Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Амплитуда колебаний всех точек стержня в нашем случае одна и та же, но фаза колебаний различных точек различна. Для двух точек, находящихся на расстоянии x1 друг от друга, фазы колебаний, как видно из

(2), сдвинуты на 2π xλ1 . На расстоянии λ при фиксированном t аргумент

функции (2), т. е. фаза колебаний, изменяется на величину 2π .

Наблюдая все время какую-либо фиксированную точку стержня, мы обнаружим, что она совершает гармонические колебания. Если же мы будем двигаться вдоль стержня со скоростью v , то вообще не обнаружим никаких колебаний. Все сечения стержня, против которых мы будем находиться в каждый момент, будут в этот момент иметь одно и то же смещение.

Такое гармоническое движение отдельных сечений стержня, рас- пространяющееся вдоль стержня с некоторой определенной скоростью, называется гармонической бегущей волной. Смещение в гармонической бегущей

волне является гармонической функцией аргумента t - vx , т. е. как во времени

для фиксированной точки в пространстве, так и в пространстве для

фиксированного момента времени смещение изменяется по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим теперь, как распределяются в такой бегущей по стержню упругой волне скорости и деформации. Прежде всего, если смещение какой-

либо точки стержня изменяется по закону

данной точки стержня достигает максимума, Рис. 2 когда смещение этой точки падает до нуля.

Представим себе для какого-то момента времени распределения смещений и скоростей волны в стержне. Если мы отметим сечения 1 и 1' которые имеют в данный момент наибольшее смещение (рис. 2а), то в этот же момент наибольшую скорость имеют

сечения 2 и 2', находящиеся на расстоянии λ4 от мест наибольшего

смещения (смещения указаны вертикальными штриховыми линиями, скорости – горизонтальными стрелками). Можно сказать, что волна

скоростей сдвинута относительно волны смещений по времени на T4 , а в

181

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

пространстве – на λ4 . Чтобы выяснить характер распределения деформаций

в бегущей волне, нужно принять во внимание, что величина деформации сжатия стержня, вызванной колебаниями, зависит не от абсолютных величин смещения соседних сечении стержня, а от того, как быстро изменяется смещение от сечения к сечению. Там, где смещение наи- большее (в сечениях 1, 1'), стержень вообще не деформирован. Наобо- рот, в сечениях 2 и 2', где смещение проходит через нуль, деформация оказывается наибольшей. Максимумы деформаций в бегущей волне совпадают с минимумами смещений, т. е. с максимумами скоростей.

Чтобы пояснить эту картину, представим себе, что мы нанесли

на боковой поверхности стержня линии на равном расстоянии друг от друга. Деформации стержня вызовут изменения расстояний между этими линиями. На рис. 2б таким способом изображено мгновенное распределение деформаций стержня, соответствующее тому же моменту времени, для которого на рис. 2а приведено распределение смещений (конечно, смещения и деформации на этих рисунках преувеличены).

Для того чтобы найти распределение деформаций в бегущей волне, выделим слой стержня толщиной dx . Пусть продольные смещения границ этого слоя соответственно равны ξ1 и ξ2 . Это значит, что толщина

слоя изменилась на Dξ = ξ2 - ξ1 . Относительное изменение толщины слоя, т. е. растяжение, равно ε = Dξx , или для бесконечно тонких слоев

другую сторону, чем волна скоростей. Следовательно, волна скоростей и волна деформаций сдвинуты на λ2 . Другими словами волна деформаций

противоположна по фазе волне скоростей. Слои стержня, которые в данный момент имеют положительную скорость (т. е. движутся в направлении + x ), в этот же момент имеют отрицательную деформацию, т. е. оказываются сжатыми. В тот момент когда изменяется знак скорости слоя, изменяется и знак деформации; она становится положительной. Слои, движущиеся в направлении + x , оказываются растянутыми (напомним, что мы рассматриваем волну, распространяющуюся в направлении + x ).

При распространении упругой волны распространяются волна скоростей, несущая с собой кинетическую энергию, и волна деформаций, несущая с собой потенциальную энергию. Происходит перенос энергии так же,

182

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

как при распространении отдельного импульса. Течение энергии в определенном направлении происходит так же, как и в случае одного импульса. Деформированные элементы стержня движутся и при этом передают

свою потенциальную и кинетическую энергию следующим элементам стержня. Энергия течет по стержню с той же скоростью, с какой распространяется волна. Но, как мы видели при движении сжатого упругого тела, энергия течет в направлении движения тела; наоборот, при движении растянутого тела энергия течет в направлении, противоположном движению тела. Поэтому, хотя направление движения слоев стержня дважды изменяется за период, но вместе с тем меняется и знак деформации, так что энергия все время течет в направлении + x , т. е. в направлении распростра- нения бегущей волны.

При распространении бегущей волны энергия постепенно рассеивается вследствие внутреннего трения в теле. Но если трение невелико, то

рассеянием энергии на расстоянии немногих длин волн можно пренебречь и на этом расстоянии рассматривать процесс как незатухающую бегущую волну. Вместе с тем, если на длине стержня укладывается очень большое число волн, то бегущая волна успеет полностью затухнуть, и другой конец стержня не будет играть роли. Таким образом, результаты, полученные нами для бесконечно длинного стержня, не обладающего затуханием, применимы к тем случаям, когда затухание бегущих волн на расстоянии одной длины волны очень мало, но на всей длине стержня укладывается очень большое число волн. Если же при малом затухании на всей длине стержня укладывается небольшое число длин волн, то бегущая волна достигает другого конца стержня, почти не затухая. Второй конец стержня в этом случае играет существенную роль и изменяет всю картину. Возникают новые явления, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.

Рис. 3

Рис. 4

Все сказанное относительно бегущих волн в стержне можно перенести на случай распространения бегущих волн в струне. Представим себе очень длинную натянутую струну, ближний конец которой мы приводим в

гармоническое колебание по закону

ξo = Xo sinω ×t

внаправлении, перпендикулярном к струне. Смещения ξo начальной

точки струны будут передаваться следующим точкам, от них – к следующим и т. д. Вдоль струны побегут поперечные волны, причём скорость распространения этих волн будет такая же, как для одиночного импульса.

183

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Бегущие волны в струне.

Картину распространения бегущей волны по струне можно наглядно представить себе следующим образом. Вообразим трубку, изогнутую в виде синусоиды с амплитудой X o и расстоянием между максимумами λ = vT , где

v – скорость распространения импульса вдоль струны, а T – период тех колебаний, которые совершает конец струны. Продёрнем струну в эту трубку и затем будем двигать трубку вдоль по струне со скоростью v . Движение тех точек струны, которые находятся внутри трубки, будет точно таким же, как и при распространении по струне бегущей волны.

С помощью этой модели легко представить себе мгновенное рас- пределение смещений и скоростей в бегущей волне. Оно изображено на рис. 3 (скорости указаны стрелками). Волна скоростей сдвинута

относительно волны смещений на λ4 . Выражения (4) и (5), как и для

стержня, описывают бегущие вдоль струны волну смещений и волну скоростей.

Эти волны для струны имеют такой же характер, как и для стержня, разница лишь в направлении смещений и скоростей. Волна же деформаций имеет в струне иной характер, чем в стержне.

В струне при малых амплитудах колебаний можно считать, что

величина натяжения остается постоянной и никаких изменений в деформации материала струны при колебаниях не происходит. Происходят только изменения направления, в котором силы натяжения действуют на данный элемент струны со стороны соседних. Составляющая этих натяжений в направлении, перпендикулярном к струне, играет роль восстанавливающей силы для отдельного элемента струны. При распространении волн в струне

возникновение сил обусловлено изменением направления отдельных элементов струны, и эти изменения направлений играют такую же роль, какую играют деформации материала в случае волн в стержне. Поэтому волна деформации для струны характеризуется углом, который образует тот или иной элемент струны с направлением покоящейся струны. А этот угол, как

видно из рис. 4, определяется значением ∂∂ξx для рассматриваемого элемента

струны, и выражение (6), так же как и в случае стержня, изображает бегущие вдоль струны волны деформаций.

О расположении в струне волны деформаций по отношению к волне смещений и волне скоростей можно повторить все то, что было сказано для стержня. Действительно, деформация (угол с направлением x ) равна нулю в точках наибольшего смещения 1 и 1’, т. е. волна деформаций сдвинута на

λ4 по отношению к волне смещений. Таким образом, кинематическая картина для бегущих волн смещения, скорости и деформации в случае

184

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

стержня и струны получается одна и та же. Но с точки зрения течения энергии картина в струне оказывается более сложной, и мы не будем её рассматривать. Все, что сказано было выше, а также будет сказано дальше относительно течения энергии, относится к продольным волнам в стержне и к аналогичным случаям (например, волнам в воздухе), но не к струне.

Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых

простейших случаях продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импульса не зависит от формы и характера импульса и для импульсов любого типа оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения бегущей волны, которая представляет собой одну из разновидностей импульса, совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса. Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют фазовой скоростью; с этой скоростью движется фаза распространяющегося колебания.

Фазовая скорость не только может отличаться от скорости импульса, но может быть различной для колебаний различной частоты. Эти оба обстоятельства тесно связаны между собой. Скорость распространения импульса оказывается отличной от фазовой скорости именно потому, что сама фазовая скорость зависит от частоты колебаний. Зависимость фазовой скорости от частоты колебаний называется дисперсией. При наличии

дисперсии скорость отдельного импульса не совпадает с фазовой скоростью (различной для различных частот). Но в рассматриваемых нами простейших случаях дисперсия отсутствует, и поэтому фазовая скорость совпадает со скоростью импульса. В дальнейшем мы встретимся со случаем, когда имеет место дисперсия волн.

Стоячие волны.

Когда бегущая гармоническая волна достигает другого конца стержня (или струны), то там происходит отражение волны, так же как и в случае отдельного импульса. Отраженная гармоническая волна распространяется в обратном направлении, и движение каждого сечения стержня (или точки струны) можно рассматривать как результат сложения двух волн – падающей и отраженной. Если при распространении и отражении волны не происходит их затухания, то обе волны – падающая и отраженная – будут иметь одинаковые амплитуды. Но фазы обеих волн в какой-либо точке x будут, вообще говоря, различны. Сдвиг фаз обусловлен, с одной стороны, тем, что отраженная волна проходит путь от точки x до конца стержня и обратно, с другой стороны, тем, что при отражении волны от границы тела, вообще говоря, может происходить изменение фазы волны. В частности, в случае отражения от

185

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com