Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

совершает незатухающие колебания. Такие самоподдерживающиеся колебания называются автоколебаниями. Если трение невелико, то за

один период в систему поступает лишь небольшая доля полной энергии осциллятора. В этом случае автоколебания с очень большой точностью

являются гармоническими и их частота очень близка к частоте собственных колебаний. Если же силы трения велики, то за один период в систему

подводится значительная часть полной энергии осциллятора и поэтому колебания сильно отличаются от гармонических, хотя и являются периодическими. Период этих колебаний не совпадает с периодом собственных колебаний осциллятора.

Автоколебания маятника.

Рассмотрим колебания маятника, подвешенного на оси во вращающейся втулке (рис. 1), и превращение его энергии в различных случаях. Пусть маятник покоится.

Тогда вращающаяся втулка в результате скольжения относительно оси совершает работу на преодоление сил трения. Эта работа полностью превращается во внутреннюю энергию, и в результате ось и втулка нагреваются. Источником энергии, превращенной во внутреннюю, является машина, приводящая во вращение втулку.

Пусть теперь маятник колеблется. В тот полупериод колебаний маятника, когда направления вращения оси маятника и втулки совпадают, силы трения совпадают по направлению с движением точек поверхности оси. Поэтому эти силы вызывают усиление колебаний маятника. С другой стороны, энергия, превратившаяся во внутреннюю, за время полупериода

колебаний в сравнении со случаем покоящегося маятника уменьшается ввиду того, что относительное перемещение трущихся поверхностей (внешняя поверхность оси и внутренняя поверхность втулки) уменьшается. Поэтому лишь часть энергии от машины, вращающей втулку, превращается во внутреннюю, а другая часть идет на увеличение энергии колебаний маятника.

В другой полупериод колебаний маятника, когда направления вращения его оси и оси втулки противоположны, силы трения действуют против направ- ления движения маятника. Поэтому они тормозят его движение и энергия колебаний маятника превращается во внутреннюю. Энергия от машины, вра- щающей втулку, в этом случае также полностью превращается во внутрен- нюю. Полный результат превращений энергии в течение периода колебаний определяется характером зависимости сил трения от скорости.

Если силы трения не зависят от скорости, то энергия, приобретаемая маятником в полупериоде колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, равна энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде. В этом случае вращение втулки не вносит каких-либо

168

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

изменений в колебания маятника в сравнении со случаем невращающейся втулки.

Если сила трения увеличивается с возрастанием скорости, то энергия, приобретаемая маятником за полупериод колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, меньше энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде, поскольку во втором полупериоде относительные скорости больше, а, следовательно, и силы трения больше, чем в первом полупериоде. В этом случае вращение втулки увеличивает затухание колебаний маятника.

Если сила трения уменьшается с увеличением скорости, то энергия, при- обретаемая маятником в полупериоде колебаний, когда направления враще- ния его оси и вала совпадают, больше энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде, поскольку во втором полупериоде относи- тельные скорости больше, а следовательно силы трения меньше, чем в первом полупериоде. Таким образом, вращение втулки приводит к увеличению амплитуды колебаний маятника. Однако при этом возрастают потери энергии маятника на трение о воздух. Когда поступающая в маятник энергия за пе- риод становится равной энергии, теряемой на трение, наступает режим коле- баний с постоянными амплитудой и частотой, называемой автоколебатель- ным режимом. Если потери на трение за один период невелики в

сравнении с полной энергией колебаний маятника и амплитуда колебаний достаточно мала, то эти колебания являются гармоническими, а их частота равна собственной частоте колебаний маятника.

Автоколебания широко применяются в технике. Хорошо известным примером являются маятниковые часы. В них сообщение энергии

маятнику происходит толчками в результате приложения усилий к маятнику со стороны пружины или подвешенных гирь в моменты времени, определяемые колебаниями самого маятника. В электрическом звонке колебания молоточка включают и выключают электрический ток, который сообщает энергию системе звонка, благодаря чему поддерживаются автоколебания молоточка.

169

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

затем очень резко, почти скачком, происходит изменение ее состояния, и она возвращается в первоначальное состояние; затем снова накапливаются медленные изменения и т. д.

Известный с древних времен пример таких колебаний показан на рис. 2а. В сосуд введена широкая трубка-сифон, по которой вода может вытекать из сосуда. Наливается в сосуд вода из крана тонкой струей. Вследствие этого уровень воды в сосуде медленно повышается. Когда

уровень достигает нижней стенки сифонной трубки в ее верхней части (высота H 2 ), вода начинает переливаться наружу, увлекает за собой воздух и заполняет все сечение сифона в верхней части. После этого она выливается из сифонной трубки по всему поперечному сечению, т. е. очень быстро, поскольку это сечение большое. Уровень воды в сосуде резко понижается до нижнего конца сифонной трубки внутри сосуда (высота H1 ). После этого начинается новый цикл заполнения водой. График изменения высоты уровня воды в сосуде изображен на рис. 2б. Видно, что эти колебания носят разрыв- ный характер: в верхней и нижней точках скорость изменения h скачком ме- няет свой знак на обратный – от положительного значения при росте h на отрицательное значение в верхней точке, когда начинается выливание жидко- сти через сифонную трубку.

Параметрические колебания.

Параметрическое возбуждение колебаний.

Свойства колеблющихся систем описываются величинами, называемыми параметрами. Например, математический маятник характеризуется одним параметром – его длиной. При изменении этого параметра изменяются колебательные свойства маятника, а именно частота собственных колебаний. Если этот параметр изменять в определенном такте с колебаниями, то можно сообщить маятнику энергию и тем самым

увеличить амплитуду его колебаний либо просто поддерживать колебания в незатухающем режиме. Такое возбуждение и поддержание колебаний называется параметрическим.

Хорошо известным примером параметрического возбуждения и поддерживания колебаний является качание на качелях. Когда качели находятся в верхней точке, качающийся на них приседает, а когда качели проходят нижнюю точку, он снова выпрямляется. В результате приседания в верхних точках совершается меньшая по модулю работа, чем работа при подъеме в нижней точке. Разность работ, по закону сохранения, равна разности энергий качаний, и качели раскачиваются. Если эта энергия затрачивается полностью на работу силы трения, то качания поддерживаются в незатухающем режиме.

170

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Движение в быстро осциллирующем поле.

Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля U и силы:

удовлетворяющую условию ω >> T1 , где T – порядок величины периода

движения, которое частица совершала бы в одном поле U. По своей величине сила f не предполагается слабой по сравнению с силами, действующими в поле U.

Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже через ξ ,). Для упрощения вычислений рассмотрим сначала одномерное движение в поле, зависящем лишь от одной пространственной координаты х. Тогда уравнение движения частицы:

Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее

движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями (с частотой ω ) вокруг нее. Соответственно этому представим функцию x(t) в виде суммы

нуль, функция же X (t) за это время меняется очень мало. Обозначая такое усреднение чертой над буквой, имеем: x = X (t), т.е. функция

описывает усредненное по быстрым осцилляциям “плавное” движение частицы. Выведем уравнение, определяющее эту функцию.

Подставляя (3) в (2) и разлагая по степеням ξ , с точностью до членов первого порядка, получим

В этом уравнении фигурируют члены различного характера – осциллирующие и “плавные”; они должны, очевидно, взаимно сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности. Для осциллирующих членов достаточно написать:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com