Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Mjx) б мА(х)

1

0.8

50 60 100 х, лет

Ж) иОчень малое" "Среднее" "Большое"

"Очень

100 х, км

Аналогично можно ввести нечеткие множества, соответствующие понятиям: "много", "мало", "около 100", "почти 20" и т.д. Легко разрешается знаменитый парадокс древних греков: "Сколько зерен составляют кучу?". Ответ состоит в том, что "куча" - нечеткое множество зерен, функцию принадлежности которого можно получить, например, путем опроса.

Пример 3.7.2. Пусть X = [0,оо] - множество положительных чисел, а функция /хд(я) задана формулой

график которой изображен на рис.3.17, 6. Если переменную х интерпретировать как возраст, то нечеткое множество А соответствует понятию "старый". Аналогично можно формализовать понятия "молодой", "средних лет" и т.д.

Переменные, значениями которых являются нечеткие множества, называются лингвистическими. Это основной тип переменных в естественном языке людей.

106

П р и м е р 3.7.3. Переменная "расстояние" принимает обычно числовые значения. Однако в предложениях естественного языка она может фигурировать как лингвистическая со значениями "малое", "большое", "очень малое", "среднее", "около 5 км" и т.д. Каждое значение описывается нечетким множеством, которое в рамках данной предметной области может иметь конкретную числовую интерпретацию. Например, если речь идет о поездках на такси, то в качестве универсального множества X можно взять отрезок [0, 100] км и задать функции принадлежности значений переменной "расстояние", как показано на рис.3.17, е.

При первом знакомстве с нечеткими множествами обычно возникает недовольство произволом и субъективизмом в задании функций принадлежности: "почему так, а не иначе?". Однако в этом не слабость, а сила подхода! Ведь если само понятие субъективно, то такова и его формализация, выполняемая человеком. А получаемые результаты должны носить качественный характер и достаточно слабо зависеть от конкретного задания функций принадлежности. С другой стороны, если есть необходимость в более объективных выводах, можно получить оценки //А(х) путем опроса экспертов.

Лля нечетких множеств вводятся операции пересечения, объединения, дополнения, концентрации, размывания (табл. 3.4). Первые три являются обобщениями обычных операций; оставшиеся - специфичны для нечетких множеств. Операции позволяют конструировать сложные понятия из простых: "очень много", "не старый и не молодой" и т.п.

По аналогии с четким случаем определяется отношение включения множеств: А С В, если и только если //д(я) < Рв{х) для всех х 6 X.

3.7.2.Нечеткие системы

Аналогично классическому случаю понятие нечеткой системы вводится через понятие нечеткого отношения (частными случаями которого являются понятия "нечеткое отображение", "нечеткая функция").

О п р е д е л е н и е . Нечеткое отношение R на множествах Х) Y задается функцией /хд : X х Y —• [0,1], каждое значение которой /2я(х, у) интерпретируется как степень нахождения

107

Т а б л и ц а 3.4. Операции с нечеткими множествами

/ Л X

108

(совместимости, принадлежности) пары (х, у) в данном отношении.

Таким образом, нечеткое отношение - это нечеткое подмножество множества X х У всех пар (х, у), где х 6 X, у £ У. Поэтому стандартным способом вводятся пересечение, объединение, дополнение и другие действия над отношениями. Включение отношений R С S (/хд(х,у) < /х5(х, у)) интерпретируется как "из R следует S".

Важную роль в теории нечетких систем играет отношение

Можно проверить, что (3.49) выполняется для обычных четких отношений.

ет последовательному соединению систем. Подчеркнем, что для нечетких систем понятие однозначности, детерминированности, теряет смысл: нечеткое отображение и нечеткое отношение неразличимы.

Если множества значений входов и выходов системы конечны, то, как указывалось в п. 3.1, ММ системы можно задать таблицами либо набором правил (продукций), напри-

Форма (3.50) удобна для представления в компьютере и придает описанию системы вид набора причинно-следственных связей.1 Аналогично обстоит дело и для нечетких систем,

1 При этом фактическая причинно-следственная связь может отсутствовать (пример: ЕСЛИ "тебе за сорок" И ас утра у тебя ничего не болит", ТО аты умер").

109

входные и выходные переменные которых могут принимать нечеткие значения, т.е. являются лингвистическими. Примеры нечетких правил:

за погоды в городе, основанную на том наблюдении, что погода чаще сохраняется, чем меняется: погода завтра будет скорей всего такая же, как сегодня. Лля простоты пусть множество входов системы (возможных значений переменной "погода сегодня") состоит из трех элементов: "ясно" (Я), "пасмурно" (П), "дождь" (Л), т.е. U = {Я,П,Л}. Таким же пусть будет и множество выходов (прогнозы на завтра): У = {Я,П,Л}. Если описать ММ простейшего прогноза как четкую, то ее можно представить таблицей:

0 1

д0 0 10п

или, более экономно, набором правил:

(и = Я) —• (у = Я); (и = П) - (у = П); (it = Д ) ( у = Д).

Однако прогноз погоды - дело ненадежное и субъективное, поэтому более адекватной является нечеткая ММ, в которой отношение между входами и выходами системы R0 задается таблицей значений функции принадлежности, имеющей, например, вид табл. 3.5.

Можно использовать и нечеткие правила (продукции), наг пример:

{и = Я) — (у = Я|0.8 или П|0.4 или Д|0.3).

Пусть теперь входная переменная и>0 ("погода сегодня") приняла некоторое значение. Оно, естественно, должно быть нечетким (ведь нет четкой границы между значениями "ясно"

110

Та б л и ц а 3.5.

иУ

и "пасмурно", да и дождь может идти не по всему городу) и определяться, например, по сообщениям экспертов. Пусть в результате усреднения мнений группы экспертов ы0 задается как

- частный случай отношения и представим его как отношение Wq с фиктивным одноэлементным множеством входов и нечетким множеством выходов. Теперь легко понять, что значение переменной "погода завтра" (u>i) определится с помощью соответствующего отношения Wi по формуле композиции отношений (3.49).1

1 Чтобы убедиться в этом, нужно рассмотреть все возможные случаи типа "завтра ясно" ЕСЛИ { "сегодня ясно" И ("сегодня ясно" ВЛЕЧЕТ "завтра ясно") } ИЛИ {"сегодня пасмурно" И ("сегодня пасмурно" ВЛЕЧЕТ "завтра ясно") } ИЛИ {"сегодня дождь" И ("сегодня дождь" ВЛЕЧЕТ "завтра ясно") }. При этом надо учесть, что связки И, ИЛИ формализуются по табл. 3.4, а отношение ВЛЕЧЕТ задано в табл. 3.5.

111