ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1261
Скачиваний: 7
B
A
t
td t
C
td t
C
td t
C
1
0
2
0
2
1
1
1
=
=
=
+
−
∫
∫
∫
π
ω
ω ω
π
ω ω
π
ω ω
π
π
π
π
π
Φ( sin ) sin
sin
(
) sin
.
4
=
(7)
Гармонический коэффициент линеаризации тогда, учитывая (2), (6) и (7)
q A
x
x
C
t
A
t
C
A
( )
sin
sin
=
=
=
3
4
4
π
ω
ω
π
.
x
(8)
Уравнение нелинейного звена после гармонической линеаризации
x
q A
3
= ( )
.
x
(9)
Решая систему уравнений (1) с учетом (9) вместо
x
3
=
Φ
( )
относительно координаты
x
, получим
T T p
T
T p
T k k q
k
k
qk
oc
oc
1 2
3
1
2
2
1 2
1
2
1
0
+
+
+ +
+
+
=
(
)
(
)
(
)
ρ
.
(10)
Подставляя в (10)
p
j
=
ω
, разбиваем его на действительную и мнимую части:
(
)
(
)
(
)
k
k k q
T
T
T k k q
T T
oc
oc
1
2
1
2
2
1 2
1 2
3
0
1
0
+
−
+
=
+
−
ω
ω
ω
,
.
=
(11)
Из 1-го уравнения (11), учитывая (8) найдем
:
ω
2
ω
π
2
1
2
1
2
4
=
+
+
C k
k
k
A T
T
oc
(
)
(
)
.
(12)
Из 2-го уравнения (11) с учетом (12) и (8) получаем
A
Ck T T k
T k
T
T
oc
0
2 1
2 1
1
1
2
4
=
−
+
(
)
(
)
π
,
(13)
тогда
с учетом (13)
ω
2
ω
0
2
1
1
2 1
2
=
+
−
k
k
T T k
T k
oc
oc
(
)
.
(14)
Далее проверяется устойчивость полученных автоколебаний.
2. Графо-аналитические методы построения переходных процессов
1. Численно-графический метод Д.А.Башкирова (1948 г.)
Этот метод является наиболее универсальным, так как он может быть применен как для построения
кривых переходного процесса, так и кривых процесса регулирования или слежения при любых
возмущающих воздействиях. Его можно применить: к линейным системам, к линейным системам с
запаздыванием, к нелинейным системам с любым видом нелинейной характеристики.
Исходные положения метода: Допустим, имеем кривую переходного процесса
x
f t
= ( )
в виде
экспоненты (рис.170)
x
t
t
t+ t
∆
∆
t
∆
x
F
C
L
A
B
E D
Рис.170
x С С e
t
T
= −
−
1
,
(1)
где
T
– постоянная времени переходного процесса;
– постоянная, зависящая от начальных условий.
C
1
Докажем, что проекция секущей
, проведенной
через любые две точки экспоненты равноотстоящие друг от
друга по времени
FD T
c
=
∆
t
является постоянной.
Возьмем две произвольные точки на экспоненте
и
A
B
через момент времени
, причем
соответствует
произвольному моменту времени
. Проведем секущую и
найдем длину её проекции
.
FD
∆
t
A
t
120
Так как треугольник
BED
подобен треугольнику
, а треугольник
– треугольнику
,
то можно записать, что
AFD
ALB
AFD
ED
FD
BE
AF
=
,
(2)
AL
AF
BL
DF
=
.
(3)
Из графика
AF C x t
C C C e
C e
t
T
t
T
= −
= − +
=
−
−
( )
1
1
,
(4)
BE C x t
t
C e
t
t
T
= −
+
=
−
+
(
)
∆
∆
1
,
(5)
ED FD FE
FD
t
=
−
=
−
∆
.
(6)
Подставляя (4), (5) и (6) в выражение (2), получим:
T
t
T
C e
C e
c
c
t
t
T
t
T
−
=
−
+
−
∆
∆
1
1
,
T
t T e
T
e
c
c
t
T
c
t
T
−
=
−
=
−
−
∆
∆
∆
∆
;
(
)
1
t
,
T
t
e
c
t
T
=
−
−
∆
∆
1
.
(7)
Из выражения секущей
(7) видно, что её длина не зависит от времени . Кроме того выражение
(7) для любой заданной экспоненты связывает между собой длину проекции секущей
с постоянной
времени
T
c
t
T
c
T
.
Если знаменатель выражения (7) разложить в ряд Тейлора и ограничиться только линейными
членами ряда, то получим такую зависимость
T
T
t
c
≈ +
∆
2
.
(8)
Подставляя в формулу (2)
AL
x
=
∆
,
AF C x t
= − ( )
,
BL
t
=
∆
,
DF T
T
t
c
=
= +
∆
2
,
получим
∆
∆
∆
x
t
C x t
T
t
=
−
+
( )
2
.
(9)
Уравнение (9) является исходным при построении переходных процессов методом Башкирова.
Если в правой части исходного дифференциального уравнения вместо
C
будет произвольная
функция времени, то выражение (9) будет иметь вид
∆
∆
∆
x
t
f t
x t
T
t
=
−
+
( )
( )
2
.
(9’)
Примеры построения переходных процессов
121
методом Башкирова
1.
T
dx
dt
x
f t
+ = ( )
.
(10)
Начальные условия: при
t
= 0
,
x
x
( )
0
0
=
.
Порядок графического решения:
1. Заданная кривая
f t
( )
сдвигается по оси абсцисс на величину
T
(рис.171).
x
f
t
∆
t
∆
x
x
0
F
A
D H
T
0
0
B
Рис.171
∆
t
2
T+
∆
t 2
f(t
+
)-
x(t
)
2. Кривая
f t
( )
заменяется ступенчатой функцией, так чтобы внутри каждого участка
∆
t
она
имела постоянное значение, равное
f t
t
+
∆
2
, тогда для каждого участка тмеет место формула
∆
∆
∆
∆
x
t
f t
t
x t
T
t
=
+
−
+
(
)
(
2
2
)
x
.
(11)
3. По уравнению (11) производится построение переходного процесса. Известную точку кривой
переходного процесса
соединяем с точкой
. Пересечение этой прямой с
x( )
0
0
=
D
∆
t
является
новой точкой
x t
( )
∆
(точка
B
) искомого ПП. Действительно, треугольник
имеет тот же
вид, что и на рис.171 к исходному положению метода. Затем точка
AFD
B
соединяется с точкой
H
и т.д.
4. Полученные таким образом точки принадлежат (приближенно) искомому ПП. Очевидно, что
точность решения возрастает с уменьшением
∆
t
.
2.
T
dx
dt
f t
= ( )
(12)
Начальные условия: при
t
= 0
,
x
x
( )
0
0
=
.
Уравнение (12) приближенно можно переписать, как и ранее.
T
x
t
f t
t
∆
∆
∆
=
+
(
2
)
или
∆
∆
∆
x
t
f t
t
T
=
+
(
)
2
(13)
Формула (12) является основой для построения переходного процесса дифференциального
уравнения (12).
Порядок графического решения:
122
1. Заданная кривая
f t
( )
смещается по оси абсцисс на величину
T
t
−
∆
2
(рис.172).
2. Кривая
f t
( )
заменяется, как и ранее, сту
x
пенчатой функцией.
3. По уравнению (13) производится построение переходного процесса. Известную точку кривой ПП
соединяем с точкой
, которая получается переносом точки
кривой
x( )
0
0
=
D
′
D
f
t
(
)
∆
2
на
величину
вверх. Точка пересечения прямой с отрезком
x
0
∆
t
даст значение
x t
( )
∆
. Затем
полученную точку
x t
( )
∆
(точку
B
) соединяем прямой с точкой
H
, которая получается
переносом точки
′
H
на известную величину
x t
( )
∆
и т.д.
4. Поступая аналогично строится полностью кривая ПП для уравнения (12) при любых
f t
( )
.
x
f
f(t)
t
∆
t
∆
t
x(
t)
∆
x
0
F
A
D
x
0
x(
t)
∆
D’
H
H’
0
0
B
Рис.172
∆
t
2
T-
3.
a
d x
dt
a
dx
dt
a x
f t
0
2
2
1
2
+
+
= ( )
.
(14)
Начальные условия: при
,
t
= 0 x
x
( )
0
0
=
;
′
= ′
x
x
( )
0
0
.
Преобразуем уравнение (14)
a a
a a
d x
dt
a
a
dx
dt
x
a
f t
0 1
1 2
2
2
1
2
2
1
+
+ =
( )
,
обозначим
),
(
1
)
(
,
,
2
1
2
1
2
1
0
1
t
f
a
t
f
a
a
T
a
a
T
=
=
=
тогда
T T
d x
dt
T
dx
dt
x
f t
1 2
2
2
2
1
+
+ = ( )
.
(15)
Перепишем (15) в виде двух уравнений первого порядка:
T
dx
dt
x
T
dx
dt
x
f t
2
1
1
1
1
1
=
+
=
−
,
( )
.
(16)
x
Видно, что уравнения (16) аналогичны ранее рассмотренным примерам 1 и 2.
Порядок графического решения:
Графическое построение вмещает в себя два этапа:
1. По второму уравнению (16) – аналогичное примеру 1.
2. По первому уравнению (16) – аналогичное примеру 2.
1. По второму уравнению (16), аналогично (11) можно записать
123
∆
∆
∆
∆
∆
x
t
f t
t
x t
t
x t
T
t
1
1
1
1
2
2
2
=
+
−
+
−
+
(
)
(
)
(17)
( )
.
2. для первого уравнения (16) имеем
∆
∆
∆
x
t
x t
t
T
=
+
1
2
(
)
.
(18)
3. Кривая
f t
1
( )
заменяется, как и ранее, ступенчатой функцией (рис.173).
4. Оси ординат
и
сдвигаются по оси абсцисс соответственно на величины
x
1
f
1
T
t
2
2
−
∆
и
(
)
T
t
T
2
1
2
−
+
∆
.
5. По уравнениям (17) и (18) производится построение требуемого переходного процесса.
Известную точку кривой
, определяемой из начальных условий как
, соединяем
прямой с точкой
, которая определяется вычитанием
x
1
x
T
1
0
( )
=
′
x
2 0
D
1
f t
t
x t
t
1
2
2
(
)
(
+
−
+
)
∆
∆
. (Для начальной точки
f
t
x
t
1
2
2
(
)
(
∆
∆
−
)
, где
x
t
x
x
t
(
)
∆
∆
2
2
0
0
=
+ ′
, т.к.
∆
t
принимается малым и можно допустить, что на
отрезке
∆
t
функция
x
изменяется по своей касательной). Пересечение этой прямой с отрезком
∆
t
даст
нам точку
B
1
→ x (t
1
)
. Прибавляя к
x
t
1
2
∆
отрезок
, получим точку
. Соединяя точку
с
точкой
x
0
D
D
x(0)
прямой, получим точку
B
, соответствующего
x t
( )
∆
и т.д.
x
x
1
f
1
t
∆
t
x
0
x(
0)
1
x
0
f
1
(t)
A
A
1
D
H
D
2
D
1
H
2
H
1
T
1
0
0
B
B
1
Рис.173
∆
t
2
T -
2
∆
t 2
x(
)
4.
Построение переходного процесса в целом для нелинейной системы вида (рис.174) показано на
рис.175:
k
T p
1
1
1
+
k
T p
2
2
1
+
x
2
f(t)
∆
x
x
1
x
2
x
3
x
1
x
2
(
∆t)
x
1
(
∆t)
C
рис.174
124