Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Вся эта картина характерна именно для явления резонанса, который должен наступать всякий раз, когда частота гармонической внешней силы совпадает с одной из нормальных частот колебательной системы. И действительно, сопоставив, с одной стороны, условия, определяющие частоты внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в стержне достигают максимального значения, а с другой – условия, определяющие частоты нормальных колебаний стержня, мы позднее убедимся что те и другие условия совпадают.

Сейчас мы рассмотрим явление резонанса в упругом стержне с энергетической точки зрения.

Как и в случае колебательной системы с одной или несколькими степенями свободы, вынужденные колебания в сплошной системе нарастают и поддерживаются за счет работы, совершаемой внешней силой. Резонанс наступает тогда, когда работа, совершаемая внешней силой за период, достигает максимума. Поскольку внешняя сила изменяется по гармоническому закону, то и движение конца стержня происходит по

Для того чтобы эта работа достигла максимума, прежде всего, как и в случае системы с одной степенью свободы, должно быть cosϕ = 1, т. е. угол сдвига фаз ϕ должен быть равен нулю, что действительно имеет место при

резонансе. Далее, необходимо, чтобы произведение амплитуд силы и скорости также достигло максимума. В системе с одной степенью свободы это условие выполняется «автоматически», так как при заданной внешней силе амплитуда скорости достигает максимума также при резонансе. Но в

сплошной системе амплитуды смещений и скоростей в разных точках системы, вообще говоря, различны. Если на систему действует гармоническая внешняя сила заданной амплитуды, то произведение амплитуд внешней силы и скорости достигает максимума там, где максимальна амплитуда скорости, т. е. в пучности скоростей. Следовательно, наиболее сильный резонанс будет наблюдаться в том случае, когда заданная внешняя сила приложена в том месте, где при колебаниях образуется пучность скорости. Если же заданная внешняя сила приложена в узле скоростей, где амплитуда скорости равна нулю, то работа внешней силы также будет равна нулю, и резонанс наблюдаться не будет.

Приведенные выше соображения относятся к тому простому случаю,

191

Рис. 6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

когда внешнюю силу, действующую на конец стержня, можно считать заданной, т. е. считать, что она не зависит от характера движения конца стержня. Но это предположение справедливо только при определенных условиях. Чтобы выяснить, каковы должны быть эти условия, рассмотрим механизм, который на конец стержня может действовать с заданной внешней силой, меняющейся по гармоническому закону. Представим себе, что конец

А рычага этого механизма совершает гармоническое движение вдоль оси стержня х с заданной амплитудой X o (рис. 6). Если мы свяжем конец рычага

А с концом стержня В при помощи какой-либо упругой связи С, то эта связь будет действовать на конец стержня В с некоторой силой, меняющейся по гармоническому закону. Величина этой силы зависит, вообще говоря, не только от X o , но и от величины смещения конца стержня В; ведь величина

силы зависит от упругих свойств связи С и от величины ее деформации, которая определяется движением обоих концов связи Л и В.

Однако в том случае, когда жесткость связи гораздо меньше жесткости стержня, можно считать, что движется только конец А связи, а конец В практически покоится (мы всегда можем настолько уменьшить жесткость связи С, чтобы смещением точки В можно было пренебречь по сравнению со смещением точки А). Тогда практически сила, действующая со стороны связи С на конец стержня В, не зависит от движения этого конца. В этом случае силу, действующую на конец стержня В, можно считать заданной, так как она определяется только положением конца рычага Л, движение которого известно, и упругостью связи С, также известной. Таким образом, силу мож- но считать заданной в предельном случае, когда жесткость связи С очень мала по сравнению с жесткостью стержня.

Так же просто поддается рассмотрению другой предельный случай, когда жесткость связи С очень велика по сравнению с жесткостью стержня. Тогда конец стержня В должен двигаться так же, как и конец рычага А (деформацией очень жесткой связи можно пренебречь). Следовательно, в этом случае можно считать заданным движение конца стержня В. Конечно, это допущение справедливо лишь при условии, что не только связь С достаточно жесткая, но и что весь механизм достаточно жесткий, так что характер движения конца рычага А не изменяется под влиянием того, что конец рычага А жестко связан с концом стержня В.

Для того чтобы вызвать заданное движение конца стержня, механизм должен развивать большую силу, равную той упругой силе, которая возникает в крайнем слое стержня, прилегающем к концу В, когда этот конец совершает заданное движение1.

1 Рассмотренные случаи, когда жесткость связи, через которую действует внешняя сила, либо гораздо меньше, либо гораздо больше жесткости стержня, позволяют считать заданными соответственно либо внешнюю силу, либо движение конца стержня. Если же жесткость связи и жесткость стержня сравнимы между собой и задачу нельзя отнести ни к тому, ни к другому из рассмотренных предельных случаев, то не могут быть заданы ни сила, действующая на стержень, ни движение конца стержня. В этом случае приходится рассматривать взаимодействие стержня и приводящего его в колебание механизма, вследствие чего задача очень усложняется. Для того чтобы осуществить случай заданного движения конца

192

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Сила, развиваемая механизмом в этом случае, как и в предыдущем, совершает работу, за счет которой нарастают и поддерживаются колебания в стержне. Но так как в этом случае задано движение конца стержня, а значит, и амплитуда его скорости, то механизм совершает наибольшую работу за период в том случае, когда развивает наибольшую силу, т. е. когда он

приводит в движение то сечение стержня в котором возникают наибольшие упругие силы; это то сечение, в котором лежит пучность деформации. Следовательно, при заданном движении конца стержня наиболее сильный резонанс должен наблюдаться в том случае, когда условия таковы, что на этом конце образуется пучность деформации (и узел смещений). Наоборот,

если при заданном движении конца стержня на этом конце должны возникнуть узел деформаций и пучность смещений, то резонанс не наступит (так как сила, которую должен будет развивать механизм, а вместе с тем и работа этой силы будут очень малы). Таким образом, условия возникновения резонанса, полученные нами из энергетических соображений, совпадают с теми условиями, при которых, как показано амплитуда стоячей волны в стержне получается наибольшей.

Работа внешней силы идет на создание и поддержание энергии упругих колебаний стержня, т. е. потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энергии движения элементов стержня. Так как колебания происходят во всем стержне то энергия, возникающая на одном конце стержня за счет работы внешней силы должна распространяться по стержню, чтобы поддерживать во всем стержне колебания, которые сопровождаются потерями энергии. Только предполагая, что при распространении и отражении волны потерь энергии не происходит, мы пришли к выводу, что

падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и несут с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях; в результате наложения этих двух волн энергия не должна течь по стержню, во всяком случае после того, как стоячая волна в стержне уже установилась (при

установлении стоячей волны картина течения энергии получается более сложной, и мы не будем ее рассматривать).

Действительно, когда падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду, то в узлах деформаций и скоростей амплитуды стоячей волны деформаций и скоростей соответственно обращаются в нуль. Но энергия может течь по стержню только в тех участках, где и деформация и скорость отличны от нуля. Следовательно, ни через сечения, в которых расположены узлы деформации, ни через сечения, в которых расположены узлы скоростей, энергия течь не может.

При наличии в стержне только одной стоячей волны, когда амплитуды в узлах смещений и скоростей падают до нуля, энергия может перемещаться только в пределах участка, ограниченного двумя соседними узлами смещений

жесткого сплошного стержня, потребовался бы очень жесткий механизм, приводящий в движение конец стержня. Но с помощью камертона на струне случай заданного движения легко может быть реализован.

193

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

и скоростей (которые, как мы знаем, расположены на расстоянии λ4 друг от

друга). Энергия, заключенная в этом участке, периодически превращается из потенциальной в кинетическую и обратно.

При этих превращениях энергия перемещается и в пространстве: когда вся энергия превратилась в потенциальную, то преобладающая часть ее сосредоточена вблизи пучности деформаций (так как плотность потенциальной энергии пропорциональна квадрату деформаций); когда через четверть периода вся энергия превращается в кинетическую, то

преобладающая часть ее оказывается сосредоточенной вблизи пучности скоростей (так как плотность кинетической энергии пропорциональна квадрату скоростей частиц). Таким образом, в течение четверти периода преобладающая часть энергии перемещается от одной пучности к другой, т. е. на расстояние порядка четверти длины волны; но если энергия

перемещается на расстояние порядка λ4 за время T4 , то скорость перемещения энергии v1 ≈ Tλ . Значит, скорости перемещения энергии в пределах участка стержня длиной λ4 , в котором она заключена, имеют тот же

порядок величины, что и скорости распространения по стержню бегущей волны и течения энергии в этой волне.

Как же изменится рассмотренная картина, если учесть, что при распространении волны в стержне происходят потери энергии? Вследствие этих потерь амплитуды как падающей, так и отраженной волн убывают по мере распространения: падающей – от начала стержня к его концу2, а отраженной – от конца к началу. Так как амплитуды падающей и отраженной волн в этом случае зависят от x (расстояния от начала стержня), то мы их будем обозначать соответственно через X1 (x) и X 2 (x), причем

X1 > X 2 и X1 (x) есть убывающая, а X 2 (x) – возрастающая функция x . Когда амплитуды двух волн, распространяющихся в противоположных направле- ниях, везде одинаковы, то амплитуды стоячей волны в пучностях, как мы видели, равны удвоенной амплитуде двух волн и одинаковы во всех пучностях. Если же две волны, распространяющиеся в противоположных

Первая из этих составляющих вместе со второй волной амплитуды X 2 (x) образует стоячую волну с амплитудами в пучностях, равными 2X 2 (x). Второй составляющей, распространяющейся от начала стержня к концу его, не

2 Для краткости мы будем называть началом стержня тот его конец, на который действует внешняя сила и у которого возникает падающая волна, а концом стержня – другой его конец, у которого происходит отражение падающей волны.

194

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com