Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

закрепленного конца стержня волна смещений отражается с поворотом фазы на я (так же, как импульс смещений отражается от закрепленного конца стержня с изменением знака смещения); в случае же свободного конца стержня волна смещения отражается без изменения фазы. Падающая волна проходит от начала стержня до точки x путь x , и выражение для смещения в

падающей волне имеет вид

ленного конца). Результирующее смещение каждого сечения стержня

Амплитуда колебаний изменяется от точки к точке по закону синуса. В точках, для которых аргумент синуса обращается в нуль, амплитуда колебаний падает до нуля. Эти точки все время остаются в покое. Это – уже знакомые нам узлы смещений. Прежде всего, таким узлом смещений является закрепленный конец стержня (x = l). Следующие узлы смещений лежат на

расстоянии x1 друг от друга. Это расстояние определяется из условия ωvx1 = π ,

или

x1 = πωv = vT2 = λ2 ,

т. е. узлы смещений отстоят на расстоянии полуволны друг от друга. В середине между узлами смещений лежат точки, в которых амплитуда X достигает максимума, эти точки называются пучностями смещений. Между двумя узлами фаза смещений всех сечений стержня одна и та же: при переходе через узел фаза смещений сразу меняется на п. Амплитуда смещений между

двумя узлами изменяется от нуля до максимума и снова до нуля. Колебания с

таким распределением амплитуд и фаз называются стоячей волной.

Чтобы изобразить распределение амплитуд стоячей волны смещений вдоль стержня, будем откладывать амплитуды смещения, соответствующие каждому

186

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

сечению стержня, в перпендикулярном к стержню направлении (хотя сами смещения происходят в рассматриваемом случае вдоль стержня).

Построенная таким способом графическая картина распределения амплитуд смещений вдоль стержня для одного из возможных случаев изображена на рис. 5а. Нэпом ним, что синусоида на этом рисунке изображает распределение амплитуд смещений вдоль стержня. Точки 1 и 1’, в которых синусоида проходит через нуль, соответствуют узлам смещений, точки 2 и 2', в которых она проходит через максимум, – пучностям смещений. На закрепленном конце стержня, как мы убедились, должен получиться узел смещений.

Что касается левого конца стержня, то ему, по предположению сообщается гармоническое движение с заданной амплитудой, частотой и фазой. В стержне установится стоячая волна смещений с такой амплитудой в пучности, что амплитуда смещений на левом конце стержня будет равна амплитуде колебаний, заданных этому концу стержня. Отсюда следует, что,

чем ближе лежит узел образовавшейся стоячей волны к левому концу стержня, тем больше амплитуда стоячей волны в пучности при заданной амплитуде смещений левого конца стержня. Иначе говоря, для того чтобы амплитуда стоячей волны в пучности была велика, нужно, чтобы около левого конца стержня лежал узел смещений. Так как на втором закрепленном конце стержня обязательно должен получиться узел смещений, то условие получения стоячей волны с большой амплитудой сводится к тому, что на обоих концах стержня должны получиться узлы смещений. Для этого по длине стержня должно укладываться целое число полуволн.

Если это условие соблюдено точно, то, как следует из наших рас- суждений, амплитуда стоячей волны в пучности должна возрасти до бесконечности, так как только волна с бесконечно большой амплитудой в

пучности может дать конечную амплитуду на бесконечно малом расстоянии от узла. Однако к такому результату мы пришли только потому, что не учитывали затухания при распространении волн в стержне. Как мы увидим ниже, затухание приводит к тому, что и в точке, где образуется узел стоячей волны, амплитуда смещений все же не падает до нуля. Поэтому, если задать смещения с конечной амплитудой концу стержня, на котором должен установиться узел волны смещений, то амплитуда в пучности волны будет хотя и большой, но все же конечной; она будет тем больше, чем меньше зату- хание волн в стержне.

Чтобы амплитуда стоячих волн была наибольшей, нужно подобрать такие условия, при которых по длине стержня укладывается целое число полуволн. Для данного стержня это сводится к выбору частоты тех колебаний, которые задаются концу стержня. Эта частота должна быть такой,

чтобы соответствующая ей длина волны в стержне удовлетворяла указанному условию. Следовательно, стоячие волны с большой амплитудой

можно возбудить в стержне только при определенных частотах внешнего воздействия. Связь этого обстоятельства с явлением резонанса будет выяснена в следующем параграфе.

187

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Картины образования бегущих и стоячих волн совершенно различны. Однако если мы в обоих случаях будем наблюдать движение только какого- либо одного сечения стержня, то мы не отличим стоячей волны от бегущей.

В обоих случаях отдельное сечение стержня колеблется по гармоническому закону (кроме узловых точек в случае стоячей волны). Различие между бегущей и стоячей волнами мы обнаружим, только если в каждом случае сравним движение двух разных сечений стержня. В случае бегущей волны разные сечения стержня колеблются с одинаковой амплитудой, но в различных фазах. В случае же стоячей волны разные сечения стержня колеблются в одинаковой фазе, но с различными амплитудами.

Бегущая волна скоростей отражается от закрепленного конца стержня также с поворотом фазы на π (аналогично тому, как при отражении

отдельного импульса от закрепленного конца стержня скорость изменяет знак). Соотношение между фазами падающей и отраженной волн скоростей получается такое же, как и для волны смещений. Поэтому узлы скоростей в стоячей волне образуются в тех же точках, что и узлы смещений. Это и понятно: в узле смещений сечение стержня все время остается в покое, следовательно, и скорость в этом сечении все время равна нулю. Ясно также, что пучности скоростей лежат в тех же точках, что и пучности смещений.

Что касается бегущей волны деформаций, то при отражении от закрепленного конца стержня она не изменяет фазы (так же, как не изменяется знак деформации для отдельного импульса). Соотношение между фазами падающей и отраженной волн для деформаций будет не таким, как для смещений и скоростей, вследствие чего узлы деформаций получатся не в тех местах, где узлы смещений. Можно было бы, складывая падающую и отраженную волны деформаций, как это было сделано для волны смещений, найти места узлов и пучностей деформаций. Но и без этих расчетов можно сказать, что на закрепленном конце стержня должна получиться пучность деформации, так как в этом месте падающая и отраженная волны деформаций совпадают по фазе.

Таким образом, пучности деформаций совпадают с узлами скоростей и, очевидно, узлы деформаций – с пучностями скоростей. На рис. 5б изображено распределение амплитуд деформаций для того же случая, для которого на рис. 5а изображено распределение амплитуд смещений и амплитуд скоростей. Что касается сдвигов во времени между мгновенными значениями смещения, скорости и деформации (т. е. сдвигов фаз между колебаниями этих величин), то они останутся такими же, как и в бегущей

волне. Скорость будет во времени сдвинута относительно смещения на T4 , а

деформация будет сдвинута во времени на T4 относительно скорости.

Так как энергия течет только в том случае, когда происходит движение деформированного тела, то ни через узлы смещений, где сечения стержня неподвижны, ни через узлы деформаций, где сечения стержня никогда не деформированы, не происходит течения энергии. Энергия, которой обладает

188

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

участок стержня длиной в λ4 , заключенный между узлом смещений и узлом

деформаций, остается навсегда в этом участке. Происходит лишь

превращение заключенной в этом участке энергии из кинетической в потенциальную и обратно (скорость и деформация сдвинуты по фазе на π2 .

Полный переход энергии из кинетической в потенциальную и обратно происходит дважды за период. В стоячей волне, в отличие от бегущей волны, не происходит течения энергии. Этого, впрочем, и следовало ожидать: мы

получили стоячую волну как результат сложения двух бегущих волн равной амплитуды, распространяющихся в противоположные стороны. Обе бегущие волны несут с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому результирующая стоячая волна не переносит энергии.

Совершенно так же, как и образование стоячих волн в стержне, происходит образование поперечных стоячих волн в струне. Если одному из

концов натянутой струны сообщать колебательное движение в поперечном направлении, например, прикрепив его к ножке камертона, то по струне будет распространяться поперечная бегущая волна. От другого закрепленного конца струны она будет отражаться так же, как отражается продольная волна от конца стержня: фаза волны смещения при отражении будет изменяться на π . Поэтому картина распределения узлов и пучностей по струне будет совершенно такая же, как и рассмотренная картина для стержня с закрепленными концами. Все сказанное выше справедливо и для струны, за исключением представлений о течении и распределении энергии; эту картину, как указывалось, со стержня на струну распространять нельзя.

Для стержня, один конец которого совершает заданное гармоническое движение, в отличие от натянутой струны, может встретиться и другой случай, когда второй конец стержня не закреплен. Условия отражения падающей волны будут иными – соответственно изменится распределение узлов и пучностей стоячих волн. При отражении от свободного конца волна смещений и волна скоростей отражаются без изменения фазы, а волна деформаций изменяет фазу на л. (Так же, как в случае отражения отдельного импульса от свободного конца, и по тем же причинам, не изменяется знак смещения и скорости и изменяется знак деформации.) Если в падающей

волне смещение меняется по закону

то в отраженной без изменения фазы оно описывается уравнением

и результирующее смещение будет

или

189

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Амплитуда распределяется по закону косинуса (а не синуса, как в случае закрепленного конца) и при x = l , т. е. на свободном конце, достигает максимума. Таким образом, на свободном конце стержня стоячие волны образуют пучность смещений и скоростей и узел дефор- маций (волна деформации отражается с изменением фазы на π ).

В остальном распределение узлов и пучностей получается такоеже, как

наибольшей амплитуды можно получить из тех же соображений, что и в случае стержня с закрепленным вторым концом. У левого конца стержня, движение которого задано, должен лежать узел смещений образующейся стоячей волны (рис. 6). Но на свободном конце стержня образуется пучность смещений. Оба эти условия будут соблюдены, если на длине стержня уложится нечетное число четвертей волн.

Распределение амплитуд смещений в одном из случаев, возможных для стержня со свободным концом, изображено на рис. 6а (по-прежнему 1, 1' – узлы, 2, 2' – пучности); распределение амплитуд деформаций для этого же случая приведено на рис. 6б (2, 2' – узлы, 1, 1' – пучности).

Отражение бегущих упругих волн происходит не только от вполне свободного или жестко закрепленного конца тела, но и от всякой границы, у которой изменяются свойства сплошного тела – его упругость или плотность. При этом происходит частичное отражение падающей волны, которое является причиной возникновения стоячих волн. Поэтому при наличии достаточно резких нарушений однородности

системы распространение бегущей волны в системе неизбежно связано с возникновением стоячих волн.

Колебания сплошных систем как наложение бегущих и стоячих волн.

Рассмотренные в предыдущем параграфе случаи возникновения в стержне стоячих волн значительной амплитуды при заданном гармоническом движении одного из концов стержня представляют собой не что иное, как явление резонанса в сплошной системе. Чтобы вызвать гармоническое движение конца стержня, на этот конец должна действовать гармоническая внешняя сила. Как мы убедились, если бы потери энергии в стержне отсутствовали, то при определенных значениях частоты этой внешней силы

амплитуда стоячих волн в стержне возрастала бы до бесконечности Вследствие потерь энергии при распространении волны в стержне (а иногда и при отражении от его концов) амплитуда стоячей волны будет иметь конечную величину, и тем меньшую, чем больше потери энергии в стержне.

190

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com