Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2000.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
Пример. Найти вероятность того, что из 5 изготовленных рабочим деталей не менее 4 годных, если известно, что рабочий изготавливает на станке однотипные детали , вероятность брака для каждой 0,1.
Решение. |
Так |
как |
число независимых испытаний n = |
5 мало и |
q = 0,1≠≠ 0, p== |
1−− |
q== 1−− |
0,1== 0,9 , то применяем формулу |
Бернулли. |
Событие A - из 5 деталей не менее четырёх годных - наступит, если среди 5 деталей 4 годные или все 5 годные, то есть
P(A) = P(k≤≤ 4)== P5 (4)++ P5 (5)== C45p4q1++ C55p5q0== = 5 (0,9)4 0,1 + (0,9)5≈≈ 0,93.
Если число n независимых испытаний велико, а вероятность появления события не близка к нулю, то следует использовать локальную или интегральную теорему Муавра - Лапласа.
Пример. В мартеновском цехе не каждая плавка отвечает требованиям, обусловленным в заказе. По заказу нужно выплавить 90 плавок, а запланировано 100. Какова вероятность того, что заказ будет полностью выполнен, если вероятность получения каждой плавки по заказу равна 0,9?
Решение. Заказ будет полностью выполнен, если из 100 плавок будут соответствовать заказу 90 плавок и более, то есть нужно определить P100 (90,100) . n = 100 (велико), и так как нас интересует
вероятность появления события не менее 90 раз, то применим интегральную теорему Муавра - Лапласа
P100 (90,100)= |
Φ (x2 )−−Φ Φ (x1) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где x1 = |
k1 − |
np |
= |
90 − 100 0,9 |
|
= |
0; |
x2== |
k 2 |
− np |
= |
100 − 100 |
0,9 |
= |
10 |
≈≈ 3,33 . |
|||||
npq |
100 0,9 0,1 |
|
|
|
npq |
100 0,9 |
0,1 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|||||||||
По [2, прил. 2] определяем |
|
( |
0 |
|
0; |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||
Φ |
|
|
= |
Φ Φ |
|
3,33 == 0,4995 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
P100 (90,100)= Φ |
(3,33)−−Φ Φ |
(0)== |
0,4995−− |
0== 0,4995. |
|
|
|
||||||||||||
Замечание. При определении функции Лапласа, следует учитывать,
что она нечётная, то есть Φ |
( |
|
) |
( |
x |
) |
, и что при x > 5 |
|
( |
) |
|
− |
x ==Φ Φ |
|
|
Φ |
|
x= = 0,5. |
Формулу Пуассона следует применять, если n велико, а вероятность p близка к нулю.
Пример. Какова вероятность того, что из 10000 лотерейных билетов не менее двух выигрышных, если вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,0002?
Решение. Так как n = 10000, p== 0,0002 , то используем формулу Пуассона. Введём событие A - не менее двух билетов выигрышных, противоположное к нему событие A - менее двух билетов выигрышных, то есть один билет выигрышный или ни одного. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(np) |
0 |
|
− np |
(np) |
1 |
−− np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
10000 ( )) |
|
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|||
P |
( |
A |
) |
= |
1−− |
P |
( |
) |
1−− |
10000 |
( |
0 |
) |
1−− |
|
++ |
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
A |
== |
|
P |
|
|
|
++ |
P |
1 == |
|
0! |
1! |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
e |
− |
2 |
|
|
2 |
1 − |
− 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 1−− |
|
|
|
|
−− |
e |
|
== |
|
1−− |
|
≈≈ |
1−− |
0,41== |
0,59. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Законы распределения дискретных случайных величин, определение числовых характеристик (задачи № 91-120) рассмотрены в [1, гл.6-7; 2,
гл.4, п.1,3].
Пример. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить закон распределения случайной величины X , которая выражает число мальчиков в семье, имеющей четырёх детей. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Случайная величина X - число мальчиков в семье, имеющей четырёх детей, может принимать пять значений 0, 1, 2, 3, 4. Случайная величина X имеет биномиальное распределение, значит вероятности находятся по формуле Бернулли [1, гл.5, п.1; 2, гл.3, п.1].
при n = 4; p== |
0,5; |
k== 0,1,2,3,4, |
|
q== 1−− p== 1−− 0,5== 0,5 |
|||||||||||||||
P(X = 0)== P4 (0)== |
C40 p0 q4 = |
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
16 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P |
X = |
1 == |
P 1 |
== |
C1 p1 q3 = |
|
|
4 |
== |
1 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( |
|
) |
4 ( ) |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P( X = 2)== P4 ( 2)== |
C42 p2 q2 = |
|
|
6 |
|
|
== |
|
3 |
; |
|||||||||
|
16 |
|
8 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P( X = 3)== P4 ( 3)== |
C43 p3 q1 = |
|
|
4 |
|
== |
|
1 |
; |
||||||||||
|
16 |
4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P(X = |
4) = |
P ( 4) |
= |
C4 |
p4 q0 = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем закон распределения случайной величины X
X |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
||
P |
|
1/16 |
|
|
1/4 |
|
|
|
|
|
|
3/8 |
|
1/4 |
1/16 |
||
|
Контроль: ∑5 pi = |
1 |
++ |
|
1 |
++ |
3 |
++ |
1 |
++ |
1 |
== 1 |
. Закон составлен правильно. |
||||
|
16 |
4 |
8 |
4 |
16 |
||||||||||||
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как случайная величина имеет биномиальное распределение, то
математическое |
ожидание |
M(X) = np== 4 0,5 = 2, |
дисперсия |
||||
( |
) |
= npq== 4 0,5 |
0,5 = 1, |
среднее |
квадратическое |
отклонение |
|
D X |
|
||||||
σ(X) = D(X)== 1.
Внекоторых задачах при подсчёте вероятностей возможных значений случайной величины следует использовать основные теоремы теории вероятностей.
Пример. Студент с вероятностью 2/3 даёт правильный ответ на любой предложенный на экзамене вопрос. Студент может взять три вопроса, причём каждый следующий вопрос берётся только в том случае, если предыдущий ответ был неправильный. Составить закон распределения случайной величины X - числа взятых студентом вопросов. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Случайная величина X - число взятых студентом вопросовможет принимать значения 1, 2, 3. Для подсчёта вероятностей возможных значений введём события : Ai - студент даёт правильный ответ на i -й вопрос; : Ai - студент даёт неправильный ответ на i -й
вопрос ( i =1, 2, 3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(Ai ) = |
; |
P(Ai )== |
1−− P(Ai )== 1−− |
== |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Определяем вероятности возможных событий |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
X = |
1 == |
P |
A |
== |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( |
|
) |
( |
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
P |
X = |
2 == |
P |
|
|
|
A |
2 ) |
= |
P |
|
|
|
P |
A |
2 ) |
= |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
A |
A |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
) |
( |
|
|
|
1 |
|
|
|
( |
|
|
|
1) |
( |
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
P(X = |
3) = |
P( |
|
1 |
|
2) = |
|
P( |
|
1) P( |
|
2) = |
1 |
|
1 |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
A |
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Составляем закон распределения случайной величины X
X |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
||
P |
|
2/3 |
|
|
|
|
2/9 |
1/9 |
|||
Контроль: ∑3 pi = |
2 |
++ |
2 |
++ |
1 |
== 1 |
. Закон составлен правильно. |
||||
3 |
9 |
9 |
|||||||||
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычисляем числовые характеристики. Математическое ожидание
M(X) = ∑3 xi pi = |
1 |
2 |
+ |
2 |
2 |
|
+ |
3 |
1 |
|
= |
13 |
. |
|||||||||
3 |
9 |
|
9 |
|
9 |
|||||||||||||||||
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Дисперсию определяем по формуле D(X) = |
|
M(X2 )−− M2 (X) . Здесь |
||||||||||||||||||||
M(X2 ) = ∑3 xi pi = |
1 |
2 |
+ |
4 |
|
2 |
+ |
9 |
|
1 |
= |
|
23 |
. |
||||||||
3 |
9 |
9 |
|
|||||||||||||||||||
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||||||||
D(X) = |
23 |
|
|
|
13 2 |
|
|
|
38 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9 |
9 |
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Среднее квадратическое отклонение
σ(X) = D(X)== 3881≈≈ 0,68 .
Внекоторых задачах следует производить непосредственный
подсчёт вероятностей возможных значений случайной величины.
Пример. В лотерее из десяти билетов три выигрышных. Наудачу взяты два билета. Составить закон распределения случайной величины X - числа невыигрышных билетов среди отобранных. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Случайная величина X - число невыигрышных билетов среди отобранных - может принимать значения: 0, 1, 2. Найдём
соответствующие им вероятности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Событие |
X = 0 |
означает, |
что |
|
среди |
двух |
взятых |
билетов |
оба |
|||||||||||
выигрышных. Тогда |
|
|
|
C32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P(X = |
0)== |
|
== |
3 |
|
== |
|
1 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Событие |
|
|
|
|
C120 |
45 |
|
15 |
|
|
|
|
||||||||
X = 1 |
означает, |
что |
|
среди |
|
двух |
взятых |
билетов |
один |
|||||||||||
выигрышный и один невыигрышный. Тогда |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
P |
X = |
1 == |
|
|
C13 |
C17 |
|
= |
7 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
C120 |
15 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||