Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Рис. 3.14. Континуализация моделей.

убедиться, что такая система имеет колебательную переходную характеристику. Получим непрерывную модель этой системы. Выполним операторы:

s l = t f ( 1 . 5 , [1 0.5],Т0) csl=d2c(sl)

В результате появляется сообщение "System order was increased to handle real negative poles": "Порядок системы был увеличен, чтобы обработать отрицательные вещественные полюсы". Непрерывная система csl имеет второй порядок и описывается передаточной функцией WJs) = s*+ 2ns + 4.14^ • ,10 • Переходные характеристики исходной дискретной системы и ее непрерывной модели в моменты tk = кТ0)к = 0,1,2,... совпадают (рис. 3.14, г).

З а м е ч а н и е . Стоит обратить внимание на то, что в некоторых версиях тулбокса CONTROL SYSTEMS функция d2c для систем, заданных в НПК-форме (в виде совокупности нулей, полюсов и коэффициента передачи), работает не-

93

3.5.Детерминированные и стохастические модели

Модели систем, о которых мы говорили до сих пор, были детерминированными (определенными), т.е. задание входного воздействия определяло выход системы однозначно. Однако на практике так бывает редко: описанию реальных систем обычно присуща неопределенность. Например, для статической модели неопределенность можно учесть, записывая вместо (3.1) соотношение

где ip(t) - погрешность, приведенная к выходу системы. Причины неопределенности разнообразны:

-погрешности и помехи измерений входов и выходов системы (естественные погрешности);

-неточность самой модели системы, учитываемая путем искусственного введения в модель погрешности;

-неполнота информации о параметрах системы и т.д. Среди различных способов уточнения и формализации не-

определенности наибольшее распространение получил стохастический (вероятностный) подход, при котором неопределенные величины считаются случайными. Развитый понятийный и вычислительный аппараты теории вероятностей и математической статистики позволяют дать конкретные рекомендации по выбору структуры системы и оценке ее параметров. Классификация стохастических моделей систем и методов их исследования представлена в табл. 3.3.

Выводы и рекомендации основаны на эффекте усреднения: случайные отклонения результатов измерения некоторой величины от ее ожидаемого значения при суммировании взаимно уничтожаются и среднее арифметическое большого числа измерений оказывается близким к ожидаемому значению. Математические формулировки этого эффекта даются зако-

величины с математическим ожиданием (среднее значение)

94

Центральная предельная теорема, уточняя (3.45), утверждает, что

уже не нормально, а по закону Стьюдента с числом степней свбоды N — 1, который, к счастью, при 7V > 20 практически неотличим от нормального).

других часто встречающихся случайных величин, например стьюдентовой. Однако нет необходимости добывать статистические таблицы, если под рукой есть компьютер с установленной системой MATLAB. В составе тулбокса STATISTICS есть модули, вычисляющие функции распределения и другие характеристики более двадцати распространенных типов случайных величин. Узнать перечень всех функций тулбокса можно с помощью команды help tooIbox\stats или встроенной системы помощи через меню Help, окно Help Window. Проиллюстрируем применение MATLAB на простой статистической задаче.

Пусть требуется найти, при каком числе измерений N по-

меньше чем 0.02, с вероятностью не меньше чем 0.99. Пусть среднеквадратическая погрешность каждого измерения из-

96

римента оно может наступить (с вероятностью р) или не наступить (с вероятностью 1— р). Все, однако, не так просто. Сама вероятность события может быть связана с результатами экспериментов лишь через частоту наступления события в некотором ряде (серии) экспериментов: vN = NA/N, где NA - число экспериментов, в которых событие наступило; N - общее число экспериментов. Если числа и^ при достаточно большом N приближаются к некоторому постоянному числу

то событие А можно назвать случайным, а число р - его вероятностью. При этом частоты, наблюдавшиеся в различных сериях экспериментов, должны быть близки между собой

чайной величины, поскольку величина f является случайной, если случайными являются события {а < £ < 6} для любых чисел а, 6. Частоты наступления таких событий в длинных сериях экспериментов должны группироваться около некоторых постоянных значений.

Итак, для применимости стохастического подхода должны выполняться следующие требования:

1)массовость проводимых экспериментов, т.е. достаточно большое их число;

2)повторяемость условий экспериментов, оправдывающая сравнение результатов различных экспериментов;

3)статистическая устойчивость.

Стохастический подход заведомо нельзя применять к единичным экспериментам: бессмысленны выражения типа "вероятность того, что завтра будет дождь", "с вероятностью 0.8 « З е н и т » выиграет кубок" и т.п. Но даже если массовость и повторяемость экспериментов имеются, статистической устойчивости может и не быть, а проверить это - непростое дело. Известные оценки допустимого отклонения частоты от вероятности основаны на центральной предельной теореме1 или неравенстве Чебышева и требуют дополнительных гипотез о независимости или слабой зависимости измерений.

98