Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения.pdf

Скачать файл (0,31Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

		π			π					π
										2
=	1	2	(sin2 t + cos2 t)dt =	1	2	1	dt =	1	t		=	π	.

	2	∫		2	∫			2				4
		0			0					0

Пример. Вычислить работу, совершаемую силой	r	r	− 3xy j
	F = x2	i

при перемещении некоторой массы из точки A(1,2) в точку B(4,0) по прямой линии.

Напишем уравнение прямой AB, используя уравнение прямой,

проходящей через две данные точки																		y − y1				=			x − x1					. Получим
проходящей через две данные точки																		y2 − y1				=								. Получим
																		y2 − y1						x2 − x1
y − 2	= x − 1,			y − 2 = x − 1, y = −										2		(x − 1)+ 2, y = −												2 x + 8					, dy = −			2 dx .
0 − 2 4 − 1				− 2					3					3														3				3				3
Искомая работа равна												4									2				8				2
						2						4			2						2				8				2
			A = ∫x				dx	−	3xydy = ∫ x							− 3x −						x +					−				dx			=
			A = ∫x				dx	−	3xydy = ∫ x							− 3x −					3	x +					−				dx			=
				AB								1									3					3			3
4		x3		16x						1	x3		16				x2		4				1	(64 − 1)+							8	(16			− 1)= 33 .
4		x3		16x						1	x3		16				x2		4				1								8
= ∫	−		+		dx =				−			+								= −
= ∫	−	3	+	3	dx =				−	3	3	+	3				2			= −			9								3
1		3		3						3	3		3				2		1				9								3
																			1

Контрольная работа №6

Данная контрольная работа включает в себя задачи по теме «Дифференциальные уравнения».

В задачах № 1-30 при отыскании общего решения дифференциального уравнения первого порядка следует использовать литературу [1,

с.105-107, 110-111, 118-120; 2, с. 22-27, 30-34; 3, с. 198-203; 4, с. 568575; 5, с. 389-394].

Перед решением задач нужно определить тип уравнения и метод решения, при этом можно руководствоваться табл.1.

Пример. Найти общее решение уравнения siny′x = y .

Так как y′ = dydx , то получаем уравнение dydx = y sinx - уравнение первого типа. Разделяем переменные :

dyy = sinx dx, ∫ dyy = ∫sinxdx, ln y = −cosx + c,

где c - произвольная постоянная. Можно оставить решение в таком виде или выразить y в явном виде

y = e− cos x+c .

Таблица 1 Классификация дифференциальных уравнений первого порядка

Тип дифференци-

Вид уравнения

Метод решения

ального уравне-

ния первого по-

рядка

1. С разделяющи-

= f1(x) f2 (y)

∫

= ∫f1(x)dx

f2 (y)

мися переменны-

ми

2. Однородное

= f

Подстановка

= u, y = ux ,

y′ = u′x + u

приводит к

уравнению первого типа

3. Линейное

+ P(x)y = Q(x)

Подстановка y = u(x) v(x)

приводит к уравнениям

первого типа

+ P(x) v = 0,

v = Q(x)

Пример. Найти общее решение уравнения y′ = e

+ y .

Это уравнение второго типа, однородное, следовательно, делаем

подстановку

= u, y = ux, y′ = u′x + u . Уравнение примет вид

du x = eu ,

= eu .

u′x + u = eu + u,

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

∫

, − e−u

= ln

+ lnc .

Здесь мы обозначили произвольную постоянную не c , а lnc для удобства записи:

− e−u = ln		, u = y	− e−	y	= ln	cx	.
	cx			x

		x

Можно оставить решение в таком виде, а можно y выразить явно:

−

= −ln

, e−

= ln

, − y = lnln

, y = −xlnln

Пример. Найти общее решение уравнения y′ + 2y = x .

Это

линейное уравнение

P(x)= 2,

Q(x)= x (табл.1). Делаем

подстановку y = u(x) v(x), y′ = u′v + uv′. Подставив эти соотношения в

исходное уравнение,		получаем	u′v + uv′ + 2uv = x . Одну из				функций
находим из уравнения				dv + 2v = 0 ,
		uv′ + 2uv = 0,
				dx
тогда вторая функция u определяется из уравнения u′v = x .
Решая первое уравнение, находим функцию v , то есть
dv = −2v,	dv	= −2dx, ∫ dv	= −∫ 2dx, ln		v	= −2x, v = e−2x	,

dx	v	v

произвольную постоянную для v полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции u :

−2x

= x,

du =

dx, du = x e

dx, ∫du = ∫x e

dx,

e−2x

u =

1 x e2x −

∫e2xdx =

1 x e2x −

1 e2x

+ c .

Решение исходного уравнения имеет вид

y = uv = 12 xe2x − 41 e2x + c e−2x .

В задачах № 31-60 для решения дифференциальных уравнений второго порядка следует изучить литературу [1, с. 126-131; 2, с. 58-63; 3, с. 210-212; 4, с. 582-585; 5, с. 397-400].

Уравнения второго порядка допускают понижение порядка ( то есть сводятся к уравнениям первого порядка) в двух случаях (табл.2).

Таблица 2 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие

понижение порядка

Вид уравнения	Подстановка,	применяемая
	для понижения порядка
1. y′′ = f (x, y′) - уравнение в явном виде не	y′ = u(x), y′′ =	du .
содержит функцию y .		dx
2. y′′ = f (y, y′) - уравнение в явном виде не	y′ = u(y), y′′ = u du .
содержит переменную x .		dy

Пример. Найти общее решение уравнения 1 + y′ = y′′ x.

Это уравнение не содержит в явном виде функциюy , делаем

подстановку y′ = u(x),

y′′

= du

. Уравнение примет вид

1 + u = dx

= (1 + u)x .

Разделим переменные:

= dx ,

∫

= ∫ dx, ln

1 + u

= ln

+ lnc1 , ln

1 + u

= ln

c1x

1 + u

1 + u = c1x, u = c1x − 1.

Так как u = dy , получаем

dy = c1x − 1,

dy = (c1x − 1)dx .

Интегрируя это равенство, получим общее решение исходного уравнения

y = c1 x2 2 − x + c2 .

Пример. Найти общее решение уравнения y′′ y2 = (y′)3 .

Это уравнение не содержит в явном виде переменную x , применяем

подстановку y′ = u(y), y′′ = u

du .

Уравнение примет вид

= u3 ,u

Это уравнение с разделяющимися переменными:

∫

, −

= −

+ c1 .

Отсюда находим, что u =

, так как u = dy

, то dy =

− c1y

1 − c1y

Разделяя переменные, получим

1 − c

− c1y = x + c2 .

dy = dx,

∫

− c1

= ∫dx,

Это общий интеграл уравнения, y выразить в явном виде отсюда невозможно.

В задачах № 61-90 используют приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами,

изложенные в литературе [1, с. 135-144; 2, с. 77-82, 84-94; 3, с. 224-233; 4, с. 597-607; 5, с. 400-410].

Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения используют табл. 3, а для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения - табл. 4.

Таблица 3

Общее решение однородного уравнения


Вид общего решения однородного			Корни		характеристического
уравнения			уравнения
1.	y0	= c1ek1x + c2ek 2x	k1 ,k2	-вещественные, k1		≠ k2
2.	y0	= (c1 + c2x)ekx	k1 ,k2	-вещественные, k1		= k2
3.	y0	= (c1 cosβx + c2 sinβx)eαx	k1 ,k2	-комплексные,
			k1 = α + βi, k2 = α − βi

Смотрите также файлы

В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения.pdf

В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные задания и методические указания.pdf

В.М. Волков Математика и математика в экономике. Контрольные задания №3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса (2 семестр).pdf

В.А. Гоголин Финансовая математика.pdf

А.В. Бирюков Энтропия, информация, кодирование.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно