Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

волна не изменяла бы своей формы. Но при наличии дисперсии скорость составляющих гармонических волн разной длины оказывается различной, и

вследствие этого соотношения между фазами разных гармонических составляющих изменяются по мере распространения волн, а вместе с тем все время изменяется форма исходной, негармонической волны. Таким образом, любая отличная от гармонической форма волны оказывается «неустойчивой» при наличии дисперсии.

«Неустойчивой» оказывается негармоническая форма волны и при наличии поглощения, если это поглощение зависит от длины волны. В таком случае составляющие гармонические волны разной длины по-разному поглощаются при распространении, и соотношения между амплитудами различных составляющих изменяются, т. е. изменяется форма исходной негармонической волны. Если поглощение растет с укорочением длины волны (как это обычно бывает в случае упругих волн), то по мере

распространения составляющие спектра негармонической волны затухают тем раньше, чем короче волна, и волна по форме все больше и больше приближается к гармонической волне, являющейся первой гармоникой исходной негармонической волны.

Несколько иначе проявляется «неустойчивость» формы негармонической волны при интерференции волн. При интерференции гармонических волн в пространстве появляются чередующиеся максимумы и минимумы (положение которых зависит от длины волны), но форма волны во всем пространстве остается гармонической (мы в этом убедились непосредственно при рассмотрении простейшего случая интерференции — образования стоячих волн). При интерференции негармонических волн (конечно, форма обеих интерферирующих волн в каждой точке должна быть одна и та же, иначе не будет соблюдено условие когерентности) максимумы и минимумы для

составляющих гармонических волн разной длины расположатся в разных местах; вследствие этого соотношения между амплитудами составляющих

гармонических волн в результирующей волне окажутся различными для разных точек пространства и, вообще говоря, существенно иными, чем в исходной негармонической волне, а значит, исказится форма исходной негармонической волны.

Примерно так же происходят искажения формы негармонических волн при дифракции. Распределение амплитуд в дифрагированной волне существенно зависит от длины волны (например, при дифракции волны, проходящей через малое отверстие, распределение амплитуд

дифрагированной волны зависит от отношения диаметра отверстия к длине волны). Вследствие этого соотношение между амплитудами гармонических составляющих в дифрагированной волне оказывается не таким, как в падающей волне; форма всякой негармонической волны искажается при дифракции.

В приведенных примерах «устойчивость формы» гармонических волн выступает еще более резко, чем «устойчивость формы» гармонических колебаний. Еще в большей степени, чем гармонические колебания при

213

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

рассмотрении колебательных явлений, гармонические волны при рассмотрении волновых явлений играют исключительно важную роль.

Движение твёрдого тела. Гироскопы.

Угловая скорость.

Здесь и далее твердым телом мы будем называть систему ма- териальных точек, расстояния между которыми неизменны. Реально существующие в природе системы могут, конечно, удовлетворять этому условию лишь приближенно. Однако большинство твердых тел в обычных условиях так мало изменяет свою форму и размеры, что при изучении законов движения твердого тела, рассматриваемого как нечто целое, мы мо- жем пренебречь этими изменений.

В дальнейшем изложении мы будем часто рассматривать твердое тело как дискретную совокупность материальных точек, чем достигается некоторое упрощение выводов. Это, однако, ни в какой степени не противоречит тому обстоятельству, что в

действительности твердые тела можно обычно рассматривать в механике как сплошные,

совершенно не интересуясь их внутренней структурой. Переход от формул, содержащих суммирование по дискретным точкам, к

формулам для сплошного тела осуществляется просто заменой масс частиц на массу ρ × dV , заключенную в элементе объема dV ( ρ -

координат x1 = х, х2 = у, х3 = z, которая предполагается жестко связанной с твердым телом и участвующей во всех его движениях. Начало движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела.

Положение твердого тела относительно неподвижной системы координат вполне определяется заданием положения движущейся системы. Пусть радиус-вектор R указывает положение начала О движущейся системы (рис. 1). Ориентация же осей этой системы относительно неподвижной определяется тремя независимыми углами, так что вместе с тремя компонен- тами вектора R мы имеем всего шесть координат. Таким образом, всякое

твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.

Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела. Его можно представить в виде суммы двух частей. Одна из них есть

214

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Второе из этих равенств весьма существенно. Мы видим, что угловая скорость, с которой вращается в каждый данный момент времени жестко связанная с телом система координат, оказывается совершенно не зависящей от этой системы. Все такие системы вращаются в заданный момент времени

вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой по абсолютной величине скоростью Ω . Это обстоятельство и дает нам право называть Ω угловой скоростью вращения твердого тела как такового. Скорость же поступательного движения такого “абсолютного” характера отнюдь не имеет.

Из первой формулы (3) видно, что если V и Ω (в данный момент времени) взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат О, то они (т. е. V ′ и Ω ') взаимно перпендикулярны и при определении по отношению к любому другому началу О'. Из формулы (2) видно, что в этом случае скорости v всех точек тела лежат в одной и той же плоскости — плоскости, перпендикулярной к Ω . При этом всегда можно выбрать такое начало O′ *), скорость V ′ которого равна нулю, что движение твердого тела (в данный момент) будет представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящей через О'. Эту ось называют мгновенной осью вращения тела**).

В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции тела, так что и ось вращения тела проходит через этот центр. При движении тела меняются, вообще говоря, как абсолютная величинаΩ , так и направление оси вращения.

*Оно может, конечно, оказаться лежащим и вне объема тела.

**В общем же случае не взаимно перпендикулярных направлений V и Ω начало координат можно выбрать таким образом, чтобы V и Ω стали параллельными, т. е. движение (в данный момент времени) будет совокупностью вращения вокруг некоторой оси и поступательного перемещения вдоль этой же оси.

216

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Тензор инерции.

Для вычисления кинетической энергии твердого тела будем рас- сматривать его как дискретную систему материальных точек. Тогда можно написать:

T = å mv2 2

где суммирование производится по всем малым элементам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти элементы, с целью упрощения записи формул, Подставив сюда (2), получим:

Скорости V и Ω одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене V2/2 выносится за знак суммы, а сумма å m есть масса тела, которую мы будем обозначать посредством m. Во втором члене пишем:

Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условленно, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как тогда å mr =0 . Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим:

(3

)

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (3) есть кинетическая энергия поступательного движения – она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Ω во- круг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность

такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.

Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных

3Здесь буквами i, j, k обозначаются тензорные индексы, пробегающие значения 1, 2,

3.При этом везде применяется известное правило суммирования, согласно которому знаки сумм опускаются, а по всем дважды повторяющимся (так называемым «немым») индексам

217

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com