Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

скоростью) просто разность расстояний от данной точки до обоих источников. В точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от обоих источников, обе

волны будут приходить в одинаковой фазе и поэтому будут складываться и усиливать друг друга. Амплитуда результирующей волны во всех этих точках будет наибольшая. То же самое будет получаться во всех точках, в которых фаза обеих волн отличается на 2π , 4π и т. д. Следовательно, во всякой точке, расстояние от которой до обоих источников отличается на целое число длин волн, амплитуда результирующей волны будет наибольшая. Геометрическим местом точек, разность расстояний от которых до обоих источников есть величина постоянная, являются гиперболы, фокусы которых совпадают с источниками (рис. 10). Точки, в которых амплитуда результирующей волны достигает максимума, лежат на таких гиперболах (на рис. 10 изображены жирными линиями).

между гиперболами максимумов (на рис. 10 изображены тонкими линиями). В результате получится интерференционная картина, содержащая ряд максимумов и минимумов, чередующихся между собой. Эта картина может

быть получена на поверхности воды в результате интерференции двух круговых волн, возбуждаемых двумя шариками, укрепленными на одном вибраторе

(рис. 11).

Если в точки, в которых фазы обеих волн противоположны, обе волны приходят примерно с одинаковой амплитудой, то результирующая амплитуда практически равна нулю. Но амплитуда круговой волны убывает с расстоянием; поэтому в случае равных амплитуд волн у источников минимумы амплитуд будут спадать до нуля только при том условии, что разность расстояний до источников мала по сравнению со всем расстоянием. Во всех областях, где это условие не соблюдается, минимумы уже не спадают до нуля. Вместе с тем и максимумы будут тем менее заметны, чем больше

204

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

отличаются по амплитуде обе волны, пришедшие в данную точку. Поэтому

отчетливая интерференционная картина будет наблюдаться только вблизи прямой, проходящей посередине между источниками. При удалении от этой прямой интерференционная картина становится все менее и менее резкой. Отчетливо видны только средний максимум и несколько соседних с ним мак- симумов и минимумов.

Рассмотренная нами картина будет наблюдаться, если оба источника

создают волны одинаковой частоты и с постоянным сдвигом фаз у источников. Для упрощения мы считали этот сдвиг равным нулю, но это несущественно, важно лишь, чтобы он был постоянным. Только при этом

условии каждой точке пространства соответствует вполне определенный и постоянный сдвиг фаз между обеими пришедшими волнами. Если сдвиг фаз между источниками не будет оставаться постоянным, то с изменением сдвига фаз будет изменяться и вся картина. Когда сдвиг фаз между волнами в каждой точке проходит через все значения от 0 до π , положения максимумов и минимумов смещаются в пространстве настолько, что максимумы и минимумы будут меняться местами. Если к тому же сдвиг фаз изменяется быстро, то вся картина размывается и даже кратковременно интерференционную картину наблюдать не удастся.

Таким образом, от двух источников можно

наблюдать неподвижную интерференционную картину только при условии, что сдвиг фаз между ними длительно остается постоянным. Для этого, как мы убедились, не только частоты волн, излучаемых обоими источниками, должны совпадать, но не

должно происходить никаких изменений в разности фаз волн, приходящих в каждую точку от обоих источников. Источники, удовлетворяющие

этим условиям, называются когерентными. Обеспечить когерентность двух источников можно различными способами. Наиболее простым способом является получение двух волн от одного и того же источника.

Все рассмотренные ранее случаи интерференции падающих и отраженных волн относились к этому случаю: когерентность обеспе- чивалась тем, что падающая и отраженная волны происходят от одного источника. Для того чтобы получить интерференцию волн, исходящих от двух различных источников, должны быть приняты специальные меры, обеспечивающие когерентность этих источников; например, для обеспечения когерентности двух источников, дающих картину интерференции, изображенную на рис. 11, оба шарика, служащие источниками круговых волн, укреплены на одном вибраторе.

Картина интерференции от двух точечных источников изменяется при изменении расстояния между источниками O1 и O2 (рис. 10). Так

как для любых двух соседних максимумов или минимумов разность хода от двух источников должна различаться на λ , то расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами), отсчитанное вдоль

205

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

прямой O1O2 , должно быть равно λ2 . Значит, по мере уменьшения O1O2 число максимумов (и минимумов) в интерференционной картине уменьшается. Когда O1O2 станет меньше λ , но больше λ2 , вся

интерференционная картина будет содержать только один максимум – прямую, на которой разность хода равна нулю (так как нигде в пространстве сдвиг фаз не может быть равен 2π × k , где целое число k ¹ 0 ), и два минимума, расположенных на гиперболах. Наконец, когда

расстояние O1O2 станет меньше λ2 , исчезнут и эти два минимума (так как

нигде в пространстве сдвиг фаз между волнами не может достичь π ). При дальнейшем уменьшении O1O2 амплитуды результирующей волны все

меньше и меньше будут изменяться от точки к точке при изменении направления в котором лежит эта точка (в любую точку пространства волны от источников O1 и O2 будут приходить почти в одинаковых фазах), т. е. картина

будет все больше и больше приближаться к той, которую дает один точечный источник.

Принцип Гюйгенса.

Рассмотрим теперь картину, которую дает длинный ряд когерентных точечных источников, расположенных на одной прямой достаточно близко друг к другу. Каждый из источников дает круговые волны, и все эти волны интерферируют между собой. В результате получится картина, характер которой можно установить при помощи следующих соображений.

В образовании интерференционной картины в каждой точке существенную роль играют только источники, лежащие на таких расстояниях до рассматриваемой точки,

которые не очень сильно отличаются друг от друга. Поэтому, пока мы будем рассматривать точки, лежащие на прямой, параллельной той, на которой расположены источники, и не слишком близкие к крайним источникам, то для них результат интерференции должен быть один и тот же (так как они одинаково расположены по отношению к источникам, участвующим в образовании интерференционной картины). Следовательно, амплитуда и фаза волны во всех точках, расположенных на прямой, параллельной источникам, должны быть одни и те же. Поэтому в результате интерференции мы получим в средней части такую же картину, как и в случае плоской волны. Только

вблизи источников появятся интерференционные максимумы и минимумы (рис. 12). Вдали от источников полученная картина будет примерно такой же, какую дает плоский вибратор.

206

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Всегда можно заменить любой источник волн системой когерентных точечных источников,

которые в результате интерференции вдали дадут ту же картину, что и данный источник. Эта

возможность замены любого источника системой точечных источников, интерферирующих между собой, подсказывает идею важного принципа,

применяемого при рассмотрении вопросов распространения волн. Всякую волну мы можем в любом месте «остановить» и заменить ее системой

воображаемых точечных источников (элементарных источников). Дальнейшее рас-

пространение волны можно рассматривать как результат интерференции волн, создаваемых этими элементарными точечными источниками. При этом амплитуда и фаза волн, создаваемых всеми элементарными источниками, определяются амплитудой и фазой приходящей волны в той точке, в которой расположен данный источник. Этот принцип, так называемый принцип Гюйгенса – Френеля, широко применяется для рассмотрения вопросов распространения волн.

Применяя принцип Гюйгенса – Френеля, нужно учитывать интер- ференцию волн, создаваемых всеми элементарными источниками. Эта сложная задача весьма упрощается в тех случаях, когда падающая волна ничем не ограничена, т. е. когда не приходится рассматривать «краев» падающей волны. Тогда можно пользоваться теми же рассуждениями,

которыми мы пользовались при нахождении интерференционной картины от ряда близко расположенных точечных источников. Амплитуда волны в точках а и b (рис. 13), расположенных одинаково по отношению ко всем элементарным источникам, будет одинакова, и никаких интерференционных максимумов и минимумов наблюдаться не будет. Фазы же результирующей волны в точках а и b сдвинуты по отношению к

фазам ближайших к ним элементарных источников А и В на одинаковую величину. Это видно из того, что точки а и b расположены совершенно

одинаково относительно ближайших к ним элементарных источников А и В.

Отсюда вытекает способ нахождения поверхности равной фазы результирующей волны. Нужно найти точки, в которых ближайшие к

ним элементарные источники создают элементарные волны одинаковой фазы. Эти точки лежат на волновой поверхности результирующей волны. Такое построение для случая круговой волны приведено на рис. 14. A1, A2 ,... – элементарные точечные источники на поверхности приходящей волны. Эти источники, колеблющиеся в одинаковой фазе (так как фаза приходящей волны во всех точках A1, A2 ,... одна и та же), создают элементарные круговые волны, которые изображены на рисунке дугами. При одинаковых расстояниях A1a1 , A2 a2 ,... фаза всех этих элементарных

207

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

момент будет одна и та же. Поэтому и фаза результирующей волны в точках a1 , a2 ,... будет одна и та же. Следовательно, поверхность, касающаяся всех поверхностей элементарных волн в точках a1 , a2 ,..., и представляет собой волновую поверхность результирующей волны.

Мы получили совершенно очевидный результат, что круговая волна и дальше распространяется в виде круговой. Но этот пример поясняет применение принципа Гюйгенса – Френеля для случаев, когда не приходится принимать во внимание «края» волны. Как видно, способ построения результирующей волны сводится тогда к следующему: расположив элементарные источники на поверхности приходящей волны, нужно построить элементарные волны, соответствующие одной и той же фазе.

Огибающая этих элементарных волн одинаковой фазы и будет представлять собой волновую поверхность результирующей волны. В таком именно

виде этот принцип и был впервые сформулирован Гюйгенсом. Позднее

Френель указал на необходимость принимать во внимание интерференцию элементарных волн. Но если падающие

волны ничем не ограничены, то картина интерференции не дает ничего нового по сравнению с принципом Гюйгенса в его первой формулировке. Только «края» волны дают новые явления, не охватываемые принципом Гюйгенса. На этих явлениях мы коротко остановимся ниже.

Применим принцип Гюйгенса к задаче о преломлении волн. Положим, что плоская волна

падает под некоторым углом на границу двух сред, в которых скорости распространения волн v1 и v2 различны (рис. 15); v1 относится к нижней среде, v2 – к верхней, и v1 > v2 . По принципу

Гюйгенса заменим волну, приходящую на границу раздела из первой среды, элементарными источниками, амплитуды которых одинаковы. Но падающая волна, для которой поверхности равной

фазы параллельны плоскости АВ, приходит в разной фазе в различные точки на границе раздела. Поэтому и элементарные источники на поверхности раздела должны иметь различную фазу – они должны быть сдвинуты по фазе друг относительно друга так же, как сдвинута фаза приходящей волны в разных точках. Элементарные волны, создаваемые во второй среде этими источниками, будут иметь одинаковую фазу на различном расстоянии от источников. Если мы изобразим элементарные

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com