Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

определяют границы области движения по расстоянию от центра. При выполнении равенства (31) радиальная скорость r& обращается в нуль. Это не означает остановки частицы (как при истинном одномерном движении), так как угловая скорость ϕ& не обращается в нуль. Равенство

r& = 0 означает “точку поворота” траектории, в которой функция r(t) переходит от увеличения к уменьшению или наоборот.

Если область допустимого изменения r ограничена лишь одним условием r ³ rmin , то движение частицы инфинитно – ее траектория

приходит из бесконечности и уходит на бесконечность.

Если область изменения r имеет две границы rmin и rmax, то

движение является финитным и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями r = rmax и r = rmin . Это, однако, не

означает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время,

Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы этот угол был равен рациональной части от 2π , т.е. имел вид Dϕ = 2π mn , где

т, п – целые числа. Тогда через п повторений этого периода времени радиус- вектор точки, сделав т полных оборотов,

совпадает со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Однако такие случаи исключительны, и при произвольном виде U(r) угол ϕ не

(как, например, на рис. 4) и за бесконечное время заполняет все кольцо между двумя граничными окружностями.

Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты. Это поля, в которых

этих случаев рассмотрен в следующем параграфе, а второй соответствует так называемому пространственному осциллятору. В точке поворота

78

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

квадратный корень (27) (а вместе с ним и подынтегральные выражения в (28) и (29)) меняет знак. Если отсчитывать угол ϕ от направления радиус- вектора, проведенного в точку поворота, то примыкающие с двух сторон к этой точке отрезки траектории будут отличаться лишь знаком ϕ при

каждых одинаковых значениях r. Это значит, что траектория симметрична относительно указанного направления. Начав, скажем, от какой-либо из точек r = rmax , мы пройдем отрезок траектории до точки с r = rmin , затем

будем иметь симметрично расположенный такой же отрезок до следующей точки с r = rmax и т.д., т.е. вся траектория получается

повторением в прямом и обратном направлениях одинаковых отрезков. Это относится и к инфинитным траекториям, состоящим из двух

невозможности проникновения движущихся частиц к центру поля, даже если последнее само по себе имеет характер притяжения. “Падение” частицы в центр возможно лишь, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к − ∞ при r → 0 . Из неравенства

следует, что r может принимать стремящиеся к нулю значения

лишь при условии

Кеплерова задача.

Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна r и соответственно силы обратно пропорциональны r2. Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля. Первые имеют характер притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания.

Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором

79

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

r

с положительной постоянной α . График “эффективной” потен-

циальной энергии

U эф

ro

Рис. 5

Из этого графика очевидно, что при E > 0 движение частицы будет инфинитным, а при E < 0 – финитным.

Форма траектории получается с помощью общей формулы (29). Подставляя в нее U = - αr и производя элементарное интегрирование,

получим:

Тогда интегрирование приведёт к:

80

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com