ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 833
Скачиваний: 0
|
dv |
= |
dvo |
+ |
dv |
′ |
, |
a = ao |
+ a |
′ |
, |
(7) |
||||||
|
dt |
|
dt |
dt |
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dv |
|
|
|
dvo |
|
|
|
dv′ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||||||||
a = dt , |
ao |
= |
|
dt |
, a |
= dt |
|
|
(8) |
|||||||||
|
|
|
|
называются соответственно абсолютным, переносным и относительным ус- корениями. Следовательно, в соответствии с определением (4) выражение
для сил инерции в движущейся прямолинейно неинерциальной системе отсчета имеет вид
Fин = m(a′ − a)= −mao |
(9) |
или в векторной форме |
(10) |
Fин = −mao |
т. е. сила инерции направлена противоположно переносному ускорению неинерциальной системы.
Маятник на тележке.
Рассмотрим равновесное состояние маятника в неинерциальной системе координат, движущейся в горизонтальном направлении с поступательным ускорением ao (рис. 1). Силы, действующие на маятник, указаны
непосредственно на рисунке. Уравнение движения маятника имеет вид
r |
′ = T |
|
r |
, |
|
|
(11) |
ma |
+ P + Fин = T + P − mao = 0 |
|
|
||||
т. е. a |
′ |
= 0 . Ясно также, что |
tgα = |
ao |
, где α |
– угол между подвесом |
|
g |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
маятника и вертикалью.
В инерциальной системе координат действующие силы и уравнение движения изменяются (рис. 2). Сила инерции в этом случае отсутствует,
имеются только сила T со стороны натянутой нити и сила тяжести = r .
P mg
Условие равновесия гласит:
r |
r |
(12) |
ma |
= T + P = mao |
Очевидно также, что tgα = ago .
Падающий маятник.
Очень эффектной демонстрацией явлений в прямолинейно движущихся неинерциальных системах является падающий маятник. Маятник подвешен на массивной рамке, которая может свободно падать, скользя с очень малым трением по вертикальным направляющим тросам (рис. 4а). Когда рамка покоится, маятник совершает собственные колебания. Рамка может быть
приведена в состояние свободного падения в любой фазе колебаний маятника. Движение его при свободном падении рамки зависит от того, в какой фазе колебаний началось свободное падение. Если маятник в момент
113
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
начала свободного падения находится в точке максимального отклонения, то он остается в этой точке неподвижным относительно рамки. Если же он в указанный момент находился не в точке максимального отклонения, то он имеет относительно рамки некоторую скорость. При падении рамки модуль этой скорости относительно рамки не изменяется, меняется лишь ее направление относительно рамки. В результате маятник вращается равномерно вокруг точки подвеса.
Рис. 4а
Схема сил, действующих
на падающий маятник в системах отсчета:
б – неинерциальной, связанной с маятником; в – инерциальной, в которой
маятник падает с ускорением свободного падения; а –
маятник в положении
равновесия
Fин |
T |
T
mg |
mg |
Рис. 4б |
Рис. 4в |
Рассмотрим это явление в неинерциальной системе отсчета, связанной с рамкой (рис. 4б) . Уравнение движения имеет вид
r |
r |
r |
= T |
(13) |
ma |
′ = T + P + Fин = T + mg |
− mg |
Таким образом, это есть движение материальной точки под действием сил натяжения нити по окружности с центром в точке ее закрепления. Дви- жение происходит по окружности с линейной скоростью, равной начальной. Сила натяжения нити является той центростремительной силой, которая
обеспечивает равномерное движение маятника по окружности и равна m vl′2 , где l – длина подвеса маятника, a v′ – скорость движения маятника
относительно рамки.
В инерциальной системе координат силы инерции отсутствуют. Силы, действующие на маятник, показаны на рис. 4в – это силы натяжения нити и тяжести. Уравнение движения имеет вид
r |
r |
+ T |
(14) |
ma |
= P + T = mg |
Чтобы найти решение уравнения (14), представим полное ускорение
маятника как сумму двух ускорений: r = r + r , и тогда (14) может быть
a a1 a2
записано в виде совокупности двух уравнений
r |
r |
r |
(15) |
ma1 |
= T , ma2 |
= mg |
|
|
|
|
114 |
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
второе из которых имеет решение a2 = g , т. е. описывает свободное
падение маятника, а первое полностью совпадает с (13) и описывает вращение вокруг точки подвеса.
В приведенных примерах анализ движения был одинаково прост и на- гляден как в неинерциальной системе координат, так и в инерциальной. Это объясняется тем, что примеры были выбраны именно такими с целью ил- люстрации соотношения между инерциальными и неинерциальными сис- темами. Однако очень часто решение задачи в неинерциальной системе ока- зывается значительно более простым, чем в инерциальной. Например, анализ скатывания цилиндра с наклонной плоскости, которая находится в равно- ускоренном движении в произвольном направлении, значительно проще в неинерциальной системе координат, связанной с наклонной плоскостью, чем в инерциальной системе, в которой плоскость движется ускоренно.
Измерение сил инерции позволяет найти абсолютное ускорение системы координат относительно сферы неподвижных звезд. Соответствующие при- боры называются акселерометрами.
Задача.
Тело массой m1 может скользить без трения по наклонной плоскости бруска массой m2 . Угол наклона плоскости с горизонтом α . Брусок движется
без трения по горизонтальной плоскости (рис. 5). Найти ускорения тела и бруска.
N1 |
N2 |
|
|
||
|
|
r |
r |
a2 |
|
a1 |
|
|
|
|
|
m1 g |
P |
|
Рис. 5 |
1 |
|
r |
||
|
m2 g |
Решение: Обозначим a1 – ускорение тела вдоль наклонной плоскости относительно бруска и a2 – ускорение бруска в горизонтальном направлении. На тело действует сила реакции N1 опоры и вес m1 g . На брусок действует сила реакции N2 опоры и вес m2 g .
Уравнения движения Ньютона для бруска в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления записываются в виде:
m2a2 |
= N1 sinα |
(16) |
|
0 = m2 g − N2 + N1 cosα, |
|||
|
|||
|
|
115 |
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
а для тела – в виде
m1 |
(a1 cosα − a2 )= N1 sinα |
|
(17) |
|||||||||
m1a1 sinα = m1g − N1 cosα |
, |
|||||||||||
|
||||||||||||
В уравнениях (16) и (17) имеется четыре неизвестных. Находим |
||||||||||||
ускорения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a1 |
= |
(m1 + m2 )g sinα |
|
|
||||||||
|
m sin2 α + m |
|
|
|
|
(18) |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
2 |
= |
m1g sinα cosα |
|
|
|
||||||
|
|
|
m sin2 |
α + m |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Решим теперь эту задачу, если горизонтальная плоскость, на которой находится брусок, движется с ускорением ao вверх.
При решении задачи в инерциальной системе координат в уравнениях (16) и (17) надо учесть изменение сил реакций опор, являющихся след- ствием дополнительного ускорения масс в вертикальном направлении. Однако проще решить задачу в неинерциальной системе отсчета, движу- щейся вертикально вверх с постоянным ускорением. В ней добавляется сила инерции, действующая в вертикальном направлении, и все дело сводится к изменению силы тяжести. Решения для a1 и a2 имеют вид (18), но с
заменой g → g + ao .
a1 |
= |
(m1 |
+ m2 )(g + ao )sin α |
|
||||||
|
|
m sin 2 α + m |
|
|
(19) |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
a |
2 |
= |
m1 (g + ao )sin α cosα |
|
|
|||||
|
|
|
|
m sin 2 |
α + m |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Нетрудно решить задачу для произвольного направления ускорения
r . В этом случае в уравнениях (16) и (17) надо учесть действие сил
ao
инерции как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении.
Невесомость. Принцип эквивалентности.
Невесомость.
Как было видно на примере падающего маятника, в свободно падающей неинерциальной системе отсчета силы инерции полностью компен- сируют действие силы тяжести и движение происходит так, как если бы не было ни сил инерции, ни сил тяжести. Наступает состояние невесомости. Этим
обстоятельством широко пользуются для создания в земных условиях состояния невесомости, например для тренировки космонавтов.
Состояние невесомости возникает в самолете в процессе его перевода в режим пикирования, если при этом ускорение самолета к земле в каждый момент времени равно ускорению свободного падения. Для продолжи- тельного нахождения в состоянии невесомости обычно весь маневр выпол- няют в режиме “горка”, что позволяет избежать образования больших
углов пикирования и наращивания скорости самолета до слишком больших значений. При этом космонавты испытывают состояние невесомости и имеют
116
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
возможность отработать приемы передвижения по кабине, выполнять различные действия и т. д.
Гравитационная и инертная массы.
Наступление состояния невесомости при свободном падении обусловлено весьма важным физическим фактором, а именно равенством инертной и гравитационной масс тела. Инертная масса характеризует инертные свойства тела, а гравитационная масса – силу, с которой тела притягиваются по закону Ньютона. Гравитационная масса имеет такой же смысл, как, на- пример, электрический заряд при рассмотрении электромагнитных взаимо- действий. Вообще говоря, ниоткуда не следует, что гравитационная и инерт- ная массы тела должны быть пропорциональными, или, что то же самое, равными друг другу (если две физические величины пропорциональны друг другу, то подходящим выбором единиц физических величин можно их сделать /равными друг другу). Докажем, что инертная и гравитационная массы тела пропорциональны друг другу. Сила, действующая со стороны Земли, гравитационная масса которой M г , на некоторое тело, гравитационная
масса которого mг , на поверхности Земли равна
F = G |
M г mг |
(20) |
R2 |
где G – гравитационная постоянная, R – радиус Земли. Если инертная масса тела – m то под действием силы (20) оно приобретает ускорение:
g = |
F |
= G |
M г |
|
mг |
= const × |
mг |
(21) |
|
m |
R2 m |
m |
|||||||
|
|
|
|
Так как ускорение g для всех тел у поверхности Земли одинаково, то от- ношение их инертных и гравитационных масс одинаково, т. е. инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Соответствующим вы-
бором единиц физических величин можно их сделать равными друг другу и говорить о массе вообще, не уточняя, о какой именно массе идет речь.
Именно благодаря тому обстоятельству, что гравитационная и инертная массы равны друг другу, при свободном падении силы инерции
и силы тяжести компенсируют друг друга и исключаются из рассмотрения.
Ввиду того, что равенство инертной и гравитационной масс имеет важное значение, оно было весьма тщательно проверено в различных экспериментах. К настоящему времени можно считать доказанным, что эти массы равны друг другу с точностью, не меньшей 10−12 их значения, т. е.
mг - m £10−12 . mг
Равенство инертной и гравитационной масс имеет и другое следствие:
если система отсчета находится в равноускоренном прямолинейном движении относительно инерциальной системы отсчета (в которой, по определению, отсутствуют поля тяготения), то явления в ней протекают
117
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com