Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 831

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В векторном виде это выражение, как это непосредственно видно из соотношения направлений различных величин на рис. 8, можно представить следующим образом:

aк = 2ω × v′

(27)

где v′ – относительная скорость, в данном случае направленная вдоль радиуса.

В случае движения точки перпендикулярно радиусу, т. е. по окружно- сти, относительная скорость v′ = ω′r , а угловая скорость вращения точки в неподвижной системе координат равна ω + ω′ , где ω – угловая скорость вра- щающейся системы координат. Для абсолютного ускорения получаем сле- дующее выражение:

′ 2

2

r + ω

′2

′

(28)

a = (ω + ω )

r = ω

 

r + 2ωω r

Первый член в правой части представляет переносное ускорение, второй член – относительное ускорение. Последний член 2ωω′r = 2ωv′ является кориолисовым ускорением. Все ускорения в (28) направлены вдоль радиуса к центру вращения. С учетом направления кориолисово ускорение в (28) может быть записано в виде:

aк = 2ω × v′

(29)

где v′ – относительная скорость, в данном случае направленная перпендикулярно радиусу.

Произвольная скорость может быть выражена в виде суммы компонент, направленных по радиусу и перпендикулярно ему, и для обеих компонент справедлива одна и та же формула вида (29). Отсюда следует, что формула (29) справедлива для кориолисова ускорения при произвольном направлении относительной скорости.

Если скорость направлена параллельно оси вращения, то никакого кориолисова ускорения не возникает, так как при этом соседние точки траек- тории имеют одинаковую переносную скорость.

Можно получить выражение для кориолисова ускорения более формальным путем – прямым вычислением абсолютного ускорения. Записав радиус-вектор движущейся точки в виде:

r

′ ′

′ ′

′ ′

(30)

r

= ix x

+ iy y

+ iz z

и продифференцировав по t с учетом зависимости ix′ , iy′ , iz′

от времени,

получим для абсолютной скорости следующее выражение:

(31)

v = ω × r + v′ = vo + v′

где ω × r = vo – переносная скорость, а

 

r

 

 

 

(32)

v′ = v′x ix′ + v′y i′y + v′z iz′

– относительная скорость. Отсюда находим абсолютное ускорение:

r

dv

r

dr dv′

r

r r′

r′

r

r′

 

a

= dt

= ω

× dt + dt

= ω ×(vo + v

)+ a

+ω

× v

(33)

причем угловая скорость вращения считается постоянной и учтено, что

122

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

r

¢

 

dv¢

r

dv¢y

r

 

dv¢ r

 

 

r

 

 

 

di¢y

 

 

 

 

r

r

r

r

 

 

dv

 

 

 

di¢

 

 

 

 

 

 

di¢

 

(34)

 

 

=

x

ix¢ +

 

 

iy¢

+

z

iz¢ + v¢x

 

 

x

+ v¢y

 

 

 

 

+ v¢z

 

 

 

 

z

= a

¢ + ω ´ v¢

 

dt

 

dt

dt

 

 

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому абсолютное ускорение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(35)

 

 

a

= ao + a′ + aк ,

 

 

где

r

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ao

= ω ´ (ω ´ r ) – переносное ускорение,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

dv

x

r

 

dvy

r

 

dv

z

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a¢ =

 

 

ix¢ +

 

 

 

 

iy¢ +

 

 

 

 

iz¢ – относительное ускорение,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

кориолисово ускорение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aк = 2ω ´ v′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переносное ускорение целесообразно представить в

 

 

 

 

 

 

 

виде

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

r

 

r

r r

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ao

= ω ´(ω ´ r )= ω(ω ×r )

-ω 2r

= ω 2 (d - r )= -ω2 R

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(36

 

 

Рис. 9

 

 

 

 

 

где

 

 

 

–

вектор,

 

перпендикулярный

оси вращения

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 9). Таким образом, переносное ускорение является центро- стремительным (напомним, что угловая скорость вращения считается постоянной).

Силы инерции во вращающейся системе координат.

По общей формуле (10) можно найти силы инерции во вращающейся системе координат с учетом (35) для абсолютного ускорения. Имеем

r r

r r

r r

¢ = Fцб + Fк

(37)

Fин = m(a¢ - a) = m(- ao - aк ) = mω2 R - 2mω ´ v

Сила инерции

 

 

 

 

Fцб = mω2 R ,

 

 

 

(38)

связанная с переносным ускорением, называется центробежной силой инер- ции. Она направлена вдоль радиуса от оси вращения. Сила инерции

r

r

¢

(39)

Fк = -2mω ´ v

связанная с кориолисовым ускорением, называется силой Кориолиса. Она пер- пендикулярна плоскости, в которой лежат векторы угловой и относительной скоростей. Если эти векторы совпадают по направлению, то ускорение Кориолиса равно нулю.

Равновесие маятника на вращающемся диске.

В качестве примера рассмотрим равновесное положение маятника на вращающемся диске (рис. 10). В

неинерциальной системе координат на маятник действует центробежная сила инерции. Сила Кориолиса в положении равновесия отсутствует, и, следовательно,

Рис. 10

123

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

относительная скорость равна нулю (v′ = 0). Уравнение движения имеет вид:

r

r

+ Fцб = 0

 

 

 

 

 

(40)

ma

′ = T + mg

 

 

 

 

 

В инерциальной системе отсчета уравнение движения маятника,

находящегося в равновесии, таково (рис. 10б):

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

(41)

ma

= T + mg

 

 

 

a

 

 

Непосредственно на рис.

10 видно, что tgα =

 

(α

– угол между

g

 

 

 

 

 

 

 

вертикалью и подвесом маятника).

 

 

 

 

 

 

Движение тела вдоль вращающегося стержня.

 

 

 

Пусть жесткий стержень вращается вокруг оси,

 

 

перпендикулярной стержню и проходящей через один

 

 

из его концов (рис. 11). К оси вращения тело

 

 

прикреплено пружиной, и сила со стороны пружины

 

 

пропорциональна расстоянию тела от оси вращения

 

 

(F = −kr). Если k = mω 2 ,

то центробежная сила инерции

 

 

Fцб = mω 2 r

на любом

расстоянии

от

оси вращения

 

 

уравновешивается силой пружины. В этом случае

 

 

тело вдоль стержня движется с постоянной скоростью

 

 

v' (относительно стержня). Стержень несколько

 

 

изгибается (рис. 11). Рассмотрим движение и силы в

 

 

инерциальной (неподвижной) и неинерциальной (свя-

 

 

занной со стержнем) системах координат.

Рис. 11

В инерциальной

системе координат на тело

действуют две силы (рис. 11а):

 

 

 

 

 

 

1) центростремительная сила Fцс со стороны пружины,

направленная в

каждый момент к оси вращения и равная mω 2 r . Эта сила обеспечивает дви- жение тела вокруг оси вращения.

2) сила со стороны изогнутого стержня Fдеф (эта

изогнутость для

очень жесткого стержня может быть

сколь угодно малой, но сила имеет

конечное значение), которая сообщает

телу ускорение

r

aк , являющееся

кориолисовым. Это обычная сила, обусловленная деформацией стержня.

В неинерциальной системе координат, связанной с вращающимся стержнем, имеются четыре силы, которые взаимно уравновешиваются, в результате чего тело движется в этой системе равномерно, без ускорений (рис. 11б):

1)

центробежная сила

инерции

Fцб = mω 2 r , направленная

вдоль

стержня от оси вращения.

 

 

 

2)

центростремительная

сила fцс

со стороны пружины,

равная

kr = mω 2 r и направленная вдоль стержня к оси вращения.

 

 

 

 

 

124

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

3) кориолисова сила инерции Fк , приложенная к телу. Следует

подчеркнуть, что эта сила приложена именно к телу, а не к стержню. Он изогнут за счет обычного взаимодействия деформированных тел, а не потому, что к нему приложена сила Кориолиса. Ситуация здесь совершенно аналогична той, когда тело лежит на столе: сила тяжести приложена к телу,

ана стол со стороны тела действует сила, обусловленная его деформацией,

аотнюдь не сила тяжести.

4)со стороны изогнутого стержня к телу приложена сила Fдеф , обуслов-

ленная деформацией штанги. Эта сила равна силе Кориолиса, но противопо- ложна ей по направлению.

Неинерциальная система координат, связанная с поверхностью Земли. Поскольку Земля вращается, система координат, связанная с ее

поверхностью, является неинерциальной вращающейся системой координат.

Угловую скорость вращения в любой точке поверхности удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие (рис. 12): ω = ωв + ωг . На широте ϕ эти составляющие равны соответственно ωг = ω cosϕ ,

ωв = ω sin ϕ .

Центробежная сила инерции, равная mω 2 R cosϕ , где R – радиус Земли, лежит в плоскости меридиана. В северном полушарии она отклонена от вер- тикали к югу на угол ϕ , в южном – к северу на тот же угол. Таким обра-

зом, вертикальная составляющая этой силы изменяет силу тяжести, а ее го-

ризонтальная составляющая направлена по касательной к поверхности Земли вдоль меридиана к экватору.

Сила Кориолиса зависит от относительной скорости тела. Эту скорость удобно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие: v′ = vв′ + vг′. Тогда сила Кориолиса может быть представлена в виде

r

r

r r

v

r

v

r

v

r

(42)

Fк = −2m(ωв + ωг

)× (vв′ + vг′)= −2mωв × vг′ − 2mωг

× vв′

− 2mωг × vг′ ,

где учтено, что ωв

× vв′ = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Вертикальная

составляющая

скорости

 

обусловливает

возникновение

составляющей

силы Кориолиса

− 2mωг ×vв′

В

горизонтальной плоскости

перпендикулярно плоскости меридиана. Если тело движется вверх, то сила направлена на запад, а если вниз – то на восток. Поэтому

свободно падающее с достаточно большой высоты тело отклоняется на восток от вертикали, направленной в центр Земли. Эта сила, отклоняющая тело от вертикали, очевидно, равна

2mω cosϕvв′ .

 

Горизонтальная составляющая скорости vг′

 

обусловливает возникновение двух составляющих

 

силы Кориолиса.

Составляющая, равная

Рис. 12

− 2mωг × vг′ ,

зависит

от

горизонтальной

 

 

 

 

 

 

 

 

125

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

составляющей угловой скорости вращения Земли и направлена вертикально. Эта сила либо прижимает тело к Земле, либо, наоборот,

стремится удалить его от поверхности Земли в зависимости от направлений векторов ωг и vг′ , что необходимо принимать во внимание при движении

тел на достаточно большие расстояния, например при полете баллистических ракет.

Вторая составляющая силы Кориолиса, связанная с горизонтальной со- ставляющей скорости движения vг′ , равна − 2mωв × vг′ . Она является гори-

зонтальной силой, перпендикулярной скорости. Если смотреть вдоль скоро- сти, то в северном полушарии она всегда направлена вправо. Силой Ко- риолиса обусловлено, например, неодинаковое изнашивание рельсов двухко- лейной железной дороги, когда поезда по каждой колее движутся все время в одном направлении. В этом случае сила Кориолиса, приложенная к центру масс вагона, создает относительно правого рельса момент, который должен

быть уравновешен увеличением силы реакции со стороны правого рельса на колеса. Поэтому давление правых колес на рельсы больше, чем левых, и это

приводит к некоторому небольшому увеличению износа правых рельсов в сравнении с износом левых. Важным проявлением действия силы Кориолиса

является изменение положения плоскости колебаний маятника относительно поверхности Земли.

Маятник Фуко.

Рассмотрим колебание маятника с учетом действия на него горизонтальной составляющей силы Кориолиса. Проекция

материальной точки маятника на горизонтальную плоскость движется по кривым, показанным на рис. 13. Различие кривых объясняется следующим образом.

Рис. 13 Если маятник отклонен от положения

равновесия и отпущен с нулевой начальной скоростью относительно наблюдателя, движущегося вместе с Землей, то он начинает двигаться к центру равновесия. Однако сила Кориолиса отклоняет его вправо и он не проходит через центральную точку. В результате проекция материальной точки маятника движется по кривой, показанной на рис. 13 а.

Можно привести маятник в движение другим способом: сообщить ему скорость в точке равновесия. Характер его движения при этом изменится. При удалении от центра сила Кориолиса сообщает ему ускорение вправо. Бла- годаря этому к моменту отклонения маятника в крайнее положение, когда его скорость вдоль радиуса от центра качания обратится в нуль, он приоб- ретает максимальную скорость в направлении перпендикулярном радиусу. В результате этого траектория маятника касается окружности, радиус которой

126

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы