ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 843
Скачиваний: 0
модели атома. Было установлено распределение электрического заряда в объеме протона.
В семидесятых годах XX в. было изучено столкновение электронов чрезвычайно больших энергий с протонами. Было выяснено, что столкновения электронов происходят не с протоном, как с целым, а с отдельными частицами (кварками), составляющими протон. Так была установлена кварковая модель строения протока., предсказанная теоретически до этих экспериментов.
Эти примеры составляют лишь небольшую часть фундаментальных от- крытий в физике микромира, сделанных посредством изучения столкно- вений.
Поле вблизи поверхности Земли. Гравитационная энергия тел. Движение в поле тяготения.
Силы тяготения.
Закон тяготения Ньютона.
Этим законом определяется сила притяжения F между точечными массами т1 и т2, находящимися на расстоянии r друг от друга, в виде
v |
= -γ |
Mm r |
|
|
(1) |
||||
F |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
r 2 r |
|
H × м2 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
Где γ = 6,67 ×10 |
−11 |
– гравитационная постоянная. Шарообразные |
|||||||
кг 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тела со сферически симметричным распределением массы в их объеме взаи- модействуют так же, как если бы их массы были сосредоточены в центрах шаров. Потенциальная энергия точечной массы m2 в поле тяготения точеч- ной массы m1 дается формулой
U = -γ |
Mm |
(2) |
|
r |
|||
|
|
Но эта же величина является потенциальной энергией массы т1 в поле точечной массы т2. Поэтому U в (2) является энергией взаимодействия точечных масс m1 и m2.
Поле вблизи поверхности Земли.
Обозначим радиус Земли через Ro, a расстояние от ее поверхности до материальной точки массой т через h, причем h << Ro . Полное расстояние от
центра Земли до материальной точки равно |
Ro + h , и, следовательно, в |
||
соответствии с формулой (1) сила тяжести определится так: |
|||
F = γ |
Mm |
(3) |
|
(Ro + h)2 |
|
||
Учтем, что
68
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
æ |
|
|
2h |
|
ö |
|
(4) |
||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
ç |
- |
+ |
÷ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç1 |
|
...÷, |
|
|||||||
|
(Ro + h) |
2 |
2 |
æ |
|
|
h |
ö |
2 |
|
|
2 |
|
Ro |
||||||||||||
|
|
|
Ro |
|
|
|
|
|
|
Ro |
è |
|
|
|
ø |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ç1 + |
|
Ro |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
h |
ö2 |
|
|
|
|
|
||
где отброшены члены |
ç |
|
|
÷ |
и члены более |
высоких степеней, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ç |
|
Ro |
÷ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||
потому что уже член |
|
|
|
|
|
очень мал. Например, для расстояний в пределах |
||||||||||||||||||||
|
|
Ro |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|||
высот полета самолета порядка 20 км |
|
» 3 ×10−3 . Квадрат этой величины |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ro |
|
|
отличается от единицы уже в миллионных долях. В большинстве случаев нет необходимости учитывать изменения силы тяжести, составляющие лишь незначительную долю ее величины. Например, при падении тел с высоты до
1 км изменение силы тяжести составит меньше 2h » 3 ×10−4 . С этой точностью
Ro
можно считать силу тяжести постоянной, независимой от высоты и на основании (3) и (4) равной
Fo = γ |
Mm |
= mg |
|
(5) |
||
Ro2 |
|
|||||
|
M |
|
м |
|
||
где g = γ |
|
= 9.8 |
– ускорение свободного падения у поверхности |
|||
|
Ro2 |
с2 |
||||
|
|
|
|
|
||
Земли. В этом приближении рассматриваются задачи, связанные с силой тяжести вблизи поверхности Земли.
Ускорение свободного падения не зависит от состава и массы тела.
Назовём пространством, где на любую помещённую в него точечную массу действует сила, полем сил. Потенциальная энергия тела обусловлена энергией поля, т. е. поле является физическим носителем потенциальной энергии. Рассмотрим работу в поле силы тяготения:
dA = F × dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dA = -γ |
Mm |
dr Þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
æ |
|
Mm ö |
|
r2 |
Mm |
|
Mm |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A = -γMm |
2 dr |
- γ |
|
= γ |
- γ |
= U |
|
-U |
|
= -DU |
|||||||
ò r2 |
= -ç |
r |
÷ |
|
r |
r |
1 |
2 |
|||||||||
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = DA = -DU Þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ìdA + dU = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||
í |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
îDA + DU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим напряжённость и потенциал гравитационного поля.
1) Напряжённость поля – это силовая характеристика этого поля, векторная величина, которая определяется силой со стороны гравитационного поля, действующей на материальное тело единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой.
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
é |
Н ù |
|
Mm r |
|
M r |
||||||||||
E = -γ |
|
|
|
|
= -γ |
|
|
|
|
ê |
|
ú |
mr |
2 |
|
r |
r |
2 |
|
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ë |
кг û |
|||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
(7)
69
2) Потенциал – это энергетическая характеристика гравитационного поля, скалярная величина, равная потенциальной энергии тела единичной
массы в данной точке поля или работе по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.
ϕ = |
A |
= - |
U |
Þ ϕ = γ |
M |
|
||
m |
m |
r |
||||||
|
|
|
|
|||||
ì- dU = -mdϕ |
Þ -mdϕ = Fdr |
|||||||
í |
|
Fdr |
|
|||||
îdA = |
|
|
|
|
||||
Отсюда получаем выражение для силы:
F = -m ddrϕ
r |
|
F |
æ |
d |
r |
|
d |
r |
|
d |
r ö |
g |
= |
|
= -Ñϕ = -ç |
|
i |
+ |
|
j |
+ |
|
k ÷ϕ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
m |
ç |
|
|
|
dy |
|
|
dz |
÷ |
|
|
è dx |
|
|
|
|
ø |
||||
(8)
(9)
Таким образом, вектор напряжённости гравитационного поля по модулю
равен градиенту потенциала в данной точке поля и направлен в сторону убывания этого поля.
Напряжённость и потенциал поля шарового тела.
Вычислим напряжённость внутри и вне шара радиуса R. Пусть плотность шара постоянна и равна ρ = 43πMR3 = const . Обозначим за r расстояние от центра шара до данной точки пространства. Рассмотрим два случая:
1) r>=R. В этом случае поле шарового тела эквивалентно полю
точечной массы M, помещённой в центр это тела: |
|
|||
E = γ |
M |
|
(10) |
|
r 2 |
||||
|
|
|||
Сувеличением r напряжённость поля быстро уменьшается.
2)r<R. В этом случае мы можем не учитывать слои вещества, расположенные на расстоянии r’>r: они не оказывают влияния на распределение поля в данной точке пространства:
E = γ |
|
M ′ |
, где |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
M ¢ = |
4 |
πρ × r |
3 |
Þ |
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
πρ × r 3 |
|
|
4 |
|
|
|||
E = γ |
|
3 |
|
= |
πργ × r |
(11) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
r 2 |
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь мы можем графически изобразить поле однородного шарового тела:
70
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
E
Emax = 43 πργR
r = 0 |
r = R |
r |
Рис. 1
Гравитационная энергия тел.
Гравитационная энергия шарообразного тела.
Пусть имеется шар радиусом R и массой М. С взаимодействием частиц шара друг с другом связана энергия гравитационного поля, называемая гравитационной. Она численно равна работе, которую необхо- димо затратить, чтобы вещество шара, рассматриваемое как непрерывная среда, рассеять по всему бесконечному пространству. Конечно, при этом необходимо принять во внимание лишь работу на преодоление сил гравита- ционного притяжения и не рассматривать, например, электромагнитные си- лы, которые удерживают атомы в молекулах, молекулы в твердых и жидких телах и т. д.
Для упрощения расчетов будем считать, что масса тела распределена равномерно в шаре с плотностью ρ = 43πMR3 . Удобнее всего удалить вещество
на бесконечность последовательно шаровыми слоями начиная с поверхности.
Удаленные слои не могут оказывать никакого действия на удаление последующих слоев, поскольку эти последующие слои находятся внутри
полости предшествующих шаровых слоев.
При этом учтём без доказательства, что сферический
однородный слой вещества не создаёт в ограничиваемой им шаровой полости никакого гравитационного поля.
|
В слое толщиной dr на расстоянии r от |
||
|
центра шара содержится масса ρ × 4π × r 2 dr |
(рис. 2). |
|
Рис. 2 |
При удалении этого слоя на него действует лишь |
||
масса шара радиусом r , заключенная в |
полости, |
||
|
|||
ограниченной шаровым слоем. Работа удаления равна потенциальной энергии этого шарового слоя в гравитационном поле, созданном всеми внутренними слоями:
71
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com