Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Таким образом, под влиянием внешней гармонической силы

осциллятор совершает вынужденные гармонические колебания с частотой этой силы. Фаза и амплитуда этих колебаний определяются как свойствами силы, так и характеристиками осциллятора. Рассмотрим изменение фазы и амплитуды вынужденных колебаний.

Амплитудно-частотная характеристика.

Кривая, описывающая зависимость амплитуды

вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы, называется амплитудно-частотной характеристикой. Ее аналитическое выражение дается формулой (38б), а графическое изображение приведено на рис. 3.

Максимального значения амплитуда достигает Рис. 3 при частоте внешней силы, близкой к частоте собственных колебаний осциллятора (ω ≈ ωo ). Колебания

с максимальной амплитудой называются резонансными, а само явление “раскачки” колебаний до максимальной амплитуды при ω ≈ ωo называется

резонансом. Частота ωo в этом случае называется резонансной. При

отклонении частоты внешней силы от резонансной амплитуда резко умень- шается.

Рассмотрим физическую картину явления в различных областях частот. Наибольший интерес представляют колебания при малом трении. Поэтому будем предполагать, что γ << ωo

С л у ч а й 1: ω << ωo

Из формулы (38б) получаем для амплитуды выражение:

Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень

малой частоте внешней силы она действует на систему как постоянная статическая сила. Поэтому максимальное смещение (амплитуда) равно

154

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

D = mωo2 – жесткость, характеризующая возвращающую силу. Из условия ω << ωo

следует, что в уравнении движения (33) член &x&, обусловленный ускорением, и член 2γx& , означающий скорость, много меньше члена ωo2 x , связанного с

Это означает, что в каждый момент смещение является таким, каким оно должно быть, если бы сила не изменялась со временем и была равна ее мгновенному значению. Силы трения роли не играют.

С л у ч а й 2:

Из формулы (38б) получаем для амплитуды выражение

Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень большой частоте внешней силы член, обусловленный ускорением &x&, много больше каждого из членов, связанных со скоростью и упругой силой, потому

Таким образом, силы упругости и силы трения в сравнении с внешней силой не играют никакой роли в колебаниях. Внешняя сила действует на осциллятор так, как если бы никаких сил упругости и сил трения не было.

С л у ч а й 3: ω ≈ ωo .

Это есть случай резонанса. При резонансе амплитуда имеет максимальное значение, для которого из формулы (38б) при условии γ << ωo

Физический смысл этого результата заключается в следующем. Член, связанный с ускорением, равен члену, обусловленному упругой силой, т. е. &x& = −ω 2 x = −ωo2 x . Это означает, что ускорение создается силой упругости, а

внешняя сила и сила трения – взаимно компенсируются. Уравнение (33)

имеет вид

155

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

и его решение записывается следующим образом:

найдено по общему правилу путем приравнивания нулю производной от Ao по ω в (38б). Однако при не очень большом трении, когда γ << ωo , смещение максимума от ω = ωo весьма незначительно и не имеет смысла принимать его во внимание.

Добротность.

Важной характеристикой свойств осциллятора является рост амплитуды его колебаний в резонансе в сравнении со статическим ее значе- нием, т. е. со смещением под действием постоянной силы. Из формул (41) и (45) следует

где θ – логарифмический декремент затухания. Величина Q называется добротностью системы. Добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы.

Из формулы (47) видно, что чем меньше затухание осциллятора, тем более энергично он раскачивается в резонансе, поскольку

Ao, рез = Ao,статQ = Ao,стат πθ , как видно из (47).

Важной характеристикой резонансных свойств является не только увеличение амплитуды в резонансе, но и интенсивность этого увеличения. Другими словами, важно не только значение резонансной амплитуды, но и насколько энергично уменьшается эта амплитуда при отклонении от резо- нансной частоты. Это свойство характеризуется понятием ширины резонансной кривой. Однако эта

величина определяется не относительно амплитуды колебаний, а относительно квадрата амплитуды. Это связано с тем, что такая важнейшая характеристика линейного осциллятора, как энергия, дается не амплитудой смещения, а ее квадратом. Вид резонансной

Рис. 4 кривой квадрата амплитуды аналогичен рис. 3. Эта кривая изображена на рис. 4 вместе с указанием полуширины резонансной кривой: полушириной резонансной кривой

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

частоты, где квадрат амплитуды убывает в два раза. Нетрудно вычислить эту полуширину. Вблизи резонанса ω = ωo можно считать

т. е. ширина равна удвоенному декременту затухания: чем меньше затухание, тем меньше ширина и острее резонансная кривая.

Более удобно формулу (50) выразить через логарифмический декремент затухания и добротность. Разделим обе части (50) на ωo и учтем (47):

Таким образом, ширина ω резонансной кривой равна частоте резо- нанса, деленной на добротность.

При увеличении добротности возрастает резонансная амплитуда и уменьшается ширина резонансного максимума. Однако, как это следует из (47) и сказанного выше о переходном режиме, с увеличением добротности возрастает время установления вынужденных колебаний.

происходит

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При очень малых частотах ω << ωo фаза ϕ мала и отрицательна. Это

означает, что смещение отстает по фазе от силы на очень небольшую величину: с возрастанием частоты отставание смещения по фазе от силы

увеличивается. При резонансе смещение отстает от силы по фазе на π2 . Это

означает, что в тот момент, когда сила достигает максимального значения, смещение равно нулю, а когда сила равна нулю, смещение максимально. При

дальнейшем возрастании частоты отставание смещения от силы продолжает увеличиваться и при очень больших частотах ω >> ωo приближается к π .

сила достигает максимального положительного значения, смещение имеет максимальное отрицательное значение. Затем сила и смещение изменяются в противоположных направлениях, проходя нулевое значение почти одновременно.

Эти фазовые соотношения между смещением и силой позволяют более глубоко понять сущность явления резонанса. Как было подмечено выше,

скорость опережает смещение на π2 . С другой стороны, при резонансе сила опережает смещение также на π2 . Следовательно, скорость и сила колеб-

лются в одной фазе, т. е. сила все время совпадает по направлению со ско- ростью. Поэтому работа внешней силы достигает максимального значения. Если резонанса нет, то часть времени сила совпадает по направлению со скоростью и, следовательно, энергия осциллятора увеличивается, а часть вре- мени действует против скорости и, следовательно, его энергия уменьшается. Поэтому резонанс характеризуется наличием максимально возможных бла-

гоприятных условий для передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору. Самые неблагоприятные условия передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору имеют место при ω << ωo и ω >> ωo ,

когда фазы силы и скорости отличаются почти на π2 . Это означает, что сила

примерно половину времени направлена противоположно скорости и половину времени совпадает с ней. Таким образом, в среднем осциллятору

от источника внешней силы передается незначительная энергия за период колебаний и поэтому амплитуда колебаний в этих случаях очень мала.

Периодическая, но не гармоническая сила.

Если действующая на осциллятор внешняя сила Fo f (t) является

периодической с периодом Т, то по известным из математического анализа формулам ее можно представить в виде ряда Фурье, каждый член которого является гармонической функцией:

158

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com