ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 838
Скачиваний: 0
ϕ = -ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -ò |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Þ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
æ |
æ |
|
|
|
|
|
ö2 |
|
|
|
|
|
|
æ |
2EM |
2 |
|
|
|
ö |
ö |
|
e |
2 |
|
æ |
|
|
1 |
ö2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
- M |
2 ç |
çt |
- |
|
1 |
÷ |
|
- |
1 |
ç |
|
|
|
+ 1÷ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
- çt - |
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
p |
2 |
ç |
|
mα |
2 |
|
|
|
|
÷ |
÷ |
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
ç |
|
|
p |
÷ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
è |
|
|
|
|
p ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
p |
|
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dç |
|
|
|
t - |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 ö |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ϕ = - |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -ò |
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
t - |
+ const |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arccosç |
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|||||||||||||||||||
|
|
æ |
|
p |
|
|
|
1 |
ö |
2 |
|
|
æ p |
|
|
1 ö |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t - |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 - ç |
|
|
|
|
- |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è e |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
e ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
æ p - r ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ϕ = arccosç |
|
|
|
÷ |
+ const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
er |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выбирая начало отсчета угла ϕ |
|
|
|
|
так, |
чтобы const = 0 , перепишем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулу для траектории в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
cosϕ = |
p - r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
er |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e cosϕ = rp -1Þ rp =1 + e cosϕ
(38
)
Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат. р и е – так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета ϕ заключается, как
видно из (38), в том, что точка с ϕ = 0 является ближайшей к центру
(так называемый перигелий орбиты).
В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по за- кону (34), орбита каждой из частиц тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции.
Из (37) |
видно, |
что |
при E < 0 |
эксцентриситет |
e < 1 , |
т.е. |
орбита |
является эллипсом (рис. 6) и движение
финитно в соответствии со сказанным в начале параграфа. Согласно известным
|
формулам |
|
аналитической |
|
|
геометрии |
||||||||||||
|
большая и малая полуоси эллипса равны: |
|||||||||||||||||
|
a = |
|
p |
= |
α |
, b = |
|
p |
= |
|
M |
|
|
(39) |
||||
|
|
|
2 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 6 |
1 - e2 |
|
|
|
1 - e2 |
|
|
2m |
E |
|
|
|
||||||
Наименьшее |
допустимое |
|
значение |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
энергии совпадает с (36), при этом |
e = 0 , |
|
|
т.е. эллипс |
обращается в |
|||||||||||||
окружность. Отметим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии (но не от момента) частицы. Наименьшее и наибольшее расстояния до центра поля (фокуса эллипса) равны:
81
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
rmin = 1 +p e = a(1 - e)
rmax = 1 -p e = a(1 + e)
Эти выражения можно было бы, непосредственно как корни уравнения U эф (r)= E
(40)
конечно, получить и с учётом (37).
Время обращения по эллиптической орбите, т.е. период движения Т,
удобно определить с помощью закона сохранения момента в форме “интеграла площадей” (25). Интегрируя это равенство по времени от нуля до Т, получим:
2mf = MT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = πab , и с |
|||||||||||
где – площадь орбиты. |
Площадь эллипса равна |
||||||||||||||||||||||||||||||
помощью формул (39) находим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2m ×πab = MT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2mπ × |
α |
× |
|
|
|
M |
= MT Þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
E |
|
|
|
|
2m |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
2mπα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
(41) |
||||||||||||||||
T = |
|
|
= πα |
|
|
= 2πa |
|
|
|
~ a |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
3 |
|
|
α |
||||||||||||||
2 |
|
E |
|
|
2m |
|
E |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом, квадрат периода должен быть пропорционален кубу линейных размеров орбиты. Отметим также, что период зависит только от энергии частицы.
При E ³ 0 движение инфинитно. Если E > 0 , то эксцентриситет e >1, т.е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля (фокус), как показано на рис. 7. Расстояние перигелия от центра
rmin |
= |
|
|
p |
= a(e -1) |
(42) |
|
1 |
+ e |
||||||
|
|
|
|
||||
где
a = e2 p-1 = 2αE
– “полуось” гиперболы.
В случае же Е = 0 эксцентриситет е = 1, т.е. частица движется по параболе, с расстоянием перигелия rmin = 2p .
Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности.
Рис. 7 Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы (28).
Она может быть представлена в удобном параметрическом виде следующим образом.
Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя а и е согласно (37), (39), запишем интеграл (28), определяющий время, в виде:
82
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
t = |
|
|
|
|
m |
|
|
ò |
|
|
|
|
rdr |
|
|
|
|
|
|
= |
|
ma |
|
ò |
|
|
|
|
|
rdr |
|
|||||||
2 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
- r 2 + |
|
|
α |
|
|
r - |
M |
|
2 |
a |
2 |
e |
2 |
- (r - a) |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
2m |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
помощью естественной подстановки |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
r − a = −ae cosξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
этот интеграл приводится к виду |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
е = |
|
ma3 |
|
ò(1 - e cosξ )dξ = |
ma3 |
|
(ξ - e sin ξ )+ const |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить const в нуль,
получим окончательно следующее параметрическое представление зависимости r от t:
r = a(1 - e cosξ ), t = |
ma3 |
(ξ - e sin ξ ) |
(43) |
|
α |
||||
|
|
|
(в момент t = 0 частица находится в перигелии). Через тот же параметр ξ , можно выразить и декартовы координаты частицы x = r cosϕ , y = r sin ϕ (оси х и у направлены соответственно по большой и малой полуосям эллипса). Из (38) и (43) имеем
ex = p - r = a(1 - e2 )- a(1 - e cosξ )= ae(cosξ - e)
а у найдем, как r 2 - x2 . Окончательно:
|
|
|
|
x = a(cosξ - e), y = a 1 - e2 sin ξ |
(44) |
||
Полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра ξ
от нуля до 2π .
Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату
r = a(e × chξ -1) t = |
ma3 |
(e × shξ - ξ ) |
(45) |
|||
α |
||||||
x = a(e - chξ ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
y = a e2 |
-1 × shξ |
|
||||
где параметр ξ пробегает значения от − ∞ до + ∞ . Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором
U = |
α |
|
|
(46) |
|
|
r |
|
|
|
|
|
(α > 0 ). В этом случае эффективная потенциальная |
||||
|
энергия |
α |
|
|
|
|
U эф = |
+ |
M 2 |
|
|
|
r |
2mr 2 |
|||
|
|
|
|||
|
монотонно убывает от + ∞ до нуля при изменении |
||||
|
r от нуля до |
+ ∞ . Энергия частицы может быть только |
|||
Рис. 8 |
положительной и движение всегда инфинитно. Все |
||||
вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше. Траектория является гиперболой
p |
= -1 + e cosϕ |
(47) |
|
r |
|||
|
|
||
|
|
83 |
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
(р и е определяются прежними формулами (37)). Она проходит мимо центра поля, как показано на рис. 8. Расстояние перигелия
rmin = |
p |
|
= a(e +1) |
(48) |
|
e -1 |
|||||
|
|
|
|||
Зависимость от времени дается параметрическими уравнениями
r= a(e × chξ + 1) x = a(chξ + e)
y = a |
e2 -1 |
× shξ |
(49) |
t = maα 3 (e × shξ + ξ )
Итак, |
мы |
определили |
r |
r |
(t). Теперь мы можем определить |
||||
r |
= r |
||||||||
траектории |
r |
r |
(t) и |
r |
r |
(t) |
каждой из частиц m1 и m2 в отдельности (по |
||
r1 |
= r1 |
r2 |
= r2 |
||||||
отношению к их общему центру инерции) по формулам (19):
ìr |
|
|
|
m2 |
r |
||
ïr1 |
= |
|
|
|
r |
||
m1 |
+ m2 |
||||||
ï |
|
|
|
||||
ír |
|
|
|
m |
|
r |
|
ïr |
= - |
|
1 |
|
r |
||
|
|
|
|||||
ï 2 |
|
|
m1 + m2 |
||||
î |
|
|
|||||
Если говорить конкретно о движении планет в Солнечной системе, то таким образом мы учитываем движение Солнца. Если теперь рассматривать движение планеты относительно Солнца, формально дело происходит так, как если бы гравитационная постоянная
|
æ |
|
ö |
|
|
увеличилась в |
ç1 |
+ |
M планеты |
÷ |
раз. Поэтому для относительного движения |
|
|||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
è |
|
M солнца ø |
|
|
первый и второй законы Кеплера остаются справедливы, только в этом
случае планета и Солнце движутся по эллипсам с общим фокусом в центре инерции. Третий же закон перепишется так:
a3 |
= |
γ |
æ |
+ |
m ö |
Þ |
||
|
|
ç1 |
|
÷ |
||||
T 2 |
4π 2 |
|
||||||
|
è |
|
M ø |
|
||||
|
a3 |
|
= const |
(50) |
||||
T 2 (M + m) |
||||||||
На формуле (50) основано определение масс планет, имеющих спутников, а также суммы масс двойных звёзд. Если масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой планеты, то для движения спутника справедлив третий закон Кеплера, где положено m=0. Постоянную Кеплера можно вычислить, измерив размеры орбиты и время обращения спутника. Зная гравитационную постоянную, можно вычислить массу планеты в единицах массы Земли.
Если планета не имеет спутников, то её массу можно вычислить по возмущению в движении других небесных тел. Например, масса Меркурия была определена по возмущениям орбиты кометы Энке.
84
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Сделаем вывод: в поле с U = − |
α |
частица может двигаться (в |
|
r |
|
зависимости от полной энергии) по эллипсу, параболе и гиперболе. В
частности все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам с очень малыми эксцентриситетами, а кометы – по очень вытянутым эллиптическим орбитам с фокусом в центре Солнца (первый закон Кеплера). При этом радиус-вектор тела за равные промежутки времени описывает равные площади (второй закон Кеплера). Отсюда следует, что квадрат периода обращения тела пропорционален кубу большой полуоси его орбиты (третий закон Кеплера).
Все три закона были эмпирическим путём (наблюдением за планетами) выведены Кеплером. Любопытно, что Ньютон, используя эти законы, вывел
свой закон гравитационного взаимодействия тел и смог на его основе объяснить движение планет. Так поступили и мы, по существу вычислив все возможные траектории материальной точки во внешнем поле. Заметим, что мы более точно определили движение планет, учитывая и движение Солнца вокруг общего центра инерции. Если бы мы учли и взаимное влияние планет, то обнаружили бы, что планеты движутся не по эллипсам.
Отклонения от эллиптических орбит позволяют вычислять массы планет и параметры их орбит. Так были открыты далёкие планеты Нептун и Плутон.
Динамика тел переменной массы.
Нерелятивистские ракеты.
Реактивное движение.
В ракетных двигателях сила тяги создается в результате извержения продуктов горения топлива в направлении, противоположном силе. Она
возникает по закону Ньютона как сила реакции и поэтому называется реактивной, а двигатель – реактивным. Однако надо подчеркнуть, что всякий двигатель, создающий тягу, является, в сущности говоря, реактивным. Например, сила тяги обыкновенного пропеллерного самолета есть реактивная сила, возникающая в результате ускорения пропеллером массы воздуха в направлении, противоположном направлению движения самолета. Сила тяги пропеллерного самолета есть сила, с которой отбрасываемые пропеллером назад массы воздуха действуют на самолет. Она приложена к пропеллеру, жестко соединенному с самолетом. Железнодорожный состав трогается с места под действием реактивной тяги, которая создается в ре- зультате ускорения рельсов и земной поверхности в противоположном на- правлении, если движение рассматривать в инерциальной системе коорди- нат, связанной с неподвижными звездами. Конечно, практически заметить
движение рельсов и земной поверхности невозможно ввиду их подавляюще большой массы и очень малого ускорения.
85
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com