Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Скачать файл (4,32Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.04.2024

Просмотров: 818

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В большинстве же случаев задача оказывается значительно сложнее. Существуют общие методы нахождения нормальных частот, на изложении которых мы здесь не имеем возможности остановиться.

Теперь выполним подробно математическое описание колебаний связанных систем на примере связанных маятников, ограничиваясь случаем двух степеней свободы. Будем считать, что маятники колеблются в одной и той же плоскости, совпадающей с вертикальной плоскостью, проходящей

через точки подвеса и положение равновесия материальных точек математических маятников (рис. 7). При малых колебаниях можно

пренебречь вертикальными смещениями точек и рассматривать их движение вдоль одной прямой. Положение колеблющихся точек характеризуется их смещениями x1 и x2 от своих положений равновесия, обозначенных буквами

O1 и O2 . Когда точки находятся одновременно в положениях равновесия,

соединяющая их пружина не деформирована и не действует на точки с какими-либо силами.

Обозначим частоту нормального колебания маятников, когда они колеблются синхронно (в одной и той же фазе), через ω1 , а когда в противофазе – через ω2 . Ясно, что ω2 > ω1 . Общее колебание системы является

суперпозицией двух нормальных колебаний. В соответствии со

сказанным выше о способе разложения произвольного движения связанных маятников можем написать:

	x1 = Asin(ω1t + ϕ1 )+ B sin(ω2t + ϕ2 )				(10)
	x2	= Asin(ω1t + ϕ1 )− B sin(ω2t + ϕ2 )			(10)
	x2	= Asin(ω1t + ϕ1 )− B sin(ω2t + ϕ2 )
	Четыре неизвестные постоянные A, В, ϕ1 и ϕ2 определяются из
					&	,
начальных условий, выражающих значения отклонений x10 , x20 и скоростей x10						,
&	в начальный момент времени, например t = 0 :
x20	в начальный момент времени, например t = 0 :
	x10	= Asin ϕ1	+ B sin ϕ2
	x20	= Asin ϕ1	− B sin ϕ2		(11)
	&	= Aω1 cosϕ1		+ Bω2 cosϕ2	(11)
	x10	= Aω1 cosϕ1		+ Bω2 cosϕ2
	&	= Aω1 cosϕ1		− Bω2 cosϕ2
	x20	= Aω1 cosϕ1		− Bω2 cosϕ2

Найдя из уравнений (2) величины A, В, ϕ1 и ϕ2 , мы полностью опишем движение с помощью формул (1).

Теперь решим ту же задачу, применяя непосредственно динамические законы движения. Запишем уравнения движения заданных математических маятников, считая их длину l одинаковой:

&&			g	&&			g		(12)
	= − l					= − l		α 2
α1				α1 , α	2
где		α1		и α2		– углы отклонения каждого из заданных маятников от

вертикалей. Отклонения от положения равновесия связаны с углами α1 и α2 очевидными соотношениями (рис. 7): x1 = α1l , x2 = α 2l . Поэтому уравнения движения материальных точек без учета их связи пружиной имеют вид:

&&		g	x1 ,	&&		g		(13)
&&	= − l			&&	= − l		x2
x1	= − l			x2	= − l		x2
								177

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При деформации пружины возникают силы, пропорциональные

удлинению (закона Гука). Удлинение пружины есть x2 - x1	и потому силы,
действующие на материальные точки, равны	(14)
F1 = -F2 = D(x2 - x1 )	(14)

где D – коэффициент пропорциональности. Поэтому уравнения движения точек с учетом сил связи посредством пружины имеют вид:

&&		g	x1 + D(x2	- x1 )
&&	= - l
x1	= - l
		g		(15)
&&		g	x2 - D(x2 - x1 )
&&	= - l
x2	= - l

где т – одинаковая масса материальных точек. Проще всего эти два связанных уравнения решить следующим образом. Складывая их левые и правые части, а затем вычитая, получим:

&x&1 + &x&2 = - gl (x1 + x2 )

&x&1 - &x&2 = - gl (x1 - x2 )- 2mD (x1 - x2 )

Таким образом, уравнение для суммы и разности отклонений маятников имеет вид уравнений свободных гармонических колебаний:

(x + x

)² + ω 2 (x + x

)= 0

(16)

(x - x

)² + ω 2

(x - x

)= 0

где

ω1

(16а)

ω2

Решение этих уравнений хорошо известно:

x1 + x2

= Ao sin(ω1t +ϕ1 )

(17)

x1 - x2

= Bo sin(ω2t +ϕ2 )

Отсюда для отклонений x1 и x2 правых частей получаем:

x1 = A2o sin(ω1t +ϕ1 )+ B2o sin(ω2t +ϕ2 ) x2 = A2o sin(ω1t +ϕ1 )- B2o sin(ω2t +ϕ2 )

путем сложения и вычитания левых и

(18)

Эти формулы, как и следовало ожидать, совпадают с формулами (1), если положить A = A20 , B = B20 . Поэтому величины ω1 и ω2 , определённые

формулами (7а), являются нормальными частотами колебаний рассматриваемой связанной системы с двумя степенями свободы.

178

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 1

Волновое движение.

Бегущие и стоячие волны. Интерференция и дифракция волн.

Бегущие волны.

Ранее мы рассматривали движения, которые возникают в сплошном теле под действием одного или нескольких кратковременных импульсов. Теперь рассмотрим случай, когда какой-либо точке сплошного тела сообщен не отдельный импульс, а периодическое движение. Переход к этому случаю можно представить себе следующим образом.

Пусть возмущающее внешнее воздействие на некоторую точку сплошного тела имеет характер одинаковых коротких импульсов, повторяющихся через равные промежутки времени. Каждый импульс будет распространяться в теле с некоторой скоростью, определяемой свойствами тела и не зависящей от воздействия на тело других импульсов, поскольку эти другие импульсы не изменяют свойства тела (как выяснится в дальнейшем, это условие означает, что деформации тела должны быть малыми). В результате каждая точка тела будет совершать движения, определяемые последовательностью распространяющихся в теле импульсов. Эти движения будут повторяться через одинаковые промежутки времени, равные промежуткам между действием возмущающих импульсов.

Будем теперь уменьшать промежутки времени между возмущающими импульсами до величины, равной длительности отдельного импульса. Так же как и каждый отдельный импульс, это возмущение будет распространяться в теле с некоторой скоростью, вызывая теперь уже практически непрерывное периодическое движение каждой точки около ее положения равновесия. Очевидно, что после достаточно длительного действия такого периодического

возмущения все точки тела станут совершать периодические движения с частотой, равной частоте возмущающего воздействия.

При этом вследствие потерь энергии в теле амплитуды колебании отдельных точек тела будут постепенно убывать по мере удаления от точки, которая

приводится возмущением в колебательное движение. Эту картину распространения колебаний вдоль сплошного тела можно продемонстрировать на мягкой и длинной пружине, лежащей на стекле. Если один конец пружины привести в колебательное движение, то хорошо видно, как это движение распространяется вдоль пружины, постепенно затухая (рис. 1). Такие движения принадлежат к классу волновых движений или волн.

В достаточно длинной пружине волны успевают затухнуть, не дойдя до другого ее конца, который остается в покое. Поэтому, если мы возьмем

179

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

достаточно длинное тело, в котором волны затухают, не достигнув его конца,

то дальнейшее увеличение длины тела не изменит характера явлений в той части тела, в которой волны еще не успевают затухнуть. Поэтому мы можем рассматривать, например, «бесконечно длинный» стержень или «бесконечно длинную» струну, ограниченные только с одной стороны. При этом, однако, если мы ограничимся небольшим участком этого «бесконечно длинного» стержня, то можно пренебречь тем затуханием колебаний, которое происходит на этом участке (если оно невелико). Таким образом, мы приходим к представлению о «бесконечно длинном» стержне, не обладающем затуханием.

С этого идеализированного случая мы и начнем наше рассмотрение.

Пусть конец стержня совершает гармоническое движение по закону

ξo = X o sin ω × t

внаправлении длины стержня. Это движение, так же как и отдельный

продольный импульс, будет передаваться по стержню от слоя к слою. По стержню побежит продольная упругая волна. Точка стержня, находящаяся на расстоянии x от начала, будет совершать такое же движение; однако в этом движении она будет отставать на время, необходимое для распространения

волны на расстояние x . Это время равно vx , где v – скорость

распространения волны вдоль стержня. Точка, находящаяся на расстоянии x , будет иметь в момент t такое же смещение, какое начальная точка имела

на время vx раньше, т. е. в момент t - vx . Таким образом, точка,

находящаяся на расстоянии x от начала стержня, будет двигаться по

закону

æ	x ö		,	(1)
ξ x = X o sin ωçt -		÷

è	v ø

или, так как ω =				2π		(где Т – период колебаний), то
				T

æ	t			x	ö		(2)
ξ x = X o sin 2π ç		-			÷
			vT
è T					ø
Это выражение				представляет собой уравнение волны			смещений,

распространяющейся со скоростью v в направлении возрастающих значений x . Разные точки имеют в один и тот же момент времени t , вообще говоря, различные смещения. Но если мы возьмем на стержне ряд точек, находящихся на расстоянии vT друг от друга, то аргументы синуса в выражении смещения для этих точек будут отличаться на 2π и поэтому сами смещения будут одинаковы. Любой ряд точек находящихся на расстоянии vT друг от друга, будет в каждый момент иметь одно и то же смещение. Это