Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

n=0

где ω = 2Tπ . Эта сила действует на осциллятор вместо силы (31) и вхо-

дит в правую часть уравнения (33).

Для нахождения результата ее действия никаких новых расчетов делать не требуется. Достаточно учесть, что уравнение (33) является линейным и, следовательно, его решение может быть представлено как сумма решений уравнений, в правой части которых стоит один из членов суммы (53). Другими словами, каждое из слагаемых гармонических сил в (53) действует на линейный осциллятор независимо. Это действие уже изучено. Полное колебание слагается из суммы колебаний, вызываемых отдельными гармоническими силами в (53).

Наиболее сильное влияние на осциллятор оказывают те члены суммы (53), частоты которых лежат вблизи резонансной частоты, т. е у которых nω ≈ ωo . Если таких частот нет, то периодическая сила Fo f (t) не вызывает

сильного роста амплитуды колебаний осциллятора. Если же такие частоты есть, то наблюдается явление резонанса. Резонансная амплитуда, ширина

резонансной линии и сдвиг фаз находятся по рассмотренным выше формулам. Абсолютное значение резонансной амплитуды зависит от коэффи- циента an и bn в соответствующих членах суммы (53). Если эти члены очень

малы, то рост резонансной амплитуды даже в сотни раз не приведет к существенному увеличению суммарной амплитуды колебаний. В этом случае резонансные члены в (53) не имеют значения.

Если же коэффициенты an и bn в резонансных членах не очень малы, то

соответствующие резонансные амплитуды играют определяющую роль в характере действия силы Fo f (t) на осциллятор.

Как уже было отмечено, большинство физических систем при малом отклонении от положения равновесия ведут себя как линейные осцилляторы. Например, вершины строительных конструкций (башен, домов), мосты раз- ных конструкций и т. д. колеблются как линейные осцилляторы. Вра- щающиеся валы машины испытывают крутильные колебания, которые также являются колебаниями линейного осциллятора (угловое ускорение а при отклонении от положения равновесия пропорционально углу отклонения, т. е. α&& ~ α ). Кроме того, эти системы часто подвергаются воздействию периодических сил. Например, вал машины испытывает периодические усилия со стороны поршней в результате сгорания топлива в цилиндрах, на

различные части моста воздействует почти периодическое изменение давления от последовательности автомашин, идущих друг за другом более или менее регулярно, периодические шаги пешеходов и т. д. Чтобы проанализировать результат этих периодических воздействий, необходимо произвести спектральный анализ сил, т. е. представить силы в виде (53) и посмотреть, с какими коэффициентами an и bn в этом разложении

присутствуют различные гармонические составляющие силы

159

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Затем надо проанализировать, с какими собственными частотами ωoi

может колебаться система. Вообще говоря, реальная система обладает не одной собственной частотой, а несколькими или даже бесконечным

числом и ее при малых отклонениях не всегда можно представить в виде одного линейного осциллятора. Может случиться, что при малых

отклонениях система ведет себя как совокупность линейных осцилляторов с различными собственными частотами. Каждый из них под действием

соответствующих гармонических составляющих силы может начать резонансные колебания. Например, мост может совершать вертикальные колебания, горизонтальные смещения поперек своей длины, колебания вдоль своей длины и т. д. Собственные частоты колебаний различны и у каждого вида колебаний имеется не одна собственная частота. Все собственные частоты надо принять во внимание при анализе действия внешней перио- дической силы. Конструкторская работа частично состоит в том, чтобы избе- жать резонансного действия внешних сил на систему. Не менее важной

задачей в других случаях является обеспечение резонансного воздействия внешних сил на систему. Например, в радиотехнике при приеме радио- сигналов необходимо добиться их резонансного воздействия на колебатель- ные контуры радиоприемника. В обоих случаях задача сводится к исследова- нию вынужденных колебаний линейного осциллятора под действием внеш- ней периодической силы.

Следует также принять во внимание возможную связь различных ли- нейных осцилляторов друг с другом. Это будет сделано при рассмотрении колебаний связанных систем.

Непериодическая сила.

Периодическая сила, действие которой на линейный осциллятор было только что рассмотрено, является идеализированным представлением, которое в реальных условиях никогда не осуществляется. Чтобы быть периодической в строгом смысле этого слова, сила должна действовать периодически в течение бесконечного времени. Если же действие силы имеет начало и конец, то, строго говоря, она не является периодической. Тем не менее, реальные силы, имеющие периодический характер и действующие в течение конечного промежутка времени, с успехом можно рассматривать как периодические. Для этого сила должна действовать “достаточно продолжительно”. Чтобы получить критерий “достаточной продолжи- тельности”, проанализируем гармонические силы.

После начала действия гармонической силы (31) для установления вынужденных стационарных колебаний требуется время τ = γ1 . Если воздей-

ствие силы продолжается значительно дольше этого времени и система совер- шает достаточно много колебаний, то результат является таким же, как если бы оно продолжалось бесконечно долгое время. Следовательно, при этом

160

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

условии сила является гармонической и можно не принимать во внимание ее ограниченность во времени.

Периодическая сила также имеет начало и конец и в строгом смысле не является периодической. Однако аналогично случаю гармонической силы, ее можно рассматривать как периодическую, если время τ установления вынужденных колебаний много меньше времени действия силы. По истечении времени τ колебания приобретают свой стационарный характер и дело происходит так, как если бы они существовали бесконечно, т. е. можно считать, что сила является строго пе- риодической.

Под непериодической силой понимается такая, в пределах времени существования которой невозможно установить какое-то периодическое из- менение. Результат ее воздействия может быть выяснен с помощью только что изложенных соображений. Пусть продолжительность Т действия силы значительно больше времени τ установления колебаний в системе. Тогда по истечении τ в системе установится некоторый стационарный режим, в ко- тором не произойдет каких-либо существенных изменений в последующий промежуток времени T − τ . Поэтому естественно рассматривать процесс как периодический с периодом Т. Представим эту силу в виде (53). Очевидно, что составляющие силы, соответствующие членам n >> 1, за время Т успевают сделать много колебаний, причем стационарный режим для них устанавливается в течение времени нескольких первых колебаний. Поэтому

для этих составляющих полностью применимы все выводы о действии периодической силы. Если частоты попадают в резонансную область, то амплитуда соответствующих колебаний сильно возрастает. Ввиду того, что в

nω = ωo могут находиться частоты многих членов (53). Соответствующие почти

резонансные колебания складываются друг с другом. С другой стороны, в этом случае первые члены суммы (53) с n=0, 1, 2,… имеют частоты, много меньшие резонансной. Для таких частот справедливо уравнение (42), когда отклонение как бы мгновенно следует за силой. Таким образом, если

непериодическая сила существует много дольше времени установления колебаний и периода резонансных колебаний, то процесс рассматривается совершенно аналогично случаю периодической силы. Строго говоря, при таком подходе будет допущена некоторая ошибка, потому что в начале и

конце действия силы состояние движения осциллятора не будет полностью одинаковым. Поэтому к периоду Т следовало бы добавить время затухания τ , чтобы второй “воображаемый период” начался так же, как и первый, когда колебания до начала действия силы отсутствуют. Но τ << T и это уточнение больших изменений не несет. С математической точки зрения для более строгого решения задачи следует перейти к непрерывному спектру, а именно считать, что период действия силы T → ∞ . Тогда вместо выражения силы в виде (53) как суммы по частотам ее можно представить в виде

161

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

интеграла по частотам, который известен как интеграл Фурье. В этом случае частоты принимают не дискретные, а всевозможные непрерывно изменяющиеся значения. Вынужденные колебания в своем составе также содержат всевозможные частоты, плотности амплитуд которых соответ- ствующим образом связаны с плотностью амплитуд силы тех же частот.

Компоненты силы с частотами, лежащими в области резонанса, вызывают сильное увеличение амплитуд смещения. Физическое содержание явлений при непрерывном спектре аналогично случаю дискретного спектра.

Если время действия Т внешней силы меньше, чем время установления вынужденных колебаний τ = γ1 , то представления, основанные

на картине установившихся вынужденных колебаний, применять нельзя. В этом случае необходимо исследовать колебания в переходном режиме.

Резонанс при нелинейных колебаниях.

Важнейшей особенностью вынужденных нелинейных колебаний яв- ляются резонансы на комбинационных частотах. Как было отмечено выше, в нелинейных колебаниях наряду с основной частотой ωo

присутствуют высшие гармоники с частотами nωo . Под действием внешней

гармонической силы с частотой со резонанс наступает не только на основной частоте, когда ω ≈ ωo , но и на частотах высших гармоник, когда

ω ≈ nωo . В спектре произвольной периодической силы наряду с основной

частотой со присутствуют высшие гармоники с частотами mω .

Поэтому резонанс может наступить при частотах, удовлетворяющих условию mω ≈ nωo , т. е. при различных комбинациях основных частот.

Конечно, роль того или иного резонанса зависит от его амплитуды, а последняя зависит от характеристик как нелинейной системы, так и силы. Если амплитуда мала, то резонанс нет необходимости принимать во внимание.

Вынужденные колебания в системах без трения.

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания

называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабо, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х.

В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией kx22 система обладает еще потенциальной энергией Ue (x,t), связанной с

162

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com