Файл: Теория систем лаб.pdf

Найти оптимальный план загрузки станков, минимизирующий затраты.

Вариант 15

Производственное объединение выделяет четырем входящим в него предприятиям кредит в сумме 150 млн ден. ед. для расширения производства и увеличения выпуска продукции. По каждому предприятию

известен возможный прирост zi (ui ) (i 1,4) выпуска продукции (в денежном выражении) в зависимости от выделенной ему суммы ui . Для

упрощения вычислений выделяемые суммы млн ден. ед. приведены в следующей табл. 6.17.

При этом предполагаем, что прирост выпуска продукции на i-м предприятии не зависит от суммы средств, вложенных в другие пред - приятия, а общий прирост выпуска в производственном объединении

83

равен сумме приростов, полученных на каждом предприятии объединения.

Требуется так распределить кредит между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска продукции на производственном объединении был максимальным.

Контрольные вопросы

1.В чем заключается основная задача динамического программирования?

2.Опишите особенности процесса принятия решения в динамическом программировании.

3.Какие операции называются многошаговыми?

4.Что понимается под термином «управляемые процессы»?

5.В чем состоит смысл принципа оптимальности?

6.Опишите поэтапный процесс решения задач динамического программирования.

7.Возможно ли разбиение решения сложных вычислительных задач методами динамического программирования?

8.Что понимается под термином «динамическое программирова-

ние»?

9.Чем характеризуется состояние управляемой системы S?

10.Что лежит в основе вычислительных алгоритмов динамического программирования?

84

Лабораторная работа № 7 СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Цель работы: освоить и закрепить практические навыки по использованию моделей систем массового обслуживания.

Краткие теоретические сведения

Основы знаний об очередях, иногда называемые теорией очередей или теорией массового обслуживания, составляют важную часть теории управления производством. Очереди являются обычным явлением. Автомобиль ждет ремонта в центре автосервиса, студенты ждут консультацию со своим профессором.

В управлении производством можно использовать различные модели систем массового обслуживания. Опишем две наиболее часто встречающиеся в практике модели. Их характеристики даны в нижеприведенной таблице. Обе модели, описанные в табл. 7.1, имеют следующие общие характеристики: 1) пуассоновское распределение заявок; 2) правило обслуживания – FIFO (первым пришел – первым обслужен); 3) единственная фаза обслуживания.

Таблица 7.1

Модели систем массового обслуживания

Модель А:

модель одноканальной системы массового обслуживания

спуассоновским входным потоком заявок

иэкспоненциальным временем обслуживания

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют единственную очередь, которая обслуживается одним рабочим местом.

85

Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

1.Заявки обслуживаются по принципу: первым пришел – первым обслужен (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

2.Появления заявок являются независимыми событиями, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно.

3.Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

4.Время обслуживания различно для разных клиентов и независимо друг от друга, однако средний темп обслуживания известен.

5.Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей.

6.Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Вероятность более чем k заявок в системе: pn>k=(z/b)k+1 (n – число заявок в системе).

Если эти условия выполняются, то система массового обслуживания описывается уравнениями, приведенными выше. Примеры 1 и 2 показывают, как может быть использована модель А (техническое наименование М/М/1).

Контрольный пример 1

Васильев, механик магазина, может заменить масло в среднем в трех автомобилях в течение 1 часа (т.е. в среднем у одного автомобиля за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспоненциальному зако-

86

ну. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, приезжают в среднем по два в час в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено.

На основе этих данных мы можем получить основные характеристики этой системы обслуживания:

z=2 машины поступают в час;

b=3 машины обслуживаются в час;

одного клиента.

Вероятность более чем k машин в системе (табл. 7.2).

После того, как получены основные характеристики системы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономический анализ.

87

В частности, сопоставить возрастающие затраты на улучшение обслуживания и снижающие затраты, связанные с ожиданием. Рассмотрим эти затраты.

Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса в связи с неудовлетворенностью клиентов и равны 10 тыс. руб. за час ожидания в очереди. Так как в среднем каждая машина ожидает в очереди 2/3 ч (Wq), и в день обслуживается приблизительно шестнадцать машин (две машины в час в течение восьмичасового рабочего дня), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно

2/3 16=32/3=10 2/3 ч.

Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют

10 (10 2/3)=107 тыс. руб. в день.

Другая важная составляющая затрат владельца автосервиса – зарплата механика Васильева. Он получает 7 тыс. руб. в час или 56 тыс. руб. в день. Следовательно, общие затраты составляют

107+56=163 тыс. руб. в день.

Модель В:

модель с постоянным временем обслуживания (M/D/1)

Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели В с постоянным темпом обслуживания значения величин Lq, Wq, Ls и Ws меньше, чем соответствующие значения в модели A, имеющей переменный темп обслуживания. В литературе по теории очередей модель В имеет техническое наименование M/D/1.

Формулы для описания модели В

с постоянным временем обслуживания M/D/1

88