ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1262
Скачиваний: 7
Соответственно
∇
=
+
∇
=
+
2
2
x n
x n
x n
x n m
m
[ ]
[
],
................
[ ]
[
].
(14)
Оператор
∇
называется оператором сдвига.
Применяя оператор сдвига, уравнение (10) может быть записано в виде:
Q
x n
R
f n
( ) [ ]
( ) [ ]
∇
=
∇
,
(15)
где
+
∇
+
+
∇
+
∇
=
∇
+
∇
+
+
∇
+
∇
=
∇
−
−
−
−
.
...
)
(
,
...
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
b
b
b
b
R
a
a
a
a
Q
l
l
l
l
m
m
m
m
(16)
Обозначим
W
x n
f n
R
Q
( )
[ ]
[ ]
( )
( )
∇ =
=
∇
∇
– передаточная функция системы.
(17)
С учетом (17) уравнение (15) получает вид:
x n
W
f n
[ ]
( ) [ ]
=
∇
.
(18)
Для решения уравнения (18) можно пользоваться методами классической теории разностных
уравнений. Однако более проще использовать для решения дискретное преобразование Лапласа.
Дискретное преобразование Лапласа можно получить, если заменить в непрерывном
преобразовании интеграл на знак
.
∑
[ ]
{
}
D x nT
x nT e
X p
П
П
pnT
n
П
=
=
−
=
∞
∑
[
]
(
*
0
)
.
(19)
В относительном времени уравнение (19) имеет вид:
[ ]
{ }
D x n
X q
x n e
qn
n
=
=
−
=
∞
∑
*
( )
[ ]
0
,
(20)
где
– безразмерная комплексная переменная.
q T p
П
=
Используем Z-преобразование, для этого введем обозначение
z e
q
=
.
(21)
Уравнение (20) с учетом (21) принимает вид:
[ ]
{ }
Z x n
X z
x n z
n
n
=
=
−
=
∞
∑
*
( )
[ ]
0
.
(22)
В уравнении (22) дискретное преобразование Лапласа называется Z-преобразованием.
Пример непрерывного и дискретного преобразования некоторых непрерывных функций.
Таблица 5
x t
( )
x n
[ ]
X p
( )
X z
*
( )
δ
( )
t
δ
[ ]
n
1
1
1( )
t
1[ ]
n
1
p
z
z
− 1
e
t
−
α
e
n
−
α
1
p
+
α
z
z e
−
−
α
sin
β
t
sin
β
T n
П
β
β
p
2
2
+
z
T
z
z
T
П
П
sin
cos
β
β
2
2
1
−
+
130
Основные свойства дискретного преобразования Лапласа
1. Предельные значения решетчатой функции выражены через дискретные изображения
следующими соотношениями:
1.1.
;
x
x n
X
n
z
[ ] lim [ ] lim
( )
*
0
0
=
=
→
→∞
z
(23)
1.2.
[
]
x
x n
z
X
n
z
[ ] lim [ ] lim (
)
( )
*
∞ =
=
−
→∞
→1
1
z
1
)
.
(24)
2. Изображение решетчатой функции, смещенной в сторону опережения на периодов:
m
{
}
{
}
Z x n m
Z
x n
Z X z
x
Z
x Z
x m
Z
m
m
m
m
[
]
[ ]
( )
[ ]
[ ]
...
[
]
*
+
=
∇
=
=
−
−
−
−
−
0
1
1
.
(25)
3. Изображение решетчатой функции, смещенной в сторону запаздывания на периодов:
m
{
}
Z x n m
Z
X z
m
[
]
(
*
−
=
−
.
(26)
Отметим, что для получения уравнения импульсной САУ, записанного в дискретном изображении
X z
*
( )
из разностного с оператором
∇
, необходимо поступать так же, как и при переходе от
дифференциального уравнения к операторной форме при непрерывных сигналах.
Если импульсная САУ описывается разностным уравнением вида (18):
x n
W
f n
[ ]
( ) [ ]
=
∇
, то в
изображениях дискретного преобразования Лапласа:
X z
W z F z
*
*
*
( )
( )
( )
=
,
(27)
где
W z
X z
F z
R z
Q z
*
*
*
*
*
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
∇ = Z
– дискретная ПФ САУ, которая от выражения (17) отличается простой
заменой
.
Определения: 1. Отношение
Z
-преобразования выходного сигнала системы (звена) к
Z
-
преобразованию входного сигнала системы (звена) при нулевых начальных
условиях, называется дискретной передаточной функцией системы (звена).
2. Чтобы перейти к
Z
-преобразованию от символической формы записи
уравнений, необходимо оператор сдвига
∇ = Z
, получим дискретное
преобразование Лапласа.
Итак, чтобы осуществить переход от непрерывного преобразования к дискретному преобразованию
Лапласа необходимо:
1. Найти по таблицам по известному изображению непрерывных сигналов его оригинал;
2. Заменить найденную зависимость решетчатой функцией;
3. Найти дискретное преобразование Лапласа для полученных решетчатых функций (по таблицам);
4. Найти дискретные передаточные функции звеньев импульсной САУ.
Для ранее рассмотренной структурной схемы импульсной САУ, получим структурную схему вида:
Y
z
ПР
*
( )
.
W
p
НП ПР
.
*
( )
F
z
ПР
*
( )
X
z
ПР
*
( )
Рис.186
Частотные характеристики линейных импульсных САУ с АИМ
Частотные характеристики импульсных САУ могут быть получены по передаточным функциям или
экспериментально.
Если в передаточную функцию подставить
q
j
=
ω
, т.е.
z e
j
=
ω
,
(1)
где
ω
ω
= T
П
– относительная частота,
то получим частотную характеристику импульсной САУ.
Обозначим
131
W j
p
*
(
ω
)
– амплитудо-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной САУ,
W
j
З
*
(
ω
)
– амплитудо-фазовая частотная характеристика замкнутой импульсной САУ.
Модуль обозначенных комплексных величин представляет соответствующие амплитудные, а
аргумент – фазовые частотные характеристики.
Частотные характеристики импульсных систем представляют собой периодические функции
частоты и имеют вид:
– АЧХ непрерывной части САУ.
– АЧХ импульсной САУ
с той же непрерывной
частью (а) и идеальным
ИЭ,
где
ω
ω
П
Н
> 2
П
,
ω
П
– частота повторения
импульсов;
ω
НП
– полоса ропускания
частот непрерывной
части САУ.
W (j )
НП
ω
−ω
НП
ω
НП
ω
а)
Рис.187
W (e )
*
j
ω
−ω
НП
−ω
П
ω
П
ω
НП
−(ω −ω )
П
НП
ω −ω
П
НП
−(ω +ω )
П
НП
ω +ω
П
НП
ω
б)
Рис.188
– АЧХ импульсной САУ с непрерывной
частью а) и ИИЭ,
где
ω
ω
П
НП
< 2
.
Из рассмотренных графиков видно, что
частотные характеристики системы есть
бесконечно повторяющаяся ЧХ непрерывной части САУ с частотой повторения импульсов
ω
П
.
W (e )
*
j
ω
−ω
НП
−ω
П
ω
НП
ω
П
ω
в)
W (j )
НП
ω
Рис.189
Периодичность частотных характеристик импульсных систем, а также их симметричность
относительно
ω
= 0
означает, что для их полного описания достаточно иметь частотную
характеристику в диапазоне изменения частот
0
≤
≤
ω π
или
0
0 5
≤
≤
ω
ω
,
П
.
(2)
Покажем, при каких соотношениях частот импульсную САУ можно рассчитывать как
непрерывную.
Из рассмотрения частотных характеристик импульсных САУ (рисунки 2 и 3) можно записать:
1. если
ω
ω
П
≥ 2
НП
, то частотные характеристики непрерывной и импульсной САУ в пределах
полосы пропускания полностью совпадают.
2. если
ω
ω
П
< 2
НП
, то частотная характеристика непрерывной и импульсной САУ в пределах
полосы пропускания частот не совпадают, следовательно, при исследовании такой САУ
необходимо пользоваться дискретными передаточными функциями.
132
Чтобы импульсную систему можно было рассматривать как непрерывную, необходимо ещё
накладывать ограничения на частоту приведенного внешнего воздействия в виде:
ω
ω
ω
F
п
нп
≤
−
.
(3)
где
ω
F
– спектр (наибольшая частота) внешнего воздействия, приведенного ко входу импульсного
элемента.
Условие (3) показывает на то, что в пределах полосы пропускания
ω
нп
не появится искажения
частотной характеристики непрерывной части системы от действия внешнего воздействия.
Итак, если будет выполнено условие
−
≤
≥
.
,
2
’•
•
f
’•
•
ω
ω
ω
ω
ω
(4)
то импульсную САУ можно исследовать как САУ непрерывного действия. Условия (4) – есть
теорема Котельникова-Шенона применительно к САУ с АИМ.
Устойчивость импульсных САУ
Если условия (4) для импульсных САУ не выполняются, то она, как уже было сказано, должна
исследоваться либо по дискретным передаточным функциям, либо по частотным характеристикам.
Отметим, что исследование устойчивости импульсных САУ осуществляется с помощью известных
критериев Рауса, Гурвица, Найквиста, Михайлова модифицированных с учетом особенности работы
импульсных систем.
Допустим, имеем импульсную САУ вида (рис.190):
W z
1
*
( )
X z
*
( )
W z
2
*
( )
Рис.190
Импульсная передаточная функция разомкнутой системы
W z
W z W z
p
*
*
*
( )
( )
( )
=
⋅
1
2
.
(1)
По правилам преобразования структур, передаточная функция замкнутой системы
W z
W z
W z
З
p
p
*
*
*
( )
( )
( )
=
+
1
.
(2)
Рассмотрим характеристическое уравнение импульсной системы
1
0
1
1
0
+
=
+
+
+
−
−
W z
a z
a z
a
p
m
m
m
m
*
( )
...
=
.
(3)
Так как
z e
e
e
q
j
j
k
=
=
=
±
±
(
)
[
(
α
ω
α
π ω
2
+ )]
(свойство частотной характеристики импульсной САУ)
(4)
то характеристическое уравнение (3) имеет бесчисленное множество корней.
Следовательно, передаточная функция
является
также периодической функцией вдоль мнимой оси (оси частот), и
поэтому при изучении полюсов этой передаточной функции в
комплексной плоскости достаточно рассмотреть их в полосе от
W z
W e
З
З
q
*
*
( )
( )
=
q
−
π
до
+
π
(рис.191).
Re (
α
)
Im (j
ω
)
π
Плоскость
q
-
π
Рис.191
Чтобы импульсная система была устойчивой, необходимо и
достаточно, чтобы все полюсы
при изменении частоты от
до
+
π
лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости
(рис.191).
W
З
*
−
π
q
133
134
q
Если перейти от комплексной плоскости
к плоскости
Z
e
q
=
, то интересующая нас полоса от
−
π
до
отображается в окружность единичного радиуса с центром в
начале координат, т.к. при
q
=
(мнимая ось) модуль
Z
e
j
=
=
ω
1
(рис.192).
ω
π
= 2
ω
= 0
ω
π
=
3
2
ω
π
=
2
ω π
=
Re
Im
Плоскость
Z
0
Рис.192
+
π
j
ω
Чтобы импульсная система была устойчивой, необходимо и
достаточно, чтобы все полюсы
лежали внутри окружности
единичного радиуса в комплексной плоскости
W
З
*
Z
(рис.192).
Чтобы применить алгебраические критерии устойчивости к импульсной системе, производят замену
переменной, вводя новую переменную
r
Z
r
r
=
+
−
1
1
.
(5)
Область устойчивости импульсной системы в плоскости новой переменной
r
соответствует вся
левая полуплоскость, а границей устойчивости является вся мнимая ось.
В результате подстановки (5) в характеристическое уравнение импульсной системы (3) получаем
условия устойчивости, аналогичные непрерывным системам. Следовательно можно применять и любые
критерии устойчивости для непрерывных систем.
Рассмотрим примеры:
1. Имеем характеристическое уравнение первого порядка
a z a
0
1
0
+
=
.
(1п)
Подставляя (5) в (1п), получим
a
r
r
a
0
1
1
1
0
+
−
+
=
.
или
(
)
a
a r a
a
0
1
0
1
0
+
+
−
=
.
(2п)
Для устойчивости рассматриваемой системы, из свойств алгебраических критериев устойчивости,
можно записать:
a
a
a
0
1
0
0
0
>
>
>
,
,
a
1
.
(3п)
2. Имеем характеристическое уравнение второго порядка
a z
a z a
0
2
1
2
0
+
+
=
.
(4п)
Подставляем (4п) в соотношение (5)
a
r
r
a
r
r
a
0
2
1
2
1
1
1
1
0
+
−
+
+
−
+
=
.
После преобразования получим
(
)
(
)
(
a
a
a r
a
a r
a
a
a
0
1
2
2
0
2
0
1
2
2
+
+
+
−
+
−
+
=
(5п)
) 0
.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты (5п) были
положительны, т.е.
a
a
a
a
a
a
a
a
0
1
2
0
2
0
1
2
0
0
0
+ +
>
−
>
− +
>
,
,
.
(6п)
Аналогично получают условия устойчивости для систем более высокого порядка. Однако для
порядка выше 3-го значительно возрастают вычислительные трудности.