ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 840
Скачиваний: 0
|
|
|
|
æ |
4 |
|
3 ö |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ç ρ × |
|
π × r |
÷ρ × 4π × r |
|
dr |
16 |
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
dU = -γ |
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
= - |
π 2 ρ 2γ × r 4 dr |
(12а) |
||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интегрируя это выражение по всему объему шара, т. е. от r = 0 до r = R , |
|||||||||||||||||||||
получим полную гравитационную энергию шара: |
|
||||||||||||||||||||
|
16 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12б) |
|
U = - |
|
π 2 ρ 2γ × òr4dr = - |
|
γπ 2 ρ 2 R5 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
0 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Или с учетом, |
что ρ = |
|
3M |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4πR3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U = - |
3 |
γ |
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Это есть энергия гравитационного поля, связанная с гравитационным притяжением составляющих шар элементов массы.
Гравитационный радиус.
Энергия покоя тела массой М равна Мс2. Возникает вопрос: нельзя ли себе представить дело так, что эта энергия является энергией гравитационного поля, превратившейся в энергию массы покоя при стягивании материи, составляющей тело, из рассеянного состояния на бесконечности, когда никакого взаимодействия между частицами не было?
Чтобы вычислить радиус шара, для которого ответ на поставленный вопрос утвердителен, надо гравитационную энергию приравнять энергии массы покоя (отбросив числовые коэффициенты):
γ Mr 2 ~ Mc2
Отсюда получаем r ~ γ cM2 . Величина
rг = γ |
M |
(14) |
|
c2 |
|||
|
|
называется гравитационным радиусом.
В качестве примера вычислим гравитационный радиус Земли, масса ко- торой M = 6 ×1024 кг :
rг = 0,4см
Это число означает, что для того, чтобы гравитационная энергия массы Земли была равна энергии массы покоя, необходимо было бы всю ее массу сжать в шарик диаметром примерно 1 см. Фактически же диаметр Земли имеет порядок 109 см. Полученный результат свидетельствует, что в общем энергетическом балансе Земли, включающем и ее энергию массы по- коя, гравитационная энергия играет пренебрежимо малую роль. Аналогичная ситуация существует и для Солнца, у которого гравитационный радиус составляет примерно 1 км, а его действительный радиус почти 700 тыс. км.
72
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Размеры Вселенной.
Однако так обстоит дело не всегда. В астрономии есть объекты, для
которых гравитационная энергия примерно равна энергии их массы покоя и поэтому в них повседневно гравитационная энергия играет очень существенную роль. Примером такого объекта может служить Вселенная в целом.
Среднюю плотность распределения материи во Вселенной можно найти из наблюдений, оценивая массу астрономических объектов и расстояния до них. Точность этих оценок невелика, поскольку, во-первых, имеются большие погрешности в определении расстояний и, во-вторых, очень трудно учесть массу межзвездного газа и несветящихся объектов, которые не наблюдаются. В настоящее время считается, что средняя
плотность по порядку величины лежит где-то около ρср »10−25 мкг3 . Это
означает, что в 1 м3 заключено примерно 100 протонов, т. е. среднее расстояние между ними было бы приблизительно 30 см, если бы масса Вселенной была распределена равномерно по ее объему в виде протонов. Можно представить себе эту ситуацию следующим образом. Известно, что
электрический заряд протона распределен в объеме с линейными размерами порядка. Поэтому если бы протон был горошиной диаметром 1 см, то среднее расстояние между протонами, соответствующее их среднему расстоянию во Вселенной, было бы примерно равно двадцати расстояниям от Земли до Солнца.
Подсчитаем, какое значение надо взять для радиуса Ro шара во Вселенной, чтобы энергия покоя содержащейся внутри него массы была равна гравитационной энергии или, иначе говоря, чтобы радиус этого шара был равен гравитационному радиусу массы, заключенной внутри
шара. Поскольку масса этого шара |
M ~ ρср Ro3 , ожидаемое условие на |
||||||
основании (14) запишется в виде |
|
||||||
Ro » |
γρср Ro3 |
(15) |
|||||
|
c |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда следует |
|
||||||
Ro » |
|
c |
|
|
»1026 м |
(16) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
γρср |
|
||||
Таким образом, искомый гравитационный радиус по порядку равен той величине, которая в настоящее время принимается за радиус Вселенной Rвс » c ×T » 1,35 ×1026 м . Это означает, что гравитация играет в масштабах
Вселенной очень большую и во многом определяющую роль.
Черные дыры.
Наиболее важным физическим содержанием понятия гра- витационного радиуса является представление о том, что область
внутри сферы такого радиуса как бы теряет всякую связь с областью
73
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
вне этой сферы, за исключением гравитационной, связи. Если бы, например, всю массу Земли удалось заключить в шарик диаметром меньше 1 см, то внутренние области этого шарика потеряли бы связь с внешними областями, оказывая на них лишь гравитационное воздействие. Это означает, что свет не смог бы выйти из внутренней области. Во внешнем пространстве эта область проявляется лишь громадными силами тяготения.
Пролетающие вблизи частицы и кванты излучения будут втягиваться внутрь сферы гравитационного радиуса и там исчезать. Поэтому такая об- ласть называется “черной дырой”.
Имеются ли “черные дыры” во Вселенной? Теоретические расчеты показали, что если масса звезды превосходит примерно две массы Солнца,
то под действием тяготения она неудержимо сжимается и в определенный момент радиус звезды станет равным гравитационному, а она превратится в “черную дыру”.
Можно также представить себе, что сравнительно небольшая масса, например в несколько тонн, по каким-то причинам оказалась заключенной в таком маленьком объеме, соответствующем формуле (14), что превратилась в маленькую “черную дыру”. По одной из гипотез предполагается, что некоторое количество таких “черных дыр” осталось от первоначального сверхплотного состояния Вселенной. Они называются реликтовыми “черными дырами” и также пока не обнаружены в природе.
По-видимому, они не существуют в настоящее время, потому что квантовая теория приводит к заключению об “испарении” вещества из “черных дыр” с массой в несколько тонн, в результате которого они уже исчезли.
Движение планет и комет.
Рассматривая движение планет вокруг Солнца, конечно, можно считать его неподвижным, ввиду большой массы, а также можно не учитывать взаимное влияние планет. Таким образом, задача о движении планет сводится к задаче о движении частицы во внешнем центральном поле. Однако можно и не делать допущение о неподвижности Солнца, а рассматривать движение планеты и Солнца относительно их центра инерции.
Приведённая масса.
Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаимодействующих частиц
(задача двух тел).
В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем,
каким образом она может быть существенно упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движения точек относительно последнего.
74
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т.е. от абсолютной величины разности их радиус- векторов. Поэтому энергия такой системы равна:
|
&2 |
|
&2 |
|
r |
r |
|
|
|
|
m r |
|
m r |
+ U ( |
) |
|
(17) |
||
E = |
1 1 |
+ |
2 2 |
r1 |
- r2 |
|
|||
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем вектор взаимного расстояния обеих точек |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
= r1 |
- r2 |
и поместим начало координат в центре инерции, что дает |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
m1r1 |
+ m2 r2 = 0 |
|
Из двух последних равенств находим
ìr |
|
|
|
m2 |
r |
||
ïr1 |
= |
|
|
|
r |
||
m1 |
+ m2 |
||||||
ï |
|
|
|
||||
ír |
|
|
|
m |
|
r |
|
ïr |
= - |
|
1 |
|
r |
||
|
|
|
|||||
ï 2 |
|
|
m1 + m2 |
||||
î |
|
|
|||||
Подставляя эти выражения в (17), получим
E = m2r&2 + U (r)
где введено обозначение
(19)
(20)
m = |
m1m2 |
|
(21) |
m + m |
2 |
||
1 |
m называется приведенной массой. Функция (20) |
||
величина |
|
||
формально совпадает с энергией одной материальной точки с массой т, движущейся во внешнем поле U(r), симметричном относительно неподвижного начала координат.
Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих
материальных точек сводится к решению задачи о движении одной точки в
заданном внешнем поле U(r). По решению r = r(t) этой задачи траектории |
|||
r1 |
= r1 |
(t) и r2 |
r r |
= r2 (t) каждой из частиц m1 и m2 в отдельности (по отношению к |
|||
r |
r |
r |
r |
их общему центру инерции) получаются по формулам (19).
Движение в центральном поле.
Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния r до определенной неподвижной точки; такое поле называют центральным.
Сила
r |
|
∂Ur(r) |
|
dU |
|
r |
, |
|
F |
= - |
= - |
|
|||||
dr r |
||||||||
|
|
¶r |
|
|
||||
действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от r и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора.
При движении в центральном ноле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы это есть
= [rr]
M rp
75
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Поскольку векторы M и r взаимно перпендикулярны, постоянство M означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости – плоскости, перпендикулярной к M .
Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r и ϕ , напишем энергию в виде
E = m2 (x& 2 + y& 2 )+ U (r)
Учитывая, что:
|
|
|
ìx = r cosϕ |
|
|
|
ìx = r cosϕ - r sinϕ ×ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ |
|
& |
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
í & |
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
îy = r sinϕ |
|
|
|
îy = r sinϕ + r cosϕ ×ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Получаем выражение для полной энергии: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
E = |
|
m |
& |
|
|
|
|
|
|
|
& |
2 |
& |
|
& |
2 |
)+ U (r) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
E = 2 |
(r |
((r cosϕ - r sin ϕ ×ϕ) |
|
+ (r sin ϕ + r cosϕ ×ϕ) |
|
|
ϕ ×ϕ |
+ 2r sin ϕ × r cosϕ ×ϕ)+ |
||||||||||||||||||||
cos |
|
ϕ + r |
|
sin |
|
|
ϕ ×ϕ |
- 2r cosϕ × r sin ϕ ×ϕ + r |
sin |
|
|
ϕ + r |
|
cos |
|
|||||||||||||
|
m |
&2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
& 2 |
& |
|
& |
&2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
& 2 |
& |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ U (r)Þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
E = 2 |
(r |
|
+ r |
|
ϕ |
)+ U (r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
||||||
|
|
|
|
|
|
m |
&2 |
|
|
2 |
|
& 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение (22) не содержит в явном виде координату ϕ . Вся- кую обобщенную координату qi , не входящую явным образом в
энергию, называют циклической. Для такой координаты
соответствующий ей обобщенный импульс является интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному
упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат. В данном случае обобщенный
импульс
pϕ = mr |
ϕ |
(23) |
|
2 & |
|
совпадает с моментом M z = M , так что мы возвращаемся к
известному уже нам закону сохранения момента
|
M = mr ϕ |
|
|
|
|
(24) |
|
2 & |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что для плоского движения |
|||||
|
одной частицы в центральном поле этот закон |
|||||
|
допускает |
простую |
геометрическую |
|||
|
интерпретацию. |
Выражение |
1 r |
r |
||
Рис. 3 |
|
r |
× rdϕ |
|||
2 |
||||||
представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории (рис. 3). Обозначив ее как df , напишем момент частицы в виде
M = 2mf& |
(25) |
где производную |
f& называют секториальной скоростью. По- |
этому сохранение момента означает постоянство секториальной
76
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com