ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1263
Скачиваний: 7
x
1
x
2
x
3
f
t
∆
t
∆
t
x ( t)
3
∆
x (0)=0
1
f(t)
D
T
1
T
2
0
C
0
0
Рис.175
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Определение: Импульсные системы – это такие САУ, в которых имеются сигналы квантованные по
времени.
Импульсную САУ можно в общем случае представить блок-схемой:
ε
y
x
t
t
t
рис. 176
ε
g
y
ИЭ
x
НЧ
ИЭ – импульсный элемент;
НЧ – непрерывная часть.
Возможны и более сложные импульсные САУ с несколькими ИЭ, однако в лекциях мы рассмотрим
лишь САУ с одним ИЭ.
Определение: Квантование, осуществляемое ИЭ в виде преобразования непрерывного сигнала в
последовательность импульсов, называется импульсной модуляцией.
Существует три вида импульсной модуляции:
1. амплитудно-импульсная (АИМ);
2. широтно-импульсная (ШИМ);
3. время-импульсная (ВИМ);
3.1. фазо-импульсная (ФИМ);
3.2. частотно-импульсная (ЧИМ).
Сущность каждого вида модуляции поясняется на рис.177
Входной сигнал (его величина) называется моделирующим сигналом ИЭ. Модулируемыми
параметрами выходного сигнала ИЭ могут служить высота (амплитуда), ширина и период повторения
импульса.
1. АИМ – период повторения
T
const A
П
=
=
,
v
моделируемый параметр в зависимости от
величины
x
.
ar
–
2. ШИМ –
A const T
И
=
,
v
ширина импульса (модулируемый параметр в зависимости от
величины
x
).
= ar
–
3.1. ФИМ –
A const T
З
=
=
,
v
запаздывание импульса относительно начала периода
(модулируемый параметр в зависимости от величины
x
).
ar
–
125
3.2. ЧИМ–
A const
f
T
П
П
=
=
,
1
= var
– частота следования импульсов (модулируемый
параметр в зависимости от величины
x
).
y
ИЭ
x
y
y
y
x
t
t
t
t
1. АИМ
2. ШИМ
3. ВИМ
3.1. ФИМ
Т
П
A
Т
И
Т
З
Рис.177
По виду модуляции импульсные САУ делятся: АИ, ШИ и др.
Наибольшее распространение получили АИ САУ, затем ШИ
САУ.
Достоинства импульсных САУ (по сравнению с непрерывными):
1. Возможность многоточечного управления. Оно состоит в том,
что
с
помощью
одного
управляющего устройства
импульсного действия можно управлять несколькими
объектами,
путем
последовательного
циклического
подключения УУ к каждому из объектов.
2. Возможность многократного использования линий связи.
Такое временное разделение каналов широко используется
для управления летательными объектами.
3. Повышенная помехозащищенность. Это обусловлено тем, что
информация передается в виде коротких импульсов, в
промежутке
между
которыми
система
оказывается
разомкнутой и не реагирует на внешние возмущения.
4. Возможность получения больших коэффициентов усиления
по мощности:
K
=
÷
10
10
10
15
.
Особенности динамики импульсных САУ
1. Если непрерывная часть системы обладает свойствами фильтра высоких частот, а частота работы
импульсного элемента значительно выше полосы пропускания непрерывной части, то
импульсная система превращается в систему непрерывного действия.
2. Если частота
f
T
П
П
=
1
работы импульсного элемента недостаточно велика (меньше) по
сравнению с полосой пропускания непрерывной части системы, то наличие ИЭ существенно
изменяет её динамические свойства по сравнении с системой непрерывного действия.
Следовательно при исследовании таких САУ необходимо учитывать дискретный характер
сигналов.
Отметим, что импульсные САУ могут быть как линейными, так и нелинейными.
Линейной импульсной САУ называется система, у которой линейными уравнениями описывается
как непрерывная часть, так и импульсный элемент.
Математическое описание линейных импульсных систем
Математическое описание импульсной САУ состоит из описания непрерывной части (изученные
ранее) и описания импульсного элемента САУ. Для описания ИЭ необходимо знать форму выходных
импульсов, статическую характеристику ИЭ и время запаздывания ИЭ, если оно существенно.
Статическая характеристика ИЭ – это зависимость моделируемого параметра выходного сигнала от
входного моделирующего сигнала.
Рассмотрим математическое описание линейной импульсной САУ с АИМ. Для описания такой
системы необходимо выполнять три вида преобразования исходной структуры:
1. Разлагаем реальный ИЭ на:
1.1. идеальный элемент (ИЭ);
126
1.2. формирующий элемент (ФЭ).
2. Переносим все внешние воздействия на вход ИЭ.
3. Заменяем реальные непрерывные сигналы, действующие в САУ, на фиктивные дискретные
сигналы.
Допустим, имеем импульсную САУ вида:
ε
y
x
t
t
t
рис. 178
g(t)
y
ИЭ
x
W
p
НП
( )
f
ε
Полагаем
g t
( )
= 0
.
1. Реальный ИЭ можно представить в виде последовательного соединения идеального ИЭ и
формирующего элемента (формирователя).
1.1. Идеальный ИЭ – это элемент, на выходе которого имеем импульсы бесконечно малой ширины и
бесконечно большой амплитуды, площадь которых конечна и численно равна входному сигналу ИЭ в
начале периода повторения. Таким образом, на выходе ИИЭ получаем
δ
-импульсы, но не
единичной, а переменной площади. Будем условно изображать
δ
-импульсы стрелками, длина
которых равна площади соответствующего импульса.
ε
y
x
t
t
t
W
fx
рис. 179
y
ФЭ
x
W
p
НП
( )
f
ИИЭ
Упр
.
НП
W p
Ф
( )
1.2. Чтобы найти передаточную функцию ФЭ необходимо определить изображение по Лапласу для
формы импульса на выходе реального ИЭ в виде:
[
]
W p
L y t
Ф
И
( )
( )
=
,
(1)
где
y t
И
( )
– выражение для импульса единичной высоты на выходе ИЭ.
Рассмотрим пример:
Имеем ИЭ с выходными импульсами прямоугольной формы и ширины
τ
(рис.180).
y
t
τ
τ
T
П
y
РИЭ
Рис.180
Такой импульс можно представить в виде разности положительной и отрицательной единичных
функций, сдвинутых друг относительно друга на время
τ
(рис.180), т.е.
127
y
t
τ
1
y
W p
Ф
( )
-1
ИИЭ
Рис.181
Тогда
[
]
y t
k
t
t
И
И
( )
( )
(
)
=
−
−
1
1
τ
,
(2)
где
– коэффициент передачи импульсного элемента;
k
И
k
a
x
И
=
,
x
– величина сигнала на входе импульсного элемента в начале очередного периода повторения
;
T
П
a
– высота (амплитуда) выходного импульса в том же периоде.
После преобразования (2) с учетом (1)
W p
k
p
p
e
k
e
p
Ф
И
p
И
p
( )
(
)
=
−
=
−
−
−
1
1
1
τ
τ
.
(3)
Структурная схема, соответствующая выражению (3) имеет вид:
1
y
k
p
И
e
p
−
τ
Рис.182
Если в ИЭ необходимо учитывать запаздывание, то последовательно со структурой (рис.182)
включается звено чистого запаздывания.
2. Перенос внешнего воздействия на вход ИИЭ осуществляется обычным пересчетом по правилам
переноса сигналов непрерывной линейной части САУ.
W
p
НП ПР
.
( )
f
fW
p
ПР
fx
=
( )
x
ИИЭ
y
ПР
.
Рис.183
здесь
W
p
W p W
НП ПР
Ф
НП
.
( )
( )
( )
=
p
⋅
.
(4)
В результате преобразования 1 и 2 импульсные САУ приводятся к типовой схеме, что позволяет при
исследовании пользоваться единым математическим описанием и общей методикой.
3. Заменяем действующие непрерывные сигналы в САУ на фиктивные дискретные. Это значительно
упрощает математическое описание импульсных САУ, т.к. используются только разностные
уравнения и дискретное преобразование Лапласа.
Если в системе имеем непрерывный сигнал, то заменяем его решетчатой функцией.
Определение: Дискретная функция, значения которой в начале каждого периода, т.е. в моменты
времени
, где
, совпадают со значениями непрерывной функции, а в остальное время
равны нулю, то такая дискретная функция называется решетчатой функцией.
nT
П
n
= 1 2 3
, , ,...
128
t
x(t)
x[nT ]
П
x[n]
0
0
T
П
1
x[
0]
x[0
]
x[
T
]
П
x[
1]
x[
2T
]
П
x[
2]
x[3
T
]
П
x[3
]
x[
4T
]
П
x[
4]
x[
5T
]
П
x[
5]
x[
6T
]
П
x[
6]
2T
П
2
3T
П
3
4T
П
4
5T
П
5
6T
П
6
nT
П
n
Рис.184
Если решетчатая функция приведена к относительному времени
t
t
T
П
=
, т.е. время измеряется
числом периодов
, то в этом случае относительный период
T
П
T
П
= 1
и решетчатая функция
обозначается как
x n
[ ]
, где
n
= 0 1 2 3
, , , , ...
Такая запись называется нормированной формой решетчатой
функции (рис.184).
.
Аналогом производных непрерывных функций являются разности решетчатой функции (рис.185).
Первая разность (разность первого порядка) характеризует скорость изменения решетчатой функции и
представляет собой аналог 1-й производной непрерывной функции
x[n]
0
1
∆
x[0]
∆
x[1]
∆
x[2]
∆
x[3]
2
3
4
n
Рис.185
.
(5)
∆
x n
x n
x n
[ ]
[
]
[ ]
=
+ −
1
∆
∆
∆
2
1
x n
x n
x n
[ ]
[
]
[ ]
=
+ −
∆
2
=
+
−
+
+
m
−
Вторая разность
(6)
или, с учетом (5)
.
(7)
2
2
1
x n
x n
x n
x n
[ ]
[
]
[
]
[ ]
m
В общем случае разность -го порядка:
∆
∆
∆
m
m
m
i
i
m
i
x n
x n
x n
C x n m i
[ ]
[
]
[ ]
( )
[
]
=
+ −
=
−
+
−
−
=
∑
1
1
0
1
1
,
(8)
m!
где
C
i m i
i
m
=
−
!(
)!
– коэффициенты бинома Ньютона.
Аналогом интеграла для решетчатой функции является сумма
x m
x n m
m
m
[ ]
[
]
=
=
∑
∑
=
−
0
1
n
m
−1
a x n m
a
x n m
a x n
a x n
[
]
[
] ...
[
]
[ ]
+
+
+
.
(9)
Дифференциальные уравнения для решетчатых функций принимают форму разностных уравнений
(уравнений в конечных разностях). В общем виде разностное уравнение можно представить так:
b f n l
b f n l
b f n
b f n
m
m
l
l
[
]
[
] ...
[
]
[ ].
=
+ +
+ − +
+
− +
−
−
1
1
0
1
1
1
1
(10)
a i
m
i
(
, )
= 0
b
j
l
j
(
, )
= 0
− +
+
+ +
=
0
1
1
Если коэффициенты
и
постоянны, то линейное неоднородное (с правой
частью) разностное уравнение (10)
-го порядка выражает обобщенную координату импульсной
системы
ю функцию
f n
[ ]
a
i
m
x n
[ ]
через известну
.
b
a
b
n
m
m
l
l
∆
∆
∆
∆
+
+
+
=
+
+
+
−
−
1
1
Если
и
есть функции времени, то уравнение (10) описывает импульсную систему, параметры
которой изменяются во времени.
j
Если
и
зависят от координат системы, то уравнение (10) описывает поведение нелинейной
импульсной системы.
i
j
Если в (10) учесть (8), то получим
a
x n
a
x n
a x n
b
f n
b
f n
b f
m
m
l
l
[ ]
[ ] ...
[ ]
[ ]
[ ] ...
[ ]
−
−
1
0
1
0
.
(11)
Запишем уравнение (10) в символической форме. Для этого введем оператор, связывающий
последующее значение решетчатой функции с предыдущим т.е.
с
обозначим такой
оператор через (набла), запишем
x n
[
]
+ 1
x n
[ ]
,
∇
∇
=
+
x n
x n
[ ]
[
]
1
,
(12)
тогда согласно (5)
129
или
.
(13)
∆
x n
x n
x n
x n
[ ]
[ ]
[ ] (
) [ ]
= ∇
−
= ∇ − 1
∇ = +
1
∆