Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 844

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

E

=

m c2

 

oi

 

 

 

(3б)

 

 

 

 

 

i

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

1-

i

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

– полная энергия i-й частицы, масса покоя которой moi. С учетом (36) равенство (3а) представим в виде:

å moi

 

 

 

 

′

(4)

 

 

= å moi

n

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1 1-

vi2

 

 

j=1 1-

vi¢2

 

 

 

c2

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон сохранения момента импульса.

При применении закона сохранения момента импульса надо учитывать, что тела и частицы могут обладать внутренним моментом импульса. У тел он обусловлен вращением. Микрочастицы также имеют внутренний момент импульса, называемый спином. Например, спином обладают электрон, протон и многие другие элементарные частицы. Объяснить наличие спина вращением элементарных частиц нельзя, как это было уже рассмотрено раньше. При столкновениях он должен быть учтен как внутренний момент импульса частицы. Поэтому, если через Li, обозначить моменты импульса частиц, участвующих в столкновении, а через LBH, – их внутренние моменты, закон сохранения импульса при столк- новении можно представить следующим образом:

n

 

+L

k

 

+L¢

)

 

å(L

)= å (L¢

(5)

i=1

i

вн.i

j =1

j

вн. j

 

 

 

 

 

 

 

 

Упругие и неупругие столкновения.

Процессы столкновения делятся на упругие и неупругие в соответствии с характером изменения внутренней энергии частиц при их взаимодействии.

Если внутренняя энергия частиц при этом изменяется, то столкновение на- зывается неупругим, если не изменяется, то столкновение упругое. Напри-

мер, столкновение бильярдных шаров, в результате которого они несколько нагреваются, является неупругим, поскольку изменилась внутренняя энер- гия. Однако если бильярдный шар сделан из достаточно подходящего материала (например, слоновой кости), то его нагревание незначительно, а изменение вращательного движения пренебрежимо мало. В этом предполо- жении удар бильярдных шаров можно рассматривать как упругое столкнове- ние. Иногда говорят об абсолютно упругом столкновении, чтобы подчерк- нуть, что внутренняя энергия сталкивающихся частиц абсолютно точно неизменна. Говорят также об абсолютно неупругом столкновении, если в ко-

54

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

нечном состоянии вся энергия превратилась во внутреннюю. Например,

лобовой удар двух шаров из мягкого материала одинаковой массы, которые после удара сливаются в одно покоящееся тело, является абсолютно неуп- ругим столкновением.

Система центра масс.

Рассмотрение столкновений значительно упрощается, если его приводить в системе центра масс. В этой системе законы сохранения энергии и момента импульса имеют такой же вид, как (3) и (5), а закон сохранения импульса (1), поскольку, по определению, сумма импульсов частиц в системе центра масс равна нулю, записывается в более простом виде:

n

 

k

 

=0

(6)

å p

= å p¢

i=1

i

j =1

j

 

 

 

 

 

 

Упругие столкновения частиц.

Столкновение двух частиц называют упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Поэтому при

применении к такому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц.

Проще всего столкновение выглядит в системе отсчёта, в которой центр инерции обеих частиц покоится (ц-система); будем отличать индексом 0 значения величин в этой системе. Скорости частиц до столкновения в ц- системе связаны с их скоростями v1 и v2 в лабораторной системе соотношениями:

r

=

 

 

 

m2

 

 

r

v10

 

 

 

 

 

 

v

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

r

= −

 

m1

 

r

v20

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

где v = v1

− v

2 .

 

 

r

 

r

r

 

 

В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменными и их абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в ц-системе к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине. Если обозначить

через r единичный вектор в направлении скорости частицы после

no m1

столкновения, то скорости обеих частиц после столкновения (отличаем их штрихом) будут равны:

r

′

=

 

 

m

2

 

r

 

r

 

 

 

v

 

 

 

 

v

 

n

o

 

 

 

 

 

 

10

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

′

= −

 

 

m

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

1

 

 

 

 

v

n

o

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

 

 

Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить

к

этим

 

выражениям

 

скорость V

центра инерции. Учитывая, что

r

=

m1v1 + m2 v2

,

 

для

 

скоростей

 

 

частиц

в л-системе после столкновения

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем выражения:

m v + m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

m

2

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

v

2

 

 

 

 

 

 

 

v′

=

 

 

 

 

 

 

 

v

 

n

o

+

 

1 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

m

+ m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m + m

 

 

 

r

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 r

 

2

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

r

r

 

 

 

m v

+ m

2

v

2

 

 

 

 

v′

= −

 

 

 

1

 

 

 

 

v

n

o

+

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних только законов сохранения импульса и

энергии. Что касается направления вектора r , то он зависит от закона

no

взаимодействия частиц и их взаимного расположения во время столкновения.

Полученные результаты молено интерпретировать геометрически. При этом удобнее перейти от скоростей к импульсам. Умножив равенства

(8) соответственно на m1 и m2 , получим:

r

 

r

 

 

 

 

 

 

m

 

r

 

 

r

 

 

 

 

p′

= mvn

o

+

 

 

 

 

1

 

(p

1

+ p

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

m

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

p′

= −mvn

o

+

 

 

 

(p

+

p

2

)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

1

 

 

 

 

 

 

m1m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( m =

 

 

 

– приведенная масса). Построим окружность с радиусом

m + m

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mv и произведем следующее построение.

Рис. 1 Рис. 2

Если единичный вектор

r

направлен вдоль ОС, то векторы АС и СВ

no

дают соответственно импульсы

r′

и

r′

. При заданных

r′

и

r′

радиус

p1

p2

p1

p2

окружности и положение точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности.

Рассмотрим подробнее случай, когда одна из частиц (пусть это

будет

частица m2 )

до столкновения покоилась.

В этом

случае длина

OB =

 

m2

 

p1 = mv

совпадает с радиусом, т.е.

точка

В лежит на

m

+ m

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

окружности. Вектор же АВ совпадает с импульсом p1 первой частицы до рассеяния. При этом точка А лежит внутри (если m1 < m2 ) или вне (если m1 > m2 ) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис. 2 а и б. Указанные на них углы θ1 и θ2 представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара (на- правлению p1 ). Центральный же угол, обозначенный на рисунках через χ (дающий направление no ), представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунка очевидно, что углы θ1 и θ2 могут быть выражены через угол χ формулами:

tgθ1

=

 

 

m2 sin χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2 cos χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π − χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выпишем также формулы, определяющие абсолютные величины

скоростей обеих частиц после столкновения через тот же угол χ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1′

=

 

 

m2 + m2 + 2m m

2

cos χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

1

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m1v

 

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v′

=

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

m1 + m2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

θ1

 

+ θ2

есть

угол разлета

 

частиц

после

столкновения.

Очевидно, что θ1 + θ2

>

π

при m1

< m2

и θ1 + θ2 < π

 

 

при m1 > m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Случаю, когда обе частицы после столкновения движутся по одной

прямой (“лобовой удар”),

соответствует χ = π ,т. е. положение точки С на

диаметре слева от точки А (при этом p1

и p2

взаимно противоположны)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r′

 

r′

 

 

 

 

 

или между А и О (при этом p1 и p2 направлены в одну сторону).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r′

 

r′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скорости частиц после столкновения в этом случае равны:

v′

=

m1

− m2

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v′

=

 

 

 

2m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение v2

при этом – наибольшее возможное;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

максимальная энергия, которую может получить в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

результате

 

 

 

 

столкновения

первоначально

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

покоившаяся частица, равна, следовательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2′.max

=

 

m v′2

 

 

=

 

4m m

 

E1

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

(m1 + m2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.max

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

E1 =

 

m v2

 

 

 

–

 

первоначальная энергия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

Рис. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

налетающей частицы.

57

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При m1 < m2 скорость первой частицы после столкновения может иметь любое направление. Если же m1 > m2 , угол отклонения летящей частицы не

может превышать некоторого максимального значения, соответствующего такому положению точки С, при котором прямая АС касается

окружности. Очевидно, что sinθ1. max = OCOA , или:

m

sinθ1. max = m2 (14) 1

Особенно просто выглядит столкновение частиц (из которых одна первоначально покоится) с одинаковыми массами. В этом случае не только точка В, но и точка А лежат на окружности (рис. 3). При этом

θ

1

=

χ

 

v′

= v cos

χ

 

 

 

 

 

 

2

 

1

2

 

(15)

 

 

 

 

 

θ

2

= π − χ

v′

= v sin

χ

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, что частицы разлетаются после столкновения под прямым углом друг к другу.

 

Рассеяние частиц.

 

 

 

 

 

 

Как было уже указано в предыдущем

 

параграфе, полное определение результата

 

столкновения двух частиц

(определение

угла

 

χ ) требует решения уравнений движения с

 

учетом конкретного

закона взаимодействия

 

частиц.

 

 

 

 

 

 

В соответствии с общим правилом будем

 

рассматривать сначала эквивалентную

задачу

 

об отклонении одной частицы с массой m в

Рис. 4

поле

U(r) неподвижного

силового

центра

(расположенного в центре инерции частиц).

 

 

 

 

Траектория

частицы в

центральном

поле

симметрична

по

отношению к прямой, проведенной в ближайшую к центру точку орбиты (ОА на рис. 4). Поэтому обе асимптоты орбиты пересекают указанную прямую под одинаковыми углами.

Если обозначить эти углы через ϕo , то угол χ

отклонения частицы

при ее пролёте мимо центра есть, как видно из рисунка:

χ =

 

π − 2ϕo

 

 

(16)

 

 

Угол же определяется интегралом

58

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы