел (x, y) (троек чисел (x, y, z)).
1
2
, ...,
{( ,
)}
n
n
R
x x
x
–
множество всех упорядоченных наборов n чисел
, ...,
1
2
( ,
)
n
x
x
x
.
2
. Функция f n переменных сопоставляет по определенному
правилу каждому набору n чисел
, ...,
1
2
( ,
)
n
x
x
x
из области определе-
ния
n
D
R
единственное значение u из области значений E
R
, что
записывается в виде
:
f D
E
или
1
1
( , ...,
), ( , ...,
)
.
n
n
u
f x
x
x
x
D
В дальнейшем будем рассматривать функции двух (трех) перемен-
ных
( , )
z
f x y
,
2
( , )
x y
D
R
3
(
( , , ), ( , , )
)
u
f x y z
x y z
D
R
.
3
. Если (x, y) (или (x, y, z)) – декартовы координаты точки
плоскости Oxy (или пространства Oxyz), то D – часть плоскости или
вся плоскость (часть пространства или все пространство).
4
. Проколотая
– окрестность точки
0
0
0
0
1
2
(
,
, ...,
)
n
M x
x
x
(обо-
значается
0
(
, )
U M
) – множество всех точек
1
2
( ,
, ...,
)
n
M x x
x
, не
совпадающих с точкой
0
M , расстояние до которых от точки
0
M
меньше
:
0
0
(
,
)
M M
. Так, проколотая
– окрестность точки
0
0
0
0
(
,
,
)
M
x
y
z
– множество точек M(x, y, z), удовлетворяющих усло-
вию
2
2
2
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
x x
y y
z z
– шар радиуса
без грани-
цы с выколотым центром
0
M . (
0
(
, )
U M
иногда называют выколо-
той окрестностью точки
0
M ).
5
. Назовем точку внутренней точкой области, если она при-
надлежит этой области вместе со всеми точками какой-нибудь своей
проколотой окрестности.
6
. Множество (область) S из
n
R называется окрестностью точ-
ки M, если M является внутренней точкой S, т.е. M входит в S вме-
сте со своей проколотой окрестностью.
9.1. Основные понятия, определения
9
7
. Любая окрестность граничной точки области содержит
точки, принадлежащие области, и точки, не принадлежащие облас-
ти. Сами граничные точки могут принадлежать области, а могут не
принадлежать.
8
. Область называется замкнутой, если она содержит все свои
граничные точки.
Пример 1. Найти и изобразить область определения функций:
а)
2
2
1
1
z
x
y
; б)
2
2
2
4
/ ln(1
)
z
x
y
x
y
.
а) Функция определена, если x и y удовлетворяют системе
неравенств (которую последовательно решаем)
2
2
1
0,
1 0;
x
y
2
2
1,
1;
x
y
1,
1.
x
y
Следовательно, область определения – множество точек
( , )
1
1,
1
D
x y
x
y
( , )
1
1, 1
x y
x
y
.
Область определения изображена на рис. 9.1.
б) Функция определена, если x и y удовлетворяют системе не-
равенств
2
2
2
2
2
4
0,
1
0,
1
1.
x
y
x
y
x
y
Область определения получается пересече-
нием множеств:
2
/ 4
y x
– множество точек «под» параболой
2
/ 4
y x
, включая саму параболу;
2
2
1
x
y
– внутренность круга
радиуса 1 с центром в точке (0; 0)
O
;
2
2
0
x
y
– вся плоскость Oxy,
исключая точку
(0; 0)
O
. Итак,
2
{( , )
/ 4,
D
x y
y x
2
2
1,
x
y
(
0) (
0)}
x
y
(рис. 9.2). (Пунктирная линия, проведенная рядом
со сплошной линией, означает, что точки сплошной линии не при-
надлежат области.)
Рис. 9.1
–1
1
1
–1
0
y
x
Рис. 9.2
1
–1
–1
0
y
x
Рис. 9.1 Рис. 9.2
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
10
Задачи для самостоятельного решения
Найти области определения следующих функций:
1.
2
2
2
2
1
/
/
z
x
a
y
b
. 2.
2
ln(
4
8)
z
y
x
.
3.
1 /
1 /
z
x y
x y
. 4.
arcsin((
1) / )
z
y
x
.
5.
z
x
y
. 6.
ctg (
)
z
x y
.
7.
ln
ln sin
z
x
y
.
8.
2
2
2
2
2
2
2
2
1 /
,
.
u
R
x
y
z
x
y
z
r
R r
9.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция
1
2
(
)
( ,
, ...,
)
n
f M
f x x
x
определена в некоторой
окрестности D точки
0
M , кроме, может быть, самой точки
0
M .
1
. Число А называется пределом функции f (M) при стремлении
точки
1
2
( ,
, ... )
n
M x x
x
к точке
0
0
0
0
1
2
(
,
, ...,
)
n
M x
x
x
(или, другими сло-
вами, при
0
,
1, 2, ..., )
i
i
x
x
i
n
, если для любого сколь угодно ма-
лого положительного числа
найдется такая проколотая
-окрест-
ность точки
0
M , что для любой точки M из этой окрестности вы-
полняется
(
)
f M
A
и обозначается
0
lim
(
)
M
M
f M
A
(говорят, что
при
0
M
M
функция f стремится к A вдоль множества D). Этот пре-
дел не должен зависеть от способа («пути») стремления M к М
0
.
Используя логические символы,
0
lim
(
)
df
M
M
A
f M
0
( ) 0
0
(
(
, )
M
M U M
(
)
)
f M
A
.
Для функции двух переменных f (x, y)
0
,
0
0
lim
(
)
lim
( , )
0
( ) 0
df
M
M
x
x
y
y
f M
f x y
A
( , )
x y
2
2
0
0
(0
(
)
(
)
x x
y y
( , )
)
f x y
A
.
2
. Функция f(M) называется бесконечно малой функцией
(б.м.ф.) при стремлении точки M к точке M
0
вдоль D , если
0
lim
(
) 0
df
M
M
f M
0
( ) 0
0
(
(
, )
M
M U M
(
)
)
f M
.
3
. Функция
(
)
f M называется бесконечно большой при
0
M
M
вдоль области D, если для любого сколь угодно большого
числа N существует такое положительное число
, что для всех точек