Файл: ИНФ_ДЕМО 2014.pdf

C3 Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 27. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 27 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 26.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ. 1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите

выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

2. Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём (а) Петя не может выиграть за один ход и (б) Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

3. Укажите значение S, при котором:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в куче.

© 2014 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Содержание верного ответа и указания по оцениванию

(допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла)

1. а) Петя может выиграть, если S = 14, … 26. Во всех этих случаях достаточно удвоить количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 26 камней.

б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 13 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 14, 15 или 26 камней. Во всех случаях Ваня удваивает количество камней и выигрывает в один ход.

2.Возможные значения S: 11, 12. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 13 камней: в первом случае добавлением двух камней, во втором добавлением одного камня. Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.

3.Возможное значение S: 10. После первого хода Пети в куче будет 11, 12 или

20камней. Если в куче станет 20 камней, Ваня удвоит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 11 или 12 камней, разобрана в п. 2. В этих ситуациях игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.

В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчёркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).

© 2014 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Если такого числа R нет, то контрольное значение полагается равным 0.

В результате помех при передаче как сами числа, так и контрольное значение могут быть искажены.

Напишите эффективную, в том числе по используемой памяти, программу (укажите используемую версию языка программирования, например, Borland Pascal 7.0), которая будет проверять правильность контрольного значения. Программа должна напечатать отчёт по следующей форме:

Вычисленное контрольное значение: … Контроль пройден (или – Контроль не пройден)

Перед текстом программы кратко опишите используемый Вами алгоритм решения.

На вход программе в первой строке подаётся количество чисел N. В каждой из последующих N строк записано одно натуральное число, не превышающее 1000. В последней строке записано контрольное значение.

Пример входных данных:

6

70

21

997

7

9

300

21000

Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:

Вычисленное контрольное значение: 21000 Контроль пройден

Содержание верного ответа и указания по оцениванию

(допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла)

Произведение двух чисел делится на 21, если:

один из сомножителей делится на 21 (второй может быть любым) либони один из сомножителей не делится на 21, причём один из

сомножителей делится на 7, а другой – на 3.

Поэтому программа, вычисляющая кодовое число, может работать так.

© 2014 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Программа читает все входные данные один раз, не запоминая все данные в массиве. Программа для прочитанного фрагмента входной последовательности хранит значения четырёх величин:

М7 – самое большое число, кратное 7, но не кратное 3; M3 – самое большое число, кратное 3, но не кратное 7; M21 – самое большое число, кратное 21;

МAX – самое большое число среди всех элементов последовательности, отличное от М21 (если число М21 встретилось более одного раза и оно же является максимальным, то MAX = M21).

После того как все данные прочитаны, искомое контрольное значение вычисляется как максимум из произведений М21*MAX и М7*М3.

Ниже приведён пример программы на языке Паскаль, которая реализует описанный алгоритм.

Кроме того, приведён пример программы на языке Бейсик, которая правильно решает задачу, но использует алгоритм, немного отличающийся от описанного выше. Возможны и другие правильные алгоритмы.

Допускаются решения, записанные на других языках программирования Пример правильной и эффективной программы на языке Паскаль:

var M7,M3,M21,R,MAX,dat,res,i,N: longint; begin

M7 := 0;

M3 := 0;

M21 := 0;

MAX := 0; readln(N);

for i := 1 to N do begin

readln(dat);

if ((dat mod 7) = 0) and ((dat mod 3) > 0) and (dat > M7) then M7 := dat;

if ((dat mod 3) = 0) and ((dat mod 7) > 0) and (dat > M3) then M3 := dat;

if (dat mod 21 = 0) and (dat > M21) then begin

if M21 > MAX then MAX := M21; M21 := dat

end else

if dat > MAX then end;MAX := dat; readln(R);

if (M7*M3 < M21*MAX) then res := M21*MAX

else

res := M7*M3;

writeln('Вычисленное контрольное значение: ',res); if R = res then writeln('Контроль пройден')

end.

else writeln('Контроль не пройден');

© 2014 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

© 2014 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

© 2014 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации