Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл (4,32Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 821

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим

U e (x, t)≈ U e (0, t)+ x∂U e

∂x x=0

Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от

некоторой другой функции времени). Во втором члене − ∂∂Uxe есть внешняя

“сила”, действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как F(t). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член − xF(t), так что функция Лагранжа системы будет:

& 2		&		2
L =	mx	−	kx		+ xF(t)

2		2

Соответствующее уравнение движения есть:

m&x& + kx = F(t),

или

&x& + ω 2 x = Fm(t),

(54)

(55)

где мы снова ввели частоту ω свободных колебаний.

Как известно, общее решение неоднородного линейного диф-

ференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: x = x0 + x1 , где x0 – общее решение однородного

уравнения, а x1 – частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае x0 представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе

свободные колебания.

Рассмотрим имеющий особый интерес случай, когда вынуждающая

сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой γ :

F(t)= f cos(γt + β )	(56)
Частный интеграл уравнения (55) ищем в виде x1 = b cos(γt + β ) с тем же
периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает:	b =	m(ω 2f− γ 2 )	;

прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде:

x = a cos(ωt + α )+ ( f )cos(γt + β ) (57) m ω 2 − γ 2

Произвольные постоянные a и α определяются из начальных условий. Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы ω и с частотой вынуждающей

силы γ .

Решение (57) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для

163

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение (57) с соответствующим переобозначением постоянных в виде:

x = a cos(ωt + α )+ ( f )(cos(γt + β )- cos(ωt + β )) m ω 2 - γ 2

При γ → ω второй член дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим:

x = a cos(ωt + α )+		f	t sin(ωt + β )	(58)
x = a cos(ωt + α )+	2mω		t sin(ωt + β )	(58)
	2mω
Таким образом,		в	случае резонанса амплитуда колебаний	растет

линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).

Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса,

когда γ = ω + ε , где ε –	малая величина. Представим общее решение в
комплексном виде:
x = Aeiωt + Bei(ω +ε )t = (A + Beiεt )eiωt			(59)
Так как величина	A + Beiεt мало меняется в течение	периода		2π
Так как величина	A + Beiεt мало меняется в течение	периода		ω
				ω

множителя eiωt , то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой.

Обозначив последнюю через C , имеем:

C = A + Beiεt

Представив А и В соответственно в виде aeiα	и beiβ , получим:
С 2 = a2 + b2 + 2ab cos(εt + β - α )	(60)

Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой ε , меняясь между двумя пределами:

a - b £ C £ a + b

Это явление носит название биений.

Уравнение движения (55) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе F(t). Это легко сделать, переписав его предварительно в виде:

	d	&		&		F(t)
	dt					m
		(x + iωx)- iω(x + iωx)=
или
	dξ		- iωξ =	F(t)	,	(61)
	dt
				m
где введена комплексная величина
ξ = x + iωx						(62)
		&

Уравнение (61) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы ξ = Aeiωt с постоянной А. Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде ξ = A(t)eiωt и для функции

A(t) получаем уравнение:

A&(t)eiωt + A(t)×iωeiωt - iωA(t)eiωt = F(t) m

164

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

&	F(t)			−iωt
A(t) =			e
A(t) =	m		e
Интегрируя его, получим решение уравнения (61) в виде:
	ìt	1		ü
ξ = eiωt íò		1		F(t)e−iωt dt + ξo ý	,	(63)
ξ = eiωt íò		m		F(t)e−iωt dt + ξo ý	,	(63)
	î0	m		þ

где постоянная интегрирования ξo выбрана так, чтобы представлять собой значение ξ , в момент времени t = 0 . Это и есть искомое общее решение: функция x(t) дается мнимой частью выражения (63), деленной на

ω .

Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется: система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия силы от − ∞ до + ∞ , предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно формуле (63) (с нижним пределом интегрирования − ∞ вместо нуля и с ξ (- ¥)= 0) имеем при t → ∞ :

ξ (¥)

2 =

+∞

(t)e−iωt dt

ò F

−∞

С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра-

жением:

& 2

+ ω

E = 2

2 =

)= 2

(64)

ξ (¥)

Подставив

сюда

2 ,

получим

искомую передачу энергии и

импульса в виде:

+∞

(t)e−iωt dt

E =

ò F

(65)

−∞

p =

+ò∞F(t)e−iωt dt

−∞

она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы F(t) с частотой, равной собственной частоте системы.

В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с ω1 ), то можно положить e−iωt »1. Тогда

	1	æ +∞		ö2	+∞
E =		ç	ò	÷	и p = ò F(t)dt .
E =		ç	ò	F(t)dt ÷	и p = ò F(t)dt .
	2m è		−∞	ø	−∞

Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс òFdt , не успев за это время

произвести заметного смещения.

165

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Задачи.

1) Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы F(t), если в начальный момент t = 0 система покоится в положении

равновесия (x = 0, x = 0,ξo = 0), для случаев:

F = const = Fo

Решение:

Fo e−iωt dt = Fo

eiωt (e

−iωt )

= iF o eiωt (e−iωt -1)= iFo (1 - eiωt )Þ

ξ = eiωt ò

- iωm

mω

ξ =

iFo

(1- cosωt - isinωt)

sinωt + i

(1- cosωt)

mω

Отсюда, согласно ξ = x + iωx , находим x:

x =

(1 - cosωt)

mω

F = at

Решение:

iωt

−iωt

iωt

−iωt

iωt

−iωt

ξ = e

òtd(e

)

- òe

dt =

çte

dt ÷

mω

−iωt

i(e

−iωt

-1)

ia æ

iωt

iωt ç

çte

çt

(1 - e

)÷ =

mω

mω è

1 - cosωt - i sin ωt ö

æ at

a sin ωt ö

çit +

(1 - cosωt)+ iç

mω

mω 2

mω

è mω

2 ø

x = maω2 (ωt - sin ωt)ω1 = maω3 (ωt - sin ωt)

c)F = Fo e−αt

Решение:

(e−(iω+α )t

-1)=

ξ = eiωt ò

e−iωt × e−αt dt =

eiωt òe−(iω+α )t dt = -

eiωt

iω +α

Fo α - iω

iωt

- e

−αt

(α - iω)(cosωt + i sinωt - e

−αt

m(α 2 + ω 2 )

α 2

+ ω 2

(α cosωt + iα sinωt -αe

−αt

- iω cosωt + ω sin ωt + iωe

−αt

m(α 2

+ ω 2 )

= m(α 2

+ ω 2 )((α cosωt -αe

−αt

+ ω sinωt)+ i(α sinωt - ω cosωt + ωe

−αt

))Þ

x =

çe−αt - cosωt

sin ωt ÷

m(α 2

+ω2 )è

2) Определить конечную амплитуду колебаний системы после действия внешней постоянной силы Fo , действующей в течение ограниченного

времени T. До момента времени t = 0 система покоится в положении равновесии.

Решение:

166

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ξ = mFωo sinωt + i mFωo (1- cosωt) (См. задачу 1а).

Найдём модуль комплексной									величины ξ :
		2	æ	F	ö2	æ	2F		ωt ö2

	ξ		= ç	o	÷	(2 - 2cosωt)= ç	o	sin	÷

			è mω ø			è mω			2 ø

Из формулы ξ 2 = a2ω 2 следует, что искомая амплитуда колебаний равна:

a= m2ωFo2 sin ω2t

3)То же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до

T =

2π

по закону F = Fo sin ωt :

Решение:

(eiωt - e−iωt ):

Поскольку F = Fo sinωt =

−2iωt

-1)

ξ (t) = -

Foi

iωt

ò(e

iωt

−iωt

iFo

iωt

ò(1

−2iωt

)dt = -

iFo

iωt

- e

dt = -

- e

çt +

2iω

ξ (t)= -

iFo

iωt

−iωt

- e

iωt

- i ×t cosωt + t sinωt + i

sinωt

çte

÷ =

2iω

2m è

sinω

2π

F ç

2π

F π

ξ (T )=

ç- i ×

sinω

+ i

= -

mω

2m ç

Из формулы ξ 2 = a2ω 2 следует, что искомая амплитуда колебаний

равна:

a = Foπ mω 2

Автоколебания, параметрические колебания и колебания связанных систем.

Автоколебания.

Определение.

Из-за потери энергии на трение собственные колебания постепенно затухают. Если к осциллятору подводить энергию от источника внешней гармонической силы, то он начнет колебаться с частотой этой силы, которая вообще говоря, отличается от собственной частоты осциллятора.

Однако можно создать устройства, в которых осциллятор сам регулирует подвод энергии из внешнего источника таким образом, чтобы компенсировать потери энергии на трение. За период колебаний из внешнего источника энергия, приобретаемая осциллятором, равна энергии, затрачиваемой на преодоление сил трения. В результате осциллятор

167

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Смотрите также файлы

Лаб раб Вязкость возд Пуазейль ТРИ ИТОГ.doc

Законы сохраненияЛекция.doc

Законы сохранения.doc

ВсяМехЛАБраб2части.doc

ВсяМехЛАБраб2части.doc

Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно